Instituto Nacional de Matemática Pura e Aplicada Programa de Aperfeiçoamento para Professores de Matemática do Ensino Médio PROPORCIONALIDADE

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1 Instituto Nacional de Matemática Pura e Aplicada Programa de Aperfeiçoamento para Professores de Matemática do Ensino Médio PROPORCIONALIDADE 1. Por um trabalho adicional a seu emprego, Álvaro deve descontar 27, 5% de Imposto de Renda sobre o que receber. Quanto deve ele cobrar por esse trabalho para que seu ganho líquido seja dois mil reais? 2. Dois comerciantes formaram uma sociedade. Um deles, que trabalha 3 dias por semana, contribuiu com 45 mil reais. O outro, que trabalha 2 dias por semana, entrou com 55 mil reais. (Eles não trabalham sábado nem domingo.) Após algumas semanas, venderam o negócio por 198 mil reais. Quanto desse total coube para cada um deles?

2 Teorema de Pitágoras Exercícios 1) Na figura abaixo ABCD é um quadrado. Se AP 3 e PQ 1 calcule o lado do quadrado. A D B C P Q 2) 31 fios de 1mm de diâmetro foram dispostos no interior do cabo circular como mostra a figura. Calcule o diâmetro desse cabo. 3) Em um triângulo retângulo de hipotenusa a e catetos b e c mostre que b c a 2. 4) Um helicóptero sai de um ponto P no solo e faz os seguintes movimentos sucessivos: 500m verticalmente para cima, 900m horizontalmente na direção norte, 200m verticalmente para cima, 700m horizontalmente na direção oeste e 100m verticalmente para baixo pousando no ponto Q de uma montanha próxima. Determine um valor aproximado para a distância PQ.

3 Problemas do Primero Grau 1. (PROFMAT) Maria foi trabalhar e deixou dinheiro para seus três filhos, com este bilhete: Dividam igualmente o dinheiro. Beijos. O primeiro filho chegou, pegou a terça parte do dinheiro e saiu.o segundo chegou e não viu ninguém. Pensando que era o primeiro, pegou a terça parte do dinheiro que tinha e saiu. O terceiro encontrou 4 notas de 5 reais. Achou que era o último, pegou tudo e saiu. Quanto em dinheiro a mãe deixou? (A) 25 reais (B) 35 reais (C) 45 reais (D) 48 reais (E) 55 reais 2. (PROFMAT) Joaquim pagou n reais por cada uma de m canetas e m reais por cada um de n lápis, tendo gastado em média R$7,50 por item comprado. Em seguida, Joaquim observou que se cada caneta tivesse custado 1 real a menos e cada lápis tivesse custado 1 real a mais, ele teria pago, em média, R$7,75 por cada item comprado. Determine a quantidade de canetas que Joaquim comprou. 3. (OBMEP) Um grupo de amigos acabou de comer uma pizza. Se cada um der R$ 8,00 faltarão R$ 2,50 para pagar a pizza e se cada um der R$ 9,00 sobrarão R$ 3,50. Qual é o preço da pizza? A) R$ 45,50 B) R$ 48,50 C) R$ 50,50 D) R$ 52,50 E) R$ 54,50 4. (OBMEP) Para ir com Maria ao cinema, João pode escolher dois caminhos. No primeiro, ele passa pela casa de Maria e os dois vão juntos até o cinema; nesse caso, ele anda sozinho 2/3 do caminho. No segundo, ele vai sozinho e encontra Maria na frente do cinema; nesse caso ele anda 1 km a menos que no primeiro caminho, mas o dobro do que Maria terá que caminhar. Qual é a distância entre a casa de Maria e o cinema? A) 1 km B) 2 km C) 3 km D) 4 km E) 6 km

4 Combinatória Prof.Luciano Monteiro de Castro 1. Para fazer uma viagem de ida e volta de Lisboa a Paris, Manoel pode usar ônibus, trem ou avião, tanto na ida como na volta. De quantos modos Manoel pode escolher os transportes, se ele não quer voltar utilizando o mesmo meio de transporte da ida? 2. Isabella dispõe de 8 torres em um tabuleiro de xadrez (8 8). De quantas maneiras ela pode arrumar essas peças no tabuleiro de modo que não haja duas torres na mesma linha e nem na mesma coluna? 3. Um grupo de 15 amigos se reúne para jogar basquetebol. De quantas maneiras eles podem formar 3 times de 5 jogadores cada? 4. Um homem tem 5 amigas e 7 amigos. Sua esposa tem 7 amigas e 5 amigos (totalizando 12 amigos e 12 amigas diferentes). De quantos modos eles podem convidar 6 amigas e 6 amigos, se cada um deve convidar 6 pessoas?

5 Instituto Nacional de Matemática Pura e Aplicada Programa de Aperfeiçoamento para Professores de Matemática do Ensino Médio PROBLEMAS DO SEGUNDO GRAU 1. Seja α uma raiz da equação x 2 + px + q = 0. Mostre que se tem x 2 + px + q = (x α)(x β), onde o número β também é raiz. Conclua, a partir daí, que uma equação do segundo grau não pode ter três raízes distintas. 2. Para quais valores da abcissa x a parábola y = 3x 2 4x+3 situa-se acima da parábola y = 2x 2 + x 9?

6 Estatística 1. (ENEM 2010) O gráfico apresenta a quantidade de gols marcados pelos artilheiros das Copas do Mundo desde a Copa de 1930 até a de A partir dos dados apresentados, qual a mediana das quantidades de gols marcados pelos artilheiros das Copas do Mundo? A) 6 gols B) 6,5 gols C) 7 gols D) 7,3 gols E) 8,5 gols 2. (ENEM 2010) O quadro seguinte mostra o desempenho de um time de futebol no último campeonato. A coluna da esquerda mostra o número de gols marcados e a coluna da direita informa em quantos jogos o time marcou aquele número de gols. Se X, Y e Z são, respectivamente, a média, a mediana e a moda desta distribuição, então A) X = Y < Z. B) Z < X = Y. C) Y < Z < X. D) Z < X < Y. E) Z < Y < X.

7 3. (ENEM 2010) Marco e Paulo foram classificados em um concurso. Para classificação no concurso, o candidato deveria obter média aritmética na pontuação igual ou superior a 14. Em caso de empate na média, o desempate seria em favor da pontuação mais regular. No quadro a seguir são apresentados os pontos obtidos nas provas de Matemática, Português e Conhecimentos Gerais, a média, a mediana e o desvio padrão dos dois candidatos. Dados dos candidatos no concurso O candidato com pontuação mais regular, portanto mais bem classificado no concurso, é A) Marco, pois a média e a mediana são iguais. B) Marco, pois obteve menor desvio padrão. C) Paulo, pois obteve a maior pontuação da tabela, 19 em Português. D) Paulo, pois obteve maior mediana. E) Paulo, pois obteve maior desvio padrão. 4. (OBMEP) O Professor Márcio aplicou uma prova de Matemática valendo 10 pontos. Para ter uma idéia do desempenho da turma, ele organizou a tabela abaixo. Qual é a única alternativa que mostra um possível valor para a média aritmética das notas da turma? A) 3,9 B) 4,1 C) 4,5 D) 4,9 E) 7,9

8 Aritmética Prof.Luciano Monteiro de Castro 1. (OBMEP) Paula iniciou um programa de ginástica no qual os dias de treino são separados por dois dias de descanso. Se o primeiro treino foi em uma segunda-feira, em qual dia da semana cairá o centésimo treino? 2. (OBM) Esmeralda rasgou uma folha de papel em n pedaços e, em seguida, pegou uma dessas partes e rasgou-a também em n pedaços. Não satisfeita, pegou uma destas últimas partes e também a rasgou em n partes. Qual dos números a seguir poderia ser a quantidade total de pedaços obtida por Esmeralda? (A) 15 (B) 18 (C) 24 (D) 26 (E) (ProfMat 2011) O máximo divisor comum entre dois números naturais é 16 e o mínimo múltiplo comum desses mesmos números é 576. Podemos garantir que: (A) Os dois números são maiores que 50 (B) O produto dos dois números é maior que 8000 (C) Os dois números são múltiplos de 32 (D) Os dois números são divisores de 96 (E) Um dos números é múltiplo do outro 4. (OBM) O número n = tem 2011 algarismos e todos iguais a 9. Quantos algarismos 9 tem o número n 2?

9 Áreas Exercícios 1) PROFMAT-2011 Na figura ao lado as retas r e s são paralelas a uma distância 2 uma da outra. AB é um segmento unitário contido em s, X é um ponto de r com AX 5 e P é o pé da perpendicular baixada de B sobre AX. O comprimento de BP é: A) 2/3 B) 1/5 C) 2/5 D) 3/2 E) 3/4 A P B X r s 2) PROFMAT-2011 Se espremermos um círculo de raio 10cm entre duas retas paralelas que distam entre si 10cm, obteremos uma figura de área menor mas de mesmo perímetro que o círculo original (v. desenho ao lado). Se as partes curvas da figura são semicircunferências a razão da área da figura espremida pela área o círculo inicial é: A) 3/4 B) 4/3 C) 2/3 D) 3/2 E) π/4 3) PROFMAT-2011 Um terreno triangular foi dividido em três terrenos menores conforme a figura ao lado. Então: A) A área do terreno B é a metade da área do terreno A. B) A área do terreno C é maior do que a área do terreno A. C) A área do terreno B é 1/3 da área do terreno A. D) A área do terreno A é igual à área do terreno C. E) A área do terreno B é maior que a área do terreno A. A C 40m B 20m 4) Na figura ao lado OA a, OB b e OX x. Se AOX XOB 60 o, calcule x em função de a e b. B X O 5) Em um trapézio ABCD de bases AB e CD as diagonais AC e BD cortam-se em P. a) Mostre que os triângulos APD e BPC têm mesma área. b) Se a área de ABP é a 2 e se a earea de CPD é b 2, calcule a área do trapézio. A

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