PROVAS DE MATEMÁTICA DO VESTIBULAR-2012 DA MACKENZIE RESOLUÇÃO: Profa. Maria Antônia Gouveia. 14/12/2011

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1 PROVAS DE MATEMÁTICA DO VESTIBULAR-0 DA MACKENZIE Profa. Maria Antônia Gouveia. //0 QUESTÃO N o 9 Turma N o de alunos Média das notas obtidas A 0,0 B 0,0 C 0,0 D 0,0 A tabela acima refere-se a uma prova aplicada a 00 alunos, distribuídos em turmas A, B C e D. A média aritmética das notas dessa prova é: a), b), c), d), e), Multiplicando-se a média das notas de cada turma pelo seu total de alunos ter-se-á o total de pontos obtidos por cada uma das turmas Ma = = = =, RESPOSTA: Alternativa a. QUESTÃO N o 0 O número mínimo de cubos de mesmo volume e dimensões inteiras, que preenchem completamente o paralelepípedo retângulo da figura, é: a) b) 90 c) 8 d) e) 00

2 Para que o paralelepípedo retângulo da figura seja preenchido completamente com um número mínimo de cubos, de mesmo volume e dimensões inteiras, essas dimensões devem ser a maior possível e que é exatamente o maior divisor comum entre as dimensões do paralelepípedo. Sendo 8 =, = e 0 =, então o mdc(8,, 0) =, então o número mínimo de cubos 8 0 será: = 9 = 90. RESPOSTA: Alternativa b. QUESTÃO N o Na figura as retas r e s são paralelas. Se (x, y) é um ponto de s, então x y vale: a) b) c) d) e) Na figura ao lado, o triângulo ABO é retângulo e isósceles (ângulos agudos medindo ), logo OA = ( ) OA = OA =. No triângulo AOC, AO = OC =, logo a reta s intercepta o eixo Oy no ponto (0, ) Então a equação da reta s, que forma um ângulo de com o eixo Ox é: y = tg x y = x e os pontos (x, y) a ela pertencentes são sempre do x, x e a diferença x y = x (x ) =. tipo ( ) RESPOSTA: Alternativa c.

3 QUESTÃO N o O maior valor que o número real a) 0 b) 0 senx pode assumir é c) 0 d) e) 0 0 senx para = para para 0 0 senx =, = = 0 senx 0 0 senx = 0, = = senx 0 0 senx =, = = 0 = senx = 0 0 = RESPOSTA: Alternativa d QUESTÃO N o Na figura, se a circunferência tem centro O e BC = AO, então a razão entre as medidas dos ângulos AÔD e CÔB é a) d) b) e) c) A figura ao lado, foi construída utilizando as informações e a figura da questão. BCO é um triângulo eqüilátero, então C Bˆ O = CÔB = α. O ângulo DĈO é externo ao triângulo BCO e não é adjacente â nenhum dos dois acima, logo a sua medida é α + α = α. O triângulo COD também é isósceles, logo o ângulo O Dˆ C mede α O ângulo AÔD é externo ao triângulo DBO, logo. β = α + α = α α A razão entre as medidas dos ângulos AÔD e CÔB é: =. α RESPOSTA: Alternativa e. razão entre as medidas dos ângulos AÔD e CÔB

4 QUESTÃO N o Tendo-se objetos diferentes e caixas numeradas de a, o número de formas diferentes de se guardar um objeto em cada caixa é a).0 b) c) d).0 e) 80 Considerando-se os dados da questão, o número de formas diferentes de se guardar um objeto em cada caixa é A, = = 0. RESPOSTA: Alternativa e. QUESTÃO N o Se log = a, então log 0 vale: a) a + b) a + c) a + d) a + e) a + a log = a log = a log = a log =. log + 0 = log(0) = log( 0) = (log RESPOSTA: Alternativa b. a a + a + log0) = + = = //0 QUESTÃO N o 9 A soma dos números naturais positivos, que divididos por dão resto igual ao cubo do quociente, é a) 8 b) 90 c) 0 d) 0 e) 8 Os números naturais positivos, que divididos por dão resto igual ao cubo do quociente podem ser representados, a partir da relação Numa divisão, o dividendo é igual ao produto do divisor pelo quociente, adicionado ao resto, como N = x + x, com x <. Se x <, então x {,, }. Logo os valores de N são: +, + 8 e +, ou seja, 8, 8 e 8. A soma dos três valores de N é 8. RESPOSTA: Alternativa a.

5 QUESTÃO N o 0 As medidas dos lados de um triângulo retângulo estão em progressão aritmética. Se a área do triângulo é, o seu perímetro é a) b) c) d) e) Sejam x r, x e x + r os lados do triângulo retângulo. Aplicando o Teorema de Pitágoras ao triângulo: (x + r) = (x r) + x x Como a sua área é, ( x r) 9x = 0 x =. + xr + r = x = x xr + r + x xr = xr = x xr = x x x xr = x O perímetro do triângulo é: x r + x + x + r = x = =. RESPOSTA: Alternativa d x = x = x QUESTÃO N o Dentre as alternativas abaixo, o melhor esboço gráfico da função real definida por x x f(x) = é x a) b) c) d) e)

6 x x O domínio de f(x) = é x > 0. x x x x x x Para todo x > 0, tem-se então f(x) = = = = x cujos pontos estão todos no primeiro x x quadrante. RESPOSTA: Alternativa e. QUESTÃO N o Considere as raízes positivas a e b da equação x x + = 0, com a < b e seja a circunferência de centro P(a, b). Se essa circunferência é tangente externamente à curva x + y 0x + y + = 0, o raio da circunferência de centro P é a) b) c) d) e) Como a soma dos coeficientes da equação x x + = 0 é igual a zero é porque é uma de suas raízes e o polinômio x x + é divisível pelo binômio x. Dividindo o polinômio x x + pelo binômio (x ) pela regra de Ruffini: As raízes da equação x x + = 0 são -, e, logo a = e b = P(a, b) = (, ). x ( x ) + ( y + ) + = 0 ( x ) + ( y + ) = + y 0x + y + = 0 9 o centro da circunferência x + y 0x + y + = 0 é C =(, ) e seu raio mede. Como essa circunferência e a de centro P são tangentes externamente, então a distância entre seus centros é a soma de seus raios. PC = ( ) + ( ) = + 9 =. A soma dos dois raios é e o raio da circunferência de centro P é =. RESPOSTA: Alternativa d.

7 QUESTÃO N o Em uma pirâmide regular, o número de arestas da base, a medida da aresta da base e a altura são, nessa ordem, os três primeiros termos de uma progressão aritmética, cujo primeiro termo é igual à razão. Se o trigésimo primeiro termo dessa progressão é 9, o volume da pirâmide é a) 8 b) c) 8 d) 9 e) Representando o número de arestas da base, a medida da aresta da base e a altura, respectivamente, por r, r e r, tem-se a = r + 0r = 9 r = 9 r =. Então o número de arestas da base é, a medida da aresta da base é e a altura da pirâmide é 9. Como a pirâmide é regular, o triângulo da base é eqüilátero de lado, então o volume da pirâmide é: 08 V = Bh = 9 = =. RESPOSTA: Alternativa b. QUESTÃO N o Sempre que joga, um time tem probabilidade de vencer uma partida. Em quatro jogos, a probabilidade de esse time vencer, exatamente dois deles, é a) b) 8 8 c) d) 8 e) Se sempre que joga, o time tem probabilidade de vencer uma partida,a probabilidade de perder ou empatar a partida é. Considerando como V cada vitória e como P, cada empate ou derrota, tem-se as possibilidades: VVPP, VPVP, VPPV, PPVV, PVPV, PVVP 8 Em quatro jogos, a probabilidade de esse time vencer, exatamente dois deles é =. RESPOSTA: Alternativa c.

8 QUESTÃO N o I. Se a e b são números reais positivos e diferentes de, tais que log a b log b = 0, então o valor de a é 0,00. II. Se ( sen x, cos x, + sen x), π 0 < x <, é uma progressão geométrica, cos x é igual a. III. Se a representação gráfica dos pares (x, y), são soluções do sistema uma reta, então k + p = 0. Considerando as afirmações I, II e III acima, é correto afirmar que a) somente I e II são verdadeiras. b) somente II é verdadeira. c) somente III é verdadeira. d) somente II e III são verdadeiras. e) todas são verdadeiras. I. FALSA. x y = k x py = 8, com k e p reais, é log a b log b = 0 logb log a log b log a = 0 log a = a = 0 II. VERDADEIRA. = 0 logb = 000. log a = 0 logb 0e log a = 0 ( cos x) = ( sen x)( + sen x) cos x + cosx = sen x cos x cosx + = cos x cosx = cosx = x = π, pois, 0 π < x < x = π e cosx =. III. VERDADEIRA. x y = k Se a representação gráfica dos pares (x, y), soluções do sistema x py = 8 reta, então o sistema tem infinitas soluções usando a regra de Cramer:, com k e p reais, é uma k = = 0 e x = = 0 p + = 0 e 8 k = 0 p = e k = p + k = 0. p 8 RESPOSTA: Alternativa d. 8

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