GRADUAÇÃO FGV 2005 PROVA DISCURSIVA DE MATEMÁTICA

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1 GRADUAÇÃO FGV 005 PROVA DISCURSIVA DE MATEMÁTICA PREENCHA AS QUADRÍCULAS ABAIXO: NOME DO CANDIDATO: NÚMERO DE INSCRIÇÃO: Assinatura 1 Você receberá do fiscal este caderno com o enunciado de 10 questões, sem repetição ou falha. Cada questão tem um espaço próprio para a sua resolução. No verso de cada folha há espaço destinado para rascunho. 4 O rascunho não será levado em consideração. 5 O tempo disponível para esta prova é de (duas) horas e 0 (trinta) minutos.

2 QUESTÃO 1 Um ônibus faz a viagem da cidade A até a cidade B, distante 16km de A. Durante o percurso ele faz paradas, de forma que, do início ao fim da viagem, duas paradas consecutivas tenham sempre a mesma distância que há do ponto de partida ao local da primeira parada. Sabendo que o ônibus faz uma parada no quilômetro 90 da estrada e que a distância entre a última parada e a cidade B é idêntica à distância entre duas paradas consecutivas, qual é o número mínimo de paradas intermediárias que ele pode ter dado? Para que o número de paradas seja mínimo, a distância entre elas deve ser a maior possível. Buscamos então o maior número que divide exatamente 90 e 16. O mdc entre 90 = 5 e 16 = 4 é = 18. O ônibus então fez paradas intermediárias nos quilômetros: 18, 6, 54, 7, 90, 108, 16 e 144. Foram 8 paradas intermediárias. 8

3 QUESTÃO Dois vizinhos tinham, em frente de suas casas, gramados quadrados com área S. O primeiro aumentou 5m em uma das dimensões do seu gramado e diminuiu 5m na outra, transformando-o em um retângulo. O segundo manteve a forma quadrada, mas diminuiu em 1m o tamanho do lado. Com essas modificações, os dois gramados permaneceram com a mesma área. Observe as figuras e calcule o valor de S. Seja x o lado do quadrado original. Para que, após as modificações, as áreas permaneçam iguais, devemos ter: ( x 5)( x+ 5) = ( x 1) o que dá x =1. A área S do quadrado original é x = m

4 QUESTÃO Paulo tem um carro novo cujo motor aceita qualquer mistura de gasolina e álcool. Na primeira vez que abasteceu, mandou colocar no tanque 10 litros de álcool e 0 litros de gasolina, pagando R$ 90,00. Na segunda vez, no mesmo posto, pediu para colocar 0 litros de álcool e 0 litros de gasolina, pagando R$ 10,00. Suponha que os preços da gasolina e do álcool permaneceram inalterados. Qual é o preço do litro de álcool nesse posto? Sejam: x = preço do litro de álcool y = preço do litro de gasolina De acordo com os dados do problema, temos o sistema: 10x+ 0y = 90 0x+ 0y = 10 que resolvido dá x = 1,8. O litro de álcool custa, nesse posto, R$ 1,80. R$ 1,80 4

5 QUESTÃO 4 A figura abaixo mostra uma pilha de círculos iguais, com 1cm de raio, arrumados em vários andares no interior do trapézio (não mostrado integralmente). Os círculos do primeiro andar tangenciam a base menor do trapézio e os do último andar, a base maior. Se a pilha tiver 0 andares completos, determine: (A) a quantidade de círculos que foram utilizados; (B) a altura do trapézio. a) De baixo para cima, o primeiro andar tem bolas; o segundo, 4; o terceiro, 5 e assim por diante. Logo, o vigésimo termo dessa progressão aritmética é =. O vigésimo andar tem bolas. A soma é igual a ( + )0 = 50. b) A distância entre a linha dos centros do primeiro e a do segundo andar é entre dois andares consecutivos. =, e o mesmo se dá A distância da base inferior do trapézio à reta dos centros do 1º andar é 1, e a distância da reta dos centros do 0º andar à base superior é também igual a 1. Assim, a altura do trapézio é ,9cm. (A) 50 (B) 4,9cm (ou ainda 5cm) 5

6 QUESTÃO 5 Sejam A o conjunto dos números naturais de três algarismos e N o conjunto dos números naturais. A função f : A N é definida por: f(n) = soma dos algarismos de n. Para cada uma das afirmativas abaixo, escreva nos parênteses V (para verdadeiro) ou F (para falso) e justifique sua resposta. ( ) f é crescente. ( ) f é injetora. ( ) Existem exatamente 10 valores de n tais que f(n) = 4. ( F ) f é crescente. Falso. f(199) = 19 e f(00) =. ( F ) f é injetora. Falso. f(101) = f(110) ( V ) Existem exatamente 10 valores de n tais que f(n) = 4. Verdadeiro. Os valores de n são: 10, 11, 11, 10, 0, 11, 0, 01, 10,

7 QUESTÃO 6 Sejam a e b números reais tais que 4a + b = 90. Determine o valor máximo do produto ab. Seja y = ab. y = a(90 4 a) = 4a + 90a O valor máximo de y quando a é real é 90 = 8100 = 506,5 4( 4) ,5 7

8 QUESTÃO 7 Considere a pirâmide regular reta de vértice P cuja base é o quadrado ABCD. Cada aresta da base mede 4m e cada aresta lateral mede 6m. (A) Calcule o volume desta pirâmide. (B) Calcule a distância de A ao ponto médio da aresta PC. Sejam: O o centro do quadrado, M o ponto médio de PC e Q a projeção de M sobre AC. a) A diagonal AC do quadrado mede 4. Portanto, no triângulo retângulo OPA, temos OP = 6 ( ) = 8. Logo, a altura da pirâmide é OP = 7. O volume da pirâmide é, então: V = = m. b) Devido à semelhança entre os triângulos POC e MQC, MQ é a metade de OP, ou seja, MQ = 7. Como Q é médio de OC, então AQ =. Logo, no triângulo retângulo AQM, AM = ( ) + ( 7) = = 5. O segmento AM mede 5. Respostas: a) 7 m b) 5m (A) 7 m (B) 5m 8

9 QUESTÃO 8 Imagine dois números naturais. Seja D a diferença entre o cubo de sua soma e a soma dos seus cubos. Mostre que D é divisível por 6. Sejam a e b dois números naturais. Pelo enunciado temos: D = (a + b) (a + b ) D = a + ab+ ab+ b a b D = ab(a + b) Se a é par ou se b é par, D é múltiplo de 6. Se a e b são ambos ímpares, a + b é par e D é múltiplo de 6. 9

10 QUESTÃO 9 Considere a seguinte experiência feita em uma escola. Um pequeno pedaço de ferro é aquecido a 00 o C e, em seguida, posto para resfriar no pátio da escola que está a uma temperatura constante de 0 o C. No início deste processo, a temperatura cai rapidamente e depois, cada vez mais devagar. O decréscimo da temperatura de um corpo pequeno é explicado pela lei do resfriamento de Newton que diz: f (t) = a + [ f (0) a] e kt sendo: f (t) a temperatura após t minutos do início do resfriamento; f (0) a temperatura inicial do objeto; a a temperatura do meio em que o objeto está resfriando; k uma constante positiva característica do objeto, no caso, o ferro. Sabe-se que, após 10 minutos do início do resfriamento, o pedaço de ferro tinha uma temperatura de 140 o C. Que temperatura, aproximadamente, tinha o ferro meia hora após o início do resfriamento? Pelos dados do problema temos: f (t) = e kt. f(10) = e 10k = e 10k = 10 e 10k = A temperatura meia hora após o início do resfriamento é: f(0) = e 0k = e 10k f(0) = + = + 7 graus Celsius 7 C 10

11 Questão 10 a) Temos inicialmente que u = a+ b e v = c+ d. Então, u v = (ac bd) + (ad + bc) = = a(c + d) + b(c + d) = = (a + b )(c + d ) = u v ac+ bd abcd+ ad+ bc+ abcd = Logo, u v = u v. b) sen( α+β ) = senαcosβ + senβcosα= = b c d a ad + bc ad + bc u v + sen v u = = = θ u v u v cos( α+β ) = cosαcosβ senαsenβ = = a c b d = ac bd = ac bd = cos θ u v u v u v u v. Logo, θ=α+β. 11