MATEMÁTICA II EXERCÍCIOS DE REVISÃO GEOMETRIA SÓLIDA

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1 1 MATEMÁTICA II EXERCÍCIOS DE REVISÃO GEOMETRIA SÓLIDA ===================================================== 1) As dimensões de um paralelepípedo retângulo são dadas por números inteiros em P.A. de razão igual a cm. Se a diagonal do paralelepípedo mede, em centímetros, 10, calcule sua capacidade em litros. ) Calcule a área total de um cubo cuja diagonal mede 3 m. 3) Num paralelepípedo retângulo, uma das dimensões da base é o dobro da outra. Se a área lateral é de 88 dm, calcule o volume do paralelepípedo. 4) Num aquário em forma de paralelepípedo retângulo cuja base é um quadrado com 1 m de área, mergulha-se completamente uma pedra de modo que o nível da água se eleva em 1 mm. Se a pedra tem o formato de um cubo, calcule a medida da aresta desse cubo. 5) (U.F.MG) - Uma piscina tem 5 m de largura, 50 m de comprimento ; 1,5 m de profundidade numa das extremidades e,5 m na outra. Seu fundo é um plano inclinado. Calcule o volume da piscina. 6) (U.F.MG) - Dois prismas oblíquos, de mesma altura h, têm um quadrado de lado a como base inferior comum e suas bases superiores têm apenas uma aresta comum de acordo com a figura.calcule o volume do sólido formado pela interseção dos dois prismas.

2 7) (U.F.MG) - A base de uma paralelepípedo é uma região retangular cu - jos lados medem 0 cm e 4 cm.as extremidades são duas faces quadradas que fazem um ângulo de 45 o com a base. Um plano perpendicular à aresta maior intercepta o paralelepípedo segundo uma região retangular. Qual é a área total do paralelepípedo? (veja a figura a seguir) 8) (PUC-MG/99) - Na figura, o cubo tem aresta 4 cm e BP = cm está sobre o prolongamento da aresta AB.Qual é a medida do segmento PG? 9) (U.F.MG) - A altura de uma pirâmide é 3 m e sua base é um quadrado de lado 3 m. Qual é o volume de um tronco obtido pela secção por um plano paralelo à base, distante 1 m desta?

3 3 10) (U.F.MG) - Na pirâmide regular de base quadrada da figura, M é o ponto médio de DE, CM pertence ao plano da base, CM DE e AB CM. Se DE = 00 m, AB = 5 m, AC = 7 m e AM = 75 m, calcule a altura da pirâmide. (veja a figura a seguir) 11) (U.F.MG) - Na figura, as pirâmides OABCD e O'ABCD são regulares e têm todas as arestas congruentes. Se o segmento OO' mede 1 cm, então calcule a área da superfície da figura.

4 4 1) (U.F.MG/98 - a etapa) - Na figura, está representado um cubo de aresta 10. Sabendo que AP = QC = 4, calcule a distância de P a Q. 13) (FUVEST-SP/99) - O número de faces triangulares de uma pirâmide é 11. Quantos vértices e quantas arestas essa pirâmide possui? 14) (U. MACKENZIE - SP) - Quantos são os planos determinados pelos vértices de uma pirâmide regular de base pentagonal? 15) (PUC - SP) - Uma pirâmide regular de base quadrada tem altura h (da- da). Sabe-se que sua área lateral excede de le a medida da aresta da base em função de h. 3h a área da base. Calcu- 16) (U.F.PA) - Calcule o volume de uma pirâmide regular quadrangular cujas faces laterais são triângulos eqüiláteros de lado 4 cm. 17) (VUNESP - SP) - Em cada um dos vértices de um cubo de madeira se recorta uma pirâmide AMNP onde, M,N e P são os pontos médios das arestas, como se mostra na figura. Se V é o volume do cubo, calcular, em função de V, o volume do poliedro que resta ao retirar as 8 pirâmides.

5 5 18) (CESGRANRIO-RJ) - Para fazer o telhado de uma casa de cartoli - na, um quadrado de centro O e de lado λ é recortado, como mostra a figura I. Os lados AB = CD = EF = GH medem λ 3. Montado o telhado (figura II), qual é a sua latura? figura I figura I 19) A secção meridiana de um cilindro de revolução é um retângulo cuja área é igual a 40 cm. Se um dos lados do retângulo tem cm a menos do que o dobro do outro, calcule a área lateral do cilindro. 0) Girando-se um quadrado com 16 cm de área em torno do segmento que une os pontos médios de dois lados opostos, qual será o volume do sólido gerado? 1) (U.F.MG / 95 - a etapa) - Observe a figura que se segue. Nessa fi- gura, AB = 1, BC = 3 e BD = 4 9. Calcule o volume do sólido ge - rado girando de 360 o, em torno da reta AE, a região do plano cujo contorno é a) o triângulo ACE ; b) o triângulo BCD.

6 6 ) (U.F.MG) - A área da base de um cilindro circular reto é 16π cm e sua área lateral é 50 cm. Calcule o tempo necessário para enchêlo de água usando-se uma torneira de vazão 5 cm 3 /s. 3) (U.F.MG) - Um cilindro circular reto cheio d'água tem raio da base igual a 4 cm.mergulha-se nele uma esfera de 1 cm de raio até ficar totalmente coberta. Quantos centímetros baixa o nível da água, se a esfera for retirada depois? 4) (U.F.MG) - Na figura, a reta r é paralela a BC e o triângulo ABC é tal que BÂC = 90 o, BC = a e a altura relativa à hipotenusa é h. Qual é o volume do sólido gerado pela rotação do triângulo ABC em tor - no da reta r? 5) (U.F.MG) - As áreas das superfícies laterais de dois cilindros retos V 1 e V, de bases circulares, são iguais. Se as alturas e os raios das bases dos dois cilindros são, respectivamente, H 1, R 1, H e R, calcule a razão entre os volumes de V 1 e V, nesta ordem. 6) (U.F.MG) - Um cilindro reto, cuja altura é igual ao diâmetro da base, a área de uma secção perpendicular às bases, contendo os centros dessas, é 64 m. Calcule a área lateral do cilindro. 7) (U.F.MG) - Na figura a seguir, o cilindro reto, de altura igual ao diâmetro da base, é cortado por um plano paralelo ao seu eixo e à distância d = 3 cm do mesmo. A área da secção determinada pelo plano é 80 cm. Calcule a área lateral do cilindro.

7 7 8) (PUC - MG /99) - A região plana limitada pelo retângulo ABCD gira em torno do lado AB e gera um cilindro de volume V 1. A mesma região, ao girar em torno do lado BC, gera um outro cilindro de volume V. Se AB = 4 cm e BC = 6 cm, determine V 1 em função de V. D C A B 9) (U.F.MG / 94 - a etapa) - As medidas da geratriz, do raio da base e da altura de um cone circular reto são x + a, x e x - a, respeciva - mente. Ao calcular o volume do cone, usou-se, por engano, a fórmula do cilindro circular reto de mesmo raio e mesma altura do cone. O valor encontrado supera em 4π cm 3 o volume procurado. Calcule a altura e o raio da base do cone. 30) (Newton de Paiva / 99) - Uma fábrica de biscoitos é contratada para fabricar casquinhas de sorvetes. Como os sorvetes são vendidos na forma esférica, com 4 cm de diâmetro, foi proposto à fabrica de biscoitos que 1. as casquinhas sejam cones ocos, com 4 cm de diâmetro na base ;. como as casquinhas devem comportar duas bolas de sorvete,o co- ne comporte, no mínimo, 4 3 do sorvete, caso este derreta. Calcule o menor valor da altura permitida para o cone. 31) (PUC - MG /99) - Na figura, a região limitada pelo triângulo ABC faz um giro de 60 o em torno da reta AB. Sendo AB =.(AC) = 6 cm, calcule o volume do sólido gerado.

8 8 3) (U.F.J.F. -MG/99- a etapa) - Uma pessoa bebeu vinho em um cálice em forma de cone. Estando o cálice cheio até a borda e tendo a pessoa bebido até o nível do vinho ficar exatamente na metade da altura do cálice, calcule a fração do volume total do vinho consumido. 33) (U.F.U. - MG /99) - Considere um tanque cilíndrico de 6 metros de comprimento e metros de diâmetro que está inclinado em relação ao solo em 45 o, conforme mostra a figura abaixo. Sabendose que o tanque é fechado na base que toca o solo e aberto na outra, qual é o volume máximo de água que o tanque pode conter antes de derramar?

9 9 34) (F.C.M.MG/98) - Na figura, o recipiente de altura H é um cone circular reto de base horizontal e raio R. O líquido no recipiente ocupa 1 do volume deste. Calcule o nível h do líquido no recipiente, em 8 função de H. 35) (U.F.V -MG/97) - O trapézio retângulo abaixo sofre uma rotação de 360 o em torno da base maior. Sabendo-se que AB = 3 cm, CE = 5 cm e que o volume do sólido obtido é 84π cm 3, determine AC.

10 10 36) (PUC - MG /97) - Um cone reto de raio r = 4 cm tem um volume equivalente ao de um prisma de altura h = 1 cm e de base quadrada de lado λ = π. Calcule a altura do cone. 37) (Newton de Paiva - 99) - Na figura, A, B, C e D são vértices de um quadrado de lado unidades e C é o centro da circunferência de raio DC. Calcule o volume do sólido que se obtém girando a região hachurada em torno da reta x =. 38) (PUC - MG/97) - Uma esfera de raio r = 3 cm tem volume equiva - lente ao de um cilindro circular reto de altura h = 1 cm. Calcule o raio do cilindro. 39) (CESGRANRIO-RJ) - Uma laranja pode ser considerada uma esfera de raio R composta de 1 gomos exatamente iguais. Calcule, em função de R, a superfície total de cada gomo. 40) (CESCEM-SP) - Uma cunha esférica de raio 1 m tem volume de 1 m 3. Calcule, em radianos, seu ângulo diedro. 41) (U.F.MG) - Duas bolas metálicas, cujos raios medem 1 cm e cm, são fundidas e moldadas em forma de um cilindro circular cuja altura mede 3 cm. Calcule a medida do raio do cilindro.

11 11 RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS : 1) 0,48 λ ) 18 m 3) 96 dm 3 4) 10 cm 5).500 m 3 6) a h 1 7) cm 19 8) 6 cm 9) m 3 10) 130 m 11) cm 1) 38 13) 1 3 3h λ vértices e arestas 14) 16 15) 16) 17) V 18) 19) 40π 3 6 cm 0) 16π cm 7π 1) a) 16π b) ) 1 min 40s 3) 4 cm 4) π h a 5) R1 6) 64π m 7) 100π cm 8) R 30) 1 cm 31) 3π m 3 3) Vtotal 8π 36),5 cm 37) unid. de volume 41) cm V V = 9) altura = e raio = 33) 5π m 3 34) H 35) AC = 8 cm 4 R 3 38) 3 cm 39) π 40) 1,5 rad

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