Rectas e Planos. Áreas e Volumes.

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1 Escola Secundária Dr. Augusto César da Silva Ferreira Rio Maior Ano Lectivo 2008/2009 Ficha de Trabalho n.º 17 Nome: N.º Data / / Rectas e Planos. Áreas e Volumes. A parte da Geometria a que proponho que abordes, faz parte daquilo a que chamamos de Geometria Euclideana. Foi Euclides quem deu nome a este campo da geometria, por ter sido o primeiro matemático que se ocupou da organização dos conhecimentos da geometria no plano e no espaço. Os conceitos de ponto, recta e plano são conceitos que não podem ser definidos. Podem apenas ser imaginados intuitivamente. É então a sua noção e a forma como se relacionam no espaço que vamos passar a abordar. A noção de ponto pode ser-nos dada intuitivamente pelo mais pequeno grão de areia desprovido de espessura, ou então pela marca deixada no papel pelo toque de um lápis bem afiado. Um ponto não tem dimensão e é usualmente representado por uma pinta e identificado com uma letra maiúscula. Imagina que o teu lápis se prolonga infinitamente e é desprovido de espessura. Esta imagem conduznos à noção de recta. Outras situações do dia-a-dia podem também nos levar à noção de recta, como por exemplo, um fio "infinitamente" grande e bem esticado ou os cabos da electricidade. Uma recta é constituída por uma infinidade de pontos todos alinhados e que se prolongam até ao infinito. Uma recta tem dimensão um. É representada por um "traço" e usualmente identificada por uma letra minúscula. Outra forma de definir uma recta é através de dois pontos A e B, por exemplo: Recta AB A Prof. a Teresa Maximiano 1 de 12

2 Semi recta Porção de recta com origem num ponto, A por exemplo, e que se prolonga até ao infinito. Semi-Recta AB ɺ Segmento de recta É uma porção de recta com origem num ponto, A por exemplo, e que se prolonga até outro ponto B. Segmento de recta [ AB ] Comprimento do segmento de recta É a distância entre os pontos A e B e designa-se por AB. Imagina o tampo de uma mesa sem espessura e prolongado até ao infinito. A sala onde a mesa se encontra, ficou dividida em dois e se pensarmos que o dito "tampo" se prolonga infinitamente, pode-se até dizer que todo o universo se dividiu em dois. Intuitivamente esta noção de "tampo infinito", induz-nos à definição de plano. Um plano tem dimensão dois. É representado por um paralelogramo e é usualmente identificado por uma letra do alfabeto grego. Outras formas de definir um Plano: Três pontos não colineares; Uma recta e um ponto exterior à recta; Duas rectas paralelas; Duas rectas concorrentes. A Prof. a Teresa Maximiano 2 de 12

3 Se as duas rectas têm um só ponto em comum então dizem-se RECTAS CONCORRENTES. Podem acontecer duas situações: PERPENDICULARES OBLÍQUAS FORMAM um ângulo de 90 NÃO FORMAM um ângulo de 90 (dois agudos e dois obtusos) Se as duas rectas não têm pontos em comum então dizem-se RECTAS PARALELAS. Podem acontecer duas situações: ESTRITAMENTE PARALELAS COINCIDENTES NÃO TÊM NENHUM PONTO COMUM TÊM INFINITOS PONTOS COMUNS Rectas Não complanares se não há nenhum plano que contenha simultaneamente as duas rectas. A Prof. a Teresa Maximiano 3 de 12

4 RECTA CONCORRENTE AO PLANO RECTA PARALELA AO PLANO RECTA CONTIDA NO PLANO Têm UM PONTO em comum NÃO TÊM pontos em comum INFINITOS PONTOS em comum Recta oblíqua ao plano Recta perpendicular ao plano Se dois planos têm uma recta em comum então dizem-se PLANOS CONCORRENTES. Podem acontecer duas situações: PERPENDICULARES OBLÍQUOS FORMAM um ângulo de 90 NÃO FORMAM um ângulo de 90 A Prof. a Teresa Maximiano 4 de 12

5 Se os dois planos não têm uma recta em comum então dizem-se PLANOS PARALELOS. Podem acontecer duas situações: ESTRITAMENTE PARALELOS COINCIDENTES NÃO TÊM NENHUM PONTO COMUM TÊM INFINITOS PONTOS COMUNS Exercícios: 1. Observa a figura que se encontra ao lado Indica duas rectas: a) concorrentes perpendiculares: e b) concorrentes oblíquas: e c) estritamente paralelas: e d) coincidentes: e 1.2. Na figura, considera o plano que contém a face [CBHD]. Indica: a) uma recta concorrente com o plano b) uma recta paralela ao plano: c) uma recta contida no plano: 1.3. Indica dois planos: a) estritamente paralelos: e b) coincidentes: e c) concorrentes perpendiculares: e d) concorrentes oblíquos: e A Prof. a Teresa Maximiano 5 de 12

6 2. Utiliza os cubos que te são apresentados para representares, por meio de cores a) dois planos concorrentes perpendiculares b) dois planos concorrentes oblíquos c) dois planos coincidentes d) dois planos estritamente paralelos e) duas rectas concorrentes perpendiculares f) duas rectas concorrentes oblíquas g) duas rectas estritamente paralelas h) duas rectas coincidentes i) uma recta estritamente paralela ao plano j) uma recta contida no plano pintado pintado k) uma recta concorrente perpendicular ao plano pintado l) uma recta concorrente oblíqua ao plano pintado A Prof. a Teresa Maximiano 6 de 12

7 3. Observa a figura em baixo Completa: a) A palhinha é perpendicular às palhinhas e. b) A palhinha é estritamente paralela à palhinha. c) As palhinhas e são concorrentes oblíquas. d) As palhinhas e estão contidas em β. e) A palhinha é estritamente paralela ao plano α. f) As palhinhas e são concorrentes com o plano β. g) A palhinha é concorrente oblíqua ao plano β. h) A palhinha é concorrente perpendicular ao plano β. i) Os planos α e β são Completa: a) A palhinha verde é uma do paralelepípedo. b) A palhinha é uma das diagonais da face contida em β. c) A palhinha é uma das diagonais do paralelepípedo, pois une dois dos seus vértices não contidos na mesma face. 4. A figura ao lado representa um prisma triangular recto. Indica a posição relativa: 4.1. das rectas AB e FC ; 4.2. das rectas AB e BC ; 4.3. das rectas AB e BF ; 4.4. dos planos ABC e DEF ; 4.5. dos planos ABC e ABE. A Prof. a Teresa Maximiano 7 de 12

8 5. Considera o sólido da figura constituído pelo cubo [ABCDEFGH], o paralelepípedo [EIJKLMNO] e o cone de vértice V e diâmetro [QP] Indica dois pontos: e 5.2. Indica duas rectas: e 5.3. Indica dois planos: e 5.4. Define, de três formas distintas, o plano que contém a face [ADFEM]: 5.5. Indica a posição relativa das: I. rectas AB e BD II. rectas IM e JN III. rectas JN e ON 5.6. Indica a posição relativa do plano que contém a face [ABEH] do cubo e do plano que contém a base do cone: 5.7. Utilizando as letras da figura, indica dois planos concorrentes perpendiculares: e 5.8. Indica a posição relativa: IV. da recta VQ e do plano LMN V. da recta QP e do plano EIJ VI. da recta AD e do plano LMN 6. No sólido, identifica: a) duas arestas paralelas e b) duas arestas concorrentes oblíquas e c) duas arestas concorrentes perpendiculares e d) duas arestas complanares e e) duas arestas não complanares e f) duas faces estritamente paralelas e g) duas faces concorrentes oblíquas e h) duas faces concorrentes perpendiculares e i) uma aresta concorrente oblíqua à face BCRQ j) uma aresta concorrente perpendicular à face PQR k) uma aresta paralela à face PQR l) uma aresta contida na face PQR A Prof. a Teresa Maximiano 8 de 12

9 7. Calcula a área da parte sombreada de cada uma das figuras seguintes. a) b) c) A Prof. a Teresa Maximiano 9 de 12

10 8. Considera um cubo com 512 dm 3 de volume. a) Qual o comprimento de cada uma das suas arestas? b) Determina a área total do cubo. A Prof. a Teresa Maximiano 10 de 12

11 9. A figura representa um prisma quadrangular regular Indica: a) duas rectas não complanares. b) duas rectas concorrentes oblíquas. c) dois planos concorrentes não perpendiculares Calcula o volume do prisma sabendo que HG = 2 cm e BF = 4 cm. 10. A Ana e a Teresa compraram uma tenda de campismo. A tenda tem a forma de um prisma triangular, cuja base é um triângulo equilátero. Nas instruções de montagem vinha o seguinte esquema representado em baixo A altura da tenda é aproximadamente, 1,6 m. Determina o volume da tenda, em m 3. Apresenta o resultado arredondado às décimas Para montar a tenda são precisos os 7 ferros que estão assinalados com as letras de a g, no esquema anterior. Indica dois ferros que, depois da tenda montada, são: i) paralelos; ii) não complanares; iii) concorrentes. 11. Determina, depois de o identificares, o volume do seguinte sólido. a) b) c) d) A Prof. a Teresa Maximiano 11 de 12

12 12. Para encher de água uma panela, um cozinheiro utiliza latas de 6 litros. Quantas latas são necessárias para encher completamente uma panela de 60 cm de diâmetro e 50 cm de altura? 13. Qual a quantidade de chocolate necessária para fabricar mil guarda-chuvas de chocolate de 5 cm de altura e 2 cm de diâmetro? 14. A base da estátua é feita de cimento. Determina: Quantos m 3 de cimento são necessários para construir a base A área total da base da estátua. 15. A maior construção com a forma de um sólido feita pelo Homem é a Pirâmide de Quéops, no Egipto, e foi construída no séc. XXV a.c. Esta construção tem de altura 138m e a base quadrada tem de lado 230m. Qual é o volume desta pirâmide? A Prof. a Teresa Maximiano 12 de 12

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