MATEMÁTICA GEOMETRIA ANALÍTICA I PROF. Diomedes. E2) Sabendo que a distância entre os pontos A e B é igual a 6, calcule a abscissa m do ponto B.

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1 I- CONCEITOS INICIAIS - Distância entre dois pontos na reta E) Sabendo que a distância entre os pontos A e B é igual a 6, calcule a abscissa m do ponto B. d(a,b) = b a E: Dados os pontos A e B de coordenadas e 8 respectivamente, calcular a distância entre A e B. d(a,b) = 8 d(a,b) = 6 d(a, B) = 6 - Sistema cartesiano ortogonal Se P pertence ao eio das abscissas, suas coordenadas são (a, 0). Se P pertence ao eio das ordenadas, suas coordenadas são (0, a). Se P pertence à bissetriz do º e º quadrantes, suas coordenadas são iguais. Se P pertence à bissetriz do º e 4º quadrantes, suas coordenadas são simétricas. - Distância entre dois pontos no plano E) Se na reta real, os pontos A, B e C têm coordenadas, 8 e, respectivamente, calcule o comprimento do segmento: a) AB b) BC c) CB d) CA E4) A distância entre dois pontos M e N de abscissas e k, respectivamente, é igual a 0. Calcule os possíveis valores de k E5) Calcule, em cada caso, a distância entre os dois pontos dados: a) (, ) e (9, 9) d(a,b) = b) (, ) e (5, 4) c) ( 4, ) e (0, 7) E) Dada a reta real da figura, calcule: a) d(a, B) E6) Calcule o comprimento do segmento AB, sendo 5 A, e B, b) d(a, C) c) d(b, C) d) d(c, A) E7) Dados os pontos A (, ) e B (4, ), calcule d(a, B).

2 E8) Calcule a distância do ponto M (, 9) à origem. E4) Usando o teorema de Pitágoras, verifique se o triângulo de vértices A (, ), B (6, ) e C (, 5) é retângulo. E9) Determine as coordenadas de um ponto A que pertence à bissetriz dos quadrantes ímpares, sabendo que o ponto está a igual distância dos pontos B (7, ) e C (, ). E5) O triângulo ABC é retângulo (Â é reto) e o vértice A é um ponto do eio das abscissas. Determine as coordenadas do ponto A, sabendo que B(, 4) e C(5, 0). E0) A distância do ponto P (a, ) ao ponto A(0, ) é igual a. Calcule o número a. E) Calcule o número real a de forma que a distância do ponto P (a, ) ao ponto Q (, 0) seja igual a. 4- Ponto médio de um segmento M, E) Calcule o perímetro do triângulo ABC, sabendo que A(, ), B (7, ) e C (7, ). E) Obtenha, em cada caso, as coordenadas do ponto médio do segmento AB. a) A(, 7) e B(, ) b) A(, 5) e B( 4, ) E) Prove que o triângulo cujos vértices são os pontos.a (0, 5), B (, ) e C (, ) é isósceles e calcule o seu perímetro. c) A(0, ) e B(0, ) E) Sabe-se que M (a, b) é o ponto médio do segmento AB. Se A(, 7) e B( 9,0), calcule as coordenadas do ponto M.

3 E) Uma das etremidades de um segmento é o ponto cujas coordenadas são (, ). O ponto médio desse segmento tem coordenadas (, ). Determine as coordenadas e da outra etremidade do segmento. II- ESTUDO DA RETA - Condição de alinhamento de três pontos E4) (Mauá-SP) Determine as coordenadas dos vértices de um triângulo, sabendo que os pontos médios dos lados do triângulo são M(, ), N(5, ) e P(, ). D = E) Verifique se os pontos A, B e C estão alinhados quando: a) A (0, ), B (, ) e C (4, 5) b) A (, 6), B (4, 8) e C (, 7) e) A (, ), B (, 4) e C ( 4, 0) E) Determine m para que os pontos A (0, ), B ( m, ) e C (, l0m) estejam em linha reta. E) (UCMG) Determine t, sabendo que os pontos A(, t), B(, 0) e c (, 6) são colineares.

4 E4) Os pontos A (, ), B (, ) e C (a, b) são colineares. Calcule a e b de modo que o ponto C esteja localizado sobre o eio das abscissas. E5) Seja P o ponto de intersecção da reta r com o eio das ordenadas. Sendo r a reta determinada pelos pontos A (, ) e B (4, ), calcule as coordenadas do ponto P. = 90º tg não é definida E6) Determine de modo que os pontos A (, ), B (, ) e C (, 5) sejam os vértices de um triângulo. tg = 0º m = 0 - Coeficiente angular Denomina-se coeficiente angular ou declividade da reta r o número real m que epressa a tangente trigonométrica de sua inclinação.. m = tg Pode ocorrer: - Cálculo do coeficiente angular.- O ângulo é conhecido (m = tg ) Se = 45º, então: m = tg 45º=. Se = 60º, então: m = tg 60º =.- As coordenadas de dois pontos distintos da reta são conhecidas. tg > 0 m > 0 CB m = tg = AC m = B B A A.- A equação geral da reta é conhecida a + b + c = 0 tg < 0 m < 0 m = b a n = b c coeficiente angular coeficiente linear 4

5 E) Determine o coeficiente angular das retas que passam pelos pontos A e B. a) A(, 4) e B(, ) 4.4- Equação geral da reta Toda reta possui uma equação da forma a + b + c = 0, onde a e b não são ambos nulos, que é chamada equação da reta. b) A(4, ) e B(, ) E) Determine a equação da reta que passa pelo ponto A (, ) e tem coeficiente angular. c) A(, 5) e B(, ) d) A(4, ) e B (4, 4) E) Uma reta r passa pelo ponto P (, 4) e tem coeficiente angular m =. Determine a equação da reta r. E) Calcule a declividade da reta que passa pelos pontos P (, 0) e P (7, 8). E) Determine k, sabendo que a inclinação da reta que passa pelos pontos A (k, ) e B (, 4) é de 45º. E) Quando a quantidade de artigos que uma companhia vende aumenta de 00 para 00, o custo de produção diminui de R$ 00,00 para R$ 80,00. Determine a variação média de custo representada pela declividade da reta que passa por esses dois pontos. E4) Determine a equação da reta que passa pelo ponto P (4, ) e tem uma inclinação de 45º. 4- Equação da reta 4.- Equação de uma reta que passa por um ponto P(, ) e cujo coeficiente angular é m. E5) Dado o ponto A(, ), calcule as coordenadas do ponto B (k, k +) de modo que o coeficiente angular da reta AB seja m =. = m( ) 4.- Equação reduzida da reta = m + n E6) Ache a equação da reta r em cada caso: 4.- Equação segmentária da reta p q 5

6 E) Escreva a equação segmentária da reta que passa pelos pontos A(, 0) e B(0, ). E) Uma reta r passa pelos pontos A(, 0) e B(0, 4). Escreva a equação da reta r na forma segmentária. E7) Escreva a equação reduzida da reta que tem coeficiente angular m = e que cruza o eio no ponto (0, ). E4) Determine a equação geral da reta que passa pelos pontos: a) (, ) e (5, ) E8) A equação reduzida de uma reta é = 4. Calcule: a) o ponto da reta de abscissa ; b) (, ) e (, ) b) o ponto de intersecção da reta com o eio 0; c) o ponto de intersecção da reta com o eio 0. c), e, 4 E9) Dada a reta que tem como equação + 4 =7, determine o coeficiente angular da reta. E5) Dados os pontos A (, ) e B (8,5), determine a equação da reta que passa pelos pontos A e B. E0) Uma reta passa pelo ponto P (, 4) e tem coeficiente angular m =. Determine o coeficiente linear da reta. E6) Determine a equação da reta que passa pelo ponto P(, ) e pelo ponto Q, simétrico de P em relação à origem. E) Ache a equação segmentária da reta r, indicada na figura: E7) Verifique se o ponto A (, ) pertence à reta de equação + 0 = 0. 6

7 E8) A reta de equação k + (k ) 4 = 0 passa pelo ponto P (, ). Calcule o valor de k, escreva a equação da reta e determine o seu coeficiente angular. E) Consideremos a reta que passa pelos pontos A(, 4) e B(, ). Determine o coeficiente angular e o coeficiente linear dessa reta. E9) Determine a equação geral da reta r, em cada caso: E) O ponto A(a, a + ) pertence à reta de equação 5 5 = 0. Determine as coordenadas do ponto A.. E) Os pontos A(, 0), B(0, 4) e C(4, ) são os vértices de um triângulo ABC. Determine as equações das retas suportes dos lados desse triângulo. E4) São dados os pontos A( l, ),B(5, 7),C(, 4) e D(0, ). O ponto M é o ponto médio do segmento AB e o ponto M é o ponto médio do segmento CD. Determine a equação da reta que passa por M em. E0) Os pontos A (, m) e B (n, ) pertencem à reta = 4. Calcule a distância entre A e B. 7

8 5- Equações paramétricas São equações equivalentes à equação geral da reta, da forma = f(t) e = g(t), que relacionam as coordenadas e dos pontos da reta com um parâmetro t. t E: t Para obtermos a equação geral da reta a partir das duas paramétricas, basta eliminarmos t das duas equações. t = Substituindo esse valor na outra equação, teremos: = ( ) + = + + = 0 6- Posições relativas de duas retas - Paralelismo Duas retas, r e s, não-verticais, são paralelas se, e somente se, têm coeficientes angulares iguais. Se r s então: m r = m s Obs: Se as retas forem concorrentes, teremos: m r m s. E) Qual é a posição da reta r, de equação =0, em relação à reta s, de equação = 0? E) Determine a equação geral das retas definidas por: t a) 5 t E) As retas r e s, de equações e = 0, respectivamente, são paralelas ou concorrentes? b) t t 5 E) Dados os pontos A(, ) e B(, 4), determine a equação de uma reta r paralela a uma reta determinada pelos pontos A e B, e que passa pelo ponto C(, ). E) Seja a reta definida por k. 4 k E4) Na figura, ABCD é um quadrado. Determine a equação da reta suporte do lado BC. a) Determine os pontos de intersecção com os eios coordenados. b) Ache o ponto da reta cuja abscissa é. 8

9 7- Intersecção de retas r s P(, ) E) Uma reta r é determinada pelos pontos A(, 0) e B(0, 4), e uma reta s é determinada pelos pontos C( 4, 0) e D(0, ). Seja P(a, b) o ponto de intersecção das retas r e s. Determine as coordenadas do ponto P. A solução do sistema formado pelas equações de duas retas, r e s, é o ponto P(, ), comum a elas e intersecção das retas. E) Determine as coordenadas do ponto P (a, b), intersecção das retas r e s em cada caso: a) r: + = 0 e s: + 4 = 0 E4) Determine os pontos de intersecção da reta de equação + 4 = 0 com os eios. b) r: + = 0 e s: + 7 = 0 E5) Determine a equação da reta que passa pela origem dos eios coordenados e pela intersecção das retas + 6 = 0 e + = 0. c) r: + 8 = 0 e s: 4 + = 0 E6) Seja A(a, b) o ponto de encontro da reta r, de equação + = 0, com a bissetriz dos quadrantes ímpares. Determine A. E) Sejam as retas cujas equações são + 5 = 0, + 7 = 0 e +7 = 0, respectivamente. Prove que as retas são concorrentes num mesmo ponto. E7) Quais são as coordenadas dos vértices de um triângulo, sabendo que as retas suportes dos lados desse triângulo têm equações + = 0, 7 = 0 e 5 = 0, respectivamente? 9

10 E8) Determine a equação da reta s que passa pela intersecção das retas m e n, de equações + = 0 e + 6 = 0, respectivamente, e é paralela à reta r, de equação =. b) + 7 = 0 e = 0 c) 6 = 0 e = 0 E9) O ponto M é o ponto de intersecção das diagonais AC e BD de um quadrilátero ABCD. Sendo A(0, 0), B(, 0), C(4, ) e D(0, 5) os vértices do quadrilátero, determine as coordenadas do ponto M. E) As retas de equações + a = 0 e 4 + a 7 = 0 são perpendiculares. Determine a. E) Determine o valor de k para que as retas r e s, de equações k + + = 0 e + (k + ) 7 = 0, respectivamente, sejam perpendiculares. E4) Determine a equação da reta que passa pelo ponto A(, ) e é perpendicular à reta de equação + 4 = Retas perpendiculares E5) Dada a reta de equação + 5 =0, determine a equação da reta perpendicular à reta dada e que passa pelo ponto (, 7). Duas retas r e s são perpendiculares se, e somente se, m r =. m s E6) Seja a reta r de equação =. Determine a equação reduzida da reta perpendicular a r e com a mesma ordenada na origem. E) Estude a posição relativa dos pares de retas. a) + = 0 e = 0 E7) Escreva a equação reduzida da reta que passa pelo ponto (5, 0) e é perpendicular à reta de equação 5 0

11 E8) A equação de uma reta r é dada por: 4 0 = 0 Determine a equação da reta que passa pelo ponto (4, 7) e é perpendicular a r. E) Chama-se circuncentro o ponto de encontro das mediatrizes dos lados de um triângulo. Se um triângulo ABC tem como vértices os pontos A(5, ), B(, ) e C(, 4), determine as coordenadas do circuncentro. E9) São dados os pontos A (, ) e B (9, ). A mediatriz do segmento AB encontra o eio dos no ponto P. Determine as coordenadas de P. E0) Os pontos A(, ), B(, 4) e C(0, ) são os vértices de um triângulo ABC. Determine a equação da reta suporte da altura relativa ao lado AB do triângulo. E) Seja 6 + = 0 a equação da reta suporte da diagonal AC de um quadrado ABCD. Sendo D(,5), determine a equação da reta suporte da diagonal BD desse quadrado. E) Os pontos A(0, ), B( 4, 4) e C(, 6) são os vértices de um triângulo ABC. Determine as coordenadas do ortocentro do triângulo. E4) Determine o ponto N, simétrico de M (, 4) em relação à reta r, de equação 6 = 0.

12 E5) Calcule o simétrico do ponto (, ) em relação à reta de equação =. Essa relação nos fornece o ângulo agudo entre r e s, pois tg 0. O ângulo obtuso será o suplemento de. ObS: E6) O ponto A é simétrico do ponto B (, 7) em relação à reta r, de equação 5 = 0. Determine as coordenadas do ponto A. Se uma das retas for vertical, teremos: tg = m r E) Determine o ângulo agudo formado pelas retas: a) = 0 e 4 + = 0 E7) Os pontos A(5, ) e B(, 7) são equidistantes de uma reta r que contém o ponto P (, ). Determine as possíveis equações dessa reta r. b) + = 0 e + = 0 9- Ângulo entre duas retas c) = 0 e = 0 Entre duas retas r e s concorrentes e nãoperpendiculares, formam-se ângulos, dentre os quais determinaremos a medida. Dependendo da posição das duas retas no plano, o ângulo pode ser agudo ou obtuso. Logo: mr ms tg = m m r s E) A reta r, cujo coeficiente angular é m =, faz um ângulo de 0º com a reta s, cujo coeficiente angular é m. Calcule m.

13 0- Distância entre ponto e reta d(p, r) P( P, P ) r: a + b + c = 0 E) Seja uma reta r que passa pelo ponto A (, ) e faz um ângulo de 45 0 com a reta s, de equação + = 0. Determine a equação da reta r d(p, r) = a P b a P b c E) Calcule a distância do ponto P à reta r em cada caso: a) P(5,7) e r: 4 + = 0 E4) Seja o ângulo agudo formado pelas retas de equações 7 = 0 e l 9 = 0. Calcule cotg. b) P(, ) e r: = 4 + c) P (, 4) e r: + = 0 E5) Determine a equação da reta r do gráfico a seguir. d) P(, 6) e r: + = 0 E) Qual é a distância entre a origem e a reta r, que passa pelos pontos A (, ) e B (, )? E6) Ache a tangente do ângulo agudo formado pelas retas de equações = 0 e 4 = 0. E) Determine as equações das retas paralelas à reta r, de equação = 0, e distantes 4 unidades da reta r.

14 E4) A distância entre o ponto P (0, k) e a reta r, de equação 4 + = 0, é igual a unidades. Determine o valor de k. - Bissetrizes de duas retas E5) Calcule a distância entre as seguintes retas paralelas: a) = 0 e 9 8 = 0 Dadas as retas concorrentes r: a + b + c = 0 e s: a + b + c = 0, que se interceptam em um ponto Q, se P(, ) é um ponto qualquer de uma das bissetrizes, P Q, então P eqüidista de r e s, isto é: d(p, r) = d(p, s) b) = 4 e = 4 8 a b c ( a ) ( b ) = ( a a b c ) ( b ) E) Ache a equação das bissetrizes das retas: a) 4 7 = 0 e = 0 E6) Os pontos A(, ), B(, 4) e C(0, ) são os vértices de um triângulo ABC. Determine a medida da altura relativa ao lado BC do triângulo. b) + + = 0 e + = 0 E7) Seja A o ponto de intersecção da reta r, de equação + = 0, com o eio das abscissas. Determine a distância do ponto A à reta s, de equação = 0. E) Determine as equações das bissetrizes dos ângulos que formam as retas 4 = 0 e = 0. 4

15 - Cálculo da área de um triângulo E) A reta r da figura a seguir tem equação + 4 = 0. A área de um triângulo de vértices A( A, A ), B( B, B ) e C( C,, C ) é dada por: A =. D, onde D = A B C E) Determine a área do triângulo cujos vértices são os pontos: a) A(, ), B(, ) e C(4, 0) A B C Determine a área do triângulo AOB. E4) A reta r, de equação + 8 = 0, intercepta o eio no ponto A e intercepta a bissetriz dos quadrantes pares no ponto B. Calcule a área do triângulo OAB, sendo O a origem. b) A(, 7 ), B(4, ) e C(0, 6) E5) Seja o quadrilátero cujos vértices são os pontos A(4, 0), B(6, ), C(, 4) e D(0, ). Calcule a área desse quadrilátero. E) Os pontos A(, 4), B(a, ) e C(4, ) são os vértices do triângulo ABC. Calcule o valor de a, para que esse triângulo tenha unidades de área. E6) As retas suportes dos lados de um triângulo são as retas de equações + = 0, 7 = 0 e 5 = 0. Calcule a área desse triângulo. 5

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