I CAPÍTULO 19 RETA PASSANDO POR UM PONTO DADO

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Tamanho: px
Começar a partir da página:

Download "I CAPÍTULO 19 RETA PASSANDO POR UM PONTO DADO"

Transcrição

1 Matemática Frente I CAPÍTULO 19 RETA PASSANDO POR UM PONTO DADO 1 - RECORDANDO Na última aula, nós vimos duas condições bem importantes: Logo, se uma reta passa por um ponto e tem um coeficiente angular, a sua equação é Condição para que duas retas r e s sejam paralelas; A seguir, vamos mostrar várias situações em que essa fórmula pode ser aplicada. Condição para que duas retas r e s sejam perpendiculares; Na aula de hoje, nós vamos aplicar essas duas condições para resolver diversos problemas de Geometria Analítica. 3 - RETAS PARALELAS Imagine o seguinte problema: dada uma reta e um ponto, queremos determinar a equação de uma reta paralela a e que passe por. 2 - FÓRMULA Até agora, sempre que nós queríamos saber a equação de uma reta, nos precisávamos de duas informações: as coordenadas de um ponto (primeira informação) e as coordenadas de outro ponto (segunda informação). Nesta aula, vamos mostrar uma abordagem diferente: em vez das coordenadas de dois pontos, as duas informações para determinar a equação de uma reta serão as coordenadas de um único ponto dado (primeira informação) e o coeficiente angular da reta (segunda informação). Seja a equação de uma reta que passa por um ponto dado. Seja um outro ponto qualquer da reta. Então, tem-se: Figura 2 reta paralela a e passando por um ponto dado Exercício Resolvido 1: Sejam e. Determine a equação de uma reta, onde passa por e é paralela à reta. Para determinar a equação da reta, precisamos de um ponto de e do seu coeficiente angular. Felizmente, já temos esse ponto, pois. Assim, só falta descobrir : Figura 1 reta r passando por um ponto dado Resposta: a equação da reta é 17 MAT I CASD Vestibulares

2 Exercício Resolvido 2: Como a altura relativa ao lado deve passar pelo ponto (que é oposto ao lado ), o Sejam e. ponto deve pertencer à reta. Agora só Determine a equação de uma reta, onde passa precisamos do seu coeficiente angular. por e é paralela à reta. Como um lado é perpendicular à sua respectiva altura, tem-se que e devem ser retas perpendiculares. Então: Novamente, para determinar a equação da reta s, precisamos de um ponto de e do seu coeficiente angular. Felizmente, já temos esse ponto, pois. Assim, só falta descobrir. Mas primeiro vamos descobrir, obtendo a equação reduzida da reta : Resposta: a equação da reta é Resposta: a equação da reta s é 4 - ALTURA DO TRIÂNGULO Agora, vamos mudar o nosso problema: Dados três pontos A, B e C de um triângulo, queremos descobrir a equação da reta que contém uma altura do triângulo. Exercício Resolvido 3: Sejam e. Qual é a equação da reta que contém a altura relativa ao lado? Exercício Resolvido 4: Sejam, e. Qual é o ponto em que a altura relativa ao lado corta o lado? Seja o ponto em que a altura relativa ao lado corta o lado. Sejam ainda a reta que contém a altura relativa ao lado e a reta que contém o lado. Essa situação está ilustrada na figura a seguir: Seja a reta que contém a altura relativa ao lado. Seja ainda a reta que contém o lado. Para determinar a equação de, precisamos de um ponto dessa reta e do seu coeficiente angular. Essa situação está ilustrada na figura a seguir: Figura 3 figura relativa ao exercício resolvido 3 Figura 4 figura relativa ao exercício resolvido 4 Para determinar o ponto, precisamos das equações das retas e. E para determinar as equações de e, precisamos de um ponto e do coeficiente angular de cada reta. Primeiro vamos determinar a equação de : já sabemos que é um ponto de, então só falta determinar CASD Vestibulares MAT I 18

3 5 - PÉ DA PERPENDICULAR Desta vez, vamos analisar o seguinte problema: dado um ponto e uma reta, queremos encontrar o pé da reta, que passa por e é perpendicular a. Mas o que seria esse pé da perpendicular? O pé é a interseção da perpendicular com a reta original, ou seja, é a interseção de com. Exercício Resolvido 5: Agora, vamos determinar a equação de. Como a altura relativa ao lado deve passar pelo ponto (que é oposto ao lado ), o ponto deve pertencer à reta. Agora só precisamos do seu coeficiente angular. Como um lado é perpendicular á sua respectiva altura, tem-se que e devem ser retas perpendiculares. Então: Sejam e. Qual é o pé da reta perpendicular a e que passa por? Seja a reta perpendicular a e que passa por. Seja ainda o pé de, ou seja, é a interseção das retas e. Para determinar o ponto, precisamos das equações das retas e. Essa situação está ilustrada na figura a seguir: Seja o ponto em que a altura relativa ao lado corta o lado. Então é o ponto em que e se cortam, ou seja, e. Então: Figura 5 figura relativa ao exercício resolvido 5 Para determinar a equação da reta, precisamos de um ponto de e do seu coeficiente angular. Felizmente, já temos esse ponto, pois. Assim, só falta descobrir. Da equação reduzida de, tem-se que Então: ( ) ( ) Resposta: o ponto em que a altura relativa ao lado corta o lado é ( ) 19 MAT I CASD Vestibulares

4 Como é a interseção das retas e, Para determinar a equação da reta, H e. Então: precisamos de um ponto de e do seu coeficiente angular. Infelizmente, desta vez nós não temos esse ponto diretamente. No entanto, sabemos que o ponto médio de pertence a. Logo, se é o ponto médio de, tem-se: Resposta: o pé da reta perpendicular a passa por é ( ) e que Agora que já temos um ponto de descobrir. Então:, só falta 6 - MEDIATRIZ Finalmente, chegamos ao último problema deste capítulo: sendo dados dois pontos e quaisquer, queremos determinar a mediatriz deles. A mediatriz do segmento é a reta cujos pontos são eqüidistantes de e de (se é um ponto da mediatriz, ). Ela apresenta algumas propriedades interessantes, como: a mediatriz passa pelo ponto médio do segmento. De fato, se é ponto médio de e de,, logo é ponto da mediatriz; a mediatriz é perpendicular ao segmento AB; Vamos usar essas propriedades para calcular a equação de m, como veremos no exemplo a seguir. Exercício Resolvido 6: Sejam e. Qual é a equação da mediatriz de? Seja a reta mediatriz do segmento. Seja ainda a reta que passa por e por. Essa situação está ilustrada na figura a seguir: Resposta: a equação da reta m é 7 - RESUMO Neste capítulo, nós vimos que para determinar a equação de uma reta, é suficiente saber duas informações: as coordenadas de um ponto da reta (primeira informação) e o seu coeficiente angular (segunda informação). Uma vez que essas duas informações são conhecidas, basta aplicar a seguinte fórmula: Essa fórmula é bastante útil nas mais diversas situações. Só neste capítulo, nós vimos como determinar a equação de uma reta paralela a outra reta por um ponto dado; como encontrar a reta suporte da altura de um triângulo dado; como encontrar o pé da perpendicular a uma reta por um ponto dado; e como determinar a equação da mediatriz de um segmento dado. Abaixo segue uma série de exercícios em que você pode aplicar a fórmula acima. Boa sorte! Figura 6 figura relativa ao exercício resolvido 6 CASD Vestibulares MAT I 20

5 EXERCÍCIOS PROPOSTOS 9. (UFMG - 97) O lado BC de um ângulo reto ABC está sobre a reta de equação x - 2y + 1 = 0, e o Nível I ponto de coordenadas (2,4) pertence à reta que contém o lado BA. A equação da reta que contém o lado BA é: 1. (UFMG - 01) A reta r passa pelo ponto (16, 11) e NÃO intercepta a reta de equação Considerando-se os seguintes pontos, o ÚNICO que pertence à reta r é a) (7, 6) b) (7, 13/2) c) (7, 7) d) (7, 15/2) a) 4x + 2y - 5 = 0 b) x - 2y + 6 = 0 c) x + 2y - 10 = 0 d) 2x + y - 8 = (UNESP - 90) A reta r é perpendicular à reta -3x + 4y - 5 = 0 e passa pelo ponto (1, 2). Determine os pontos de r que distam 5 unidades do ponto (1, 2). 2. (UNESP - 01) Dada a reta r de equação 4x + 2y + 5 = 0 e o ponto P = (2,-1), determine a) o coeficiente angular de r; b) a equação geral da reta s que é perpendicular a r e passa pelo ponto P. 3. Determine o pé da perpendicular baixada de P(2,3) sobre r: 2x-3y-8=0. 4. (FEI - 96) Se a reta r passa pelos pontos (3, 0) e (0, 1), a reta s é perpendicular a r e passa pela origem, então s contém o ponto: a) (5, 15) b) (5, 10) c) (5, 5) d) (5, 1) e) (5, 0) 5. (FUVEST - 97) As retas r e s são perpendiculares e interceptam-se no ponto (2, 4). A reta s passa pelo ponto (0, 5). Uma equação da reta r é a) 2y + x = 10 b) y = x +2 c) 2y - x = 6 d) 2x + y = 8 e) y = 2x 6. (UFMG - 95) A reta r é perpendicular à reta de equação 2x + y - 1 = 0 no ponto de abscissa -1. A equação da reta r é a) x - 2y + 7 = 0 b) 2x + y - 7 = 0 c) -x + 2y + 7 = 0 d) 2x + y + 7 = 0 e) x + 2y - 1 = 0 Nível II 7. O ponto simétrico da origem em relação à reta 2x+2y-1=0 é: (Dica: imagine que a reta dada é um espelho. O que se pergunta é onde está a imagem do ponto.) 11. (UFSCAR - 07) Considere P um ponto pertencente à reta (r) de equação 3x + 5y - 10 = 0 e eqüidistante dos eixos coordenados. A equação da reta que passa por P e é perpendicular a (r) é a) 10x - 6y - 5 = 0. b) 6x - 10y + 5 = 0. c) 15x - 9y - 16 = 0. d) 5x + 3y - 10 = 0. e) 15x - 3y - 4 = (UFSCAR - 06) Os pontos P e Q dividem o segmento de extremos (5, 8) e (1, 2) em três partes iguais. Se as retas perpendiculares a esse segmento pelos pontos P e Q interceptam o eixo y nos pontos (0, p) e (0, q), com p > q, então 6q - 3p é igual a a) 10. b) 8. c) 7. d) 5. e) (UFSCAR - 08) Admita os pontos A(2, 2) e B(- 3, 4) como sendo vértices opostos de um losango ACBD. a) Determine a equação geral de cada uma das retas suportes das diagonais do losango ACBD. b) Calcule o comprimento do lado do losango ACBD, admitindo-se que um de seus vértices esteja no eixo das abscissas. Dica 1: em um losango, as duas diagonais são perpendiculares. Dica 2: Em um losango, as suas diagonais se bisseccionam (a interseção delas é o ponto médio de cada diagonal). 8. (UNESP - 06) Num sistema de coordenadas cartesianas ortogonais, o coeficiente angular e a equação geral da reta que passa pelos pontos P e Q, sendo P = (2, 1) e Q o simétrico, em relação ao eixo y, do ponto Q' = (1, 2) são, respectivamente: a) 1/3; x - 3y - 5 = 0. b) 2/3; 2x - 3y -1 = 0. c) - 1/3; x + 3y - 5 = 0. d) 1/3; x + 3y - 5 = 0. e) - 1/3; x + 3y + 5 = MAT I CASD Vestibulares

6 GABARITO 1. B 2. a) b) s: A 5. E 6. A 7. ( ) 8. C 9. D 10. e 11. A 12. B 13. a) e b) BIBLIOGRAFIA Não há referências bibliográficas CASD Vestibulares MAT I 22

Módulo de Geometria Anaĺıtica 1. Coordenadas, Distâncias e Razões de Segmentos no Plano Cartesiano. 3 a série E.M.

Módulo de Geometria Anaĺıtica 1. Coordenadas, Distâncias e Razões de Segmentos no Plano Cartesiano. 3 a série E.M. Módulo de Geometria Anaĺıtica 1 Coordenadas, Distâncias e Razões de Segmentos no Plano Cartesiano a série EM Geometria Analítica 1 Coordenadas, Distâncias e Razões de Segmentos no Plano Cartesiano 1 Exercícios

Leia mais

Lista de férias. Orientação de estudos:

Lista de férias. Orientação de estudos: Lista de férias Orientação de estudos: 1. Você deve rever as aulas iniciais sobre distância entre dois pontos e coeficiente angular. Lembre-se que há duas maneiras para determinar o coeficiente angular.

Leia mais

MATEMÁTICA GEOMETRIA ANALÍTICA I PROF. Diomedes. E2) Sabendo que a distância entre os pontos A e B é igual a 6, calcule a abscissa m do ponto B.

MATEMÁTICA GEOMETRIA ANALÍTICA I PROF. Diomedes. E2) Sabendo que a distância entre os pontos A e B é igual a 6, calcule a abscissa m do ponto B. I- CONCEITOS INICIAIS - Distância entre dois pontos na reta E) Sabendo que a distância entre os pontos A e B é igual a 6, calcule a abscissa m do ponto B. d(a,b) = b a E: Dados os pontos A e B de coordenadas

Leia mais

Módulo de Geometria Anaĺıtica Parte 2. Distância entre Ponto e Reta. Professores Tiago Miranda e Cleber Assis

Módulo de Geometria Anaĺıtica Parte 2. Distância entre Ponto e Reta. Professores Tiago Miranda e Cleber Assis Módulo de Geometria Anaĺıtica Parte Distância entre Ponto e Reta a série E.M. Professores Tiago Miranda e Cleber Assis Geometria Analítica Parte Distância entre Ponto e Reta 1 Exercícios Introdutórios

Leia mais

Geometria Analítica Plana.

Geometria Analítica Plana. Geometria Analítica Plana. Resumo teórico e eercícios. 3º Colegial / Curso Etensivo. Autor - Lucas Octavio de Souza (Jeca) Estudo de Geometria Analítica Plana. Considerações gerais. Este estudo de Geometria

Leia mais

1 TEOREMA DE TALES 2 APLICAÇÃO PARA TRIÂNGULOS 3 TEOREMA DA BISSETRIZ INTERNA. Matemática 2 Pedro Paulo

1 TEOREMA DE TALES 2 APLICAÇÃO PARA TRIÂNGULOS 3 TEOREMA DA BISSETRIZ INTERNA. Matemática 2 Pedro Paulo Matemática 2 Pedro Paulo GEOMETRIA PLANA XI 1 TEOREMA DE TALES No Nivelamento, um dos assuntos abordados foi Razão e Proporção. A proporção aparece em várias situações no dia-a-dia: por exemplo, na leitura

Leia mais

GAAL - 2013/1 - Simulado - 1 Vetores e Produto Escalar

GAAL - 2013/1 - Simulado - 1 Vetores e Produto Escalar GAAL - 201/1 - Simulado - 1 Vetores e Produto Escalar SOLUÇÕES Exercício 1: Determinar os três vértices de um triângulo sabendo que os pontos médios de seus lados são M = (5, 0, 2), N = (, 1, ) e P = (4,

Leia mais

1 ELEMENTOS DA CIRCUNFERÊNCIA

1 ELEMENTOS DA CIRCUNFERÊNCIA Matemática 2 Pedro Paulo GEOMETRIA PLANA II 1 ELEMENTOS DA CIRCUNFERÊNCIA Circunferência é o conjunto de pontos que está a uma mesma distância (chamaremos essa distância de raio) de um ponto fixo (chamaremos

Leia mais

1 COMO ESTUDAR GEOMETRIA

1 COMO ESTUDAR GEOMETRIA Matemática 2 Pedro Paulo GEOMETRIA ESPACIAL I 1 COMO ESTUDAR GEOMETRIA Só relembrando a primeira aula de Geometria Plana, aqui vão algumas dicas bem úteis para abordagem geral de uma questão de geometria:

Leia mais

Basta duplicar o apótema dado e utilizar o problema 1 (pág.: 45).

Basta duplicar o apótema dado e utilizar o problema 1 (pág.: 45). Aula 12 Exercício 1: Basta duplicar o apótema dado e utilizar o problema 1 (pág.: 45). Exercício 2: Traçar a diagonal AB, traçar a mediatriz de AB achando M (ponto médio de AB). Com centro em AB M e raio

Leia mais

Módulo de Geometria Anaĺıtica 1. Paralelismo e Perpendicularismo. 3 a série E.M.

Módulo de Geometria Anaĺıtica 1. Paralelismo e Perpendicularismo. 3 a série E.M. Módulo de Geometria Anaĺıtica 1 Paralelismo e Perpendicularismo 3 a série EM Geometria Analítica 1 Paralelismo e Perpendicularismo 1 Exercícios Introdutórios Exercício 1 Determine se as retas de equações

Leia mais

Retas e Planos. Equação Paramétrica da Reta no Espaço

Retas e Planos. Equação Paramétrica da Reta no Espaço Retas e lanos Equações de Retas Equação aramétrica da Reta no Espaço Considere o espaço ambiente como o espaço tridimensional Um vetor v = (a, b, c) determina uma direção no espaço Dado um ponto 0 = (x

Leia mais

Exercícios de Matemática Geometria Analítica - Circunferência

Exercícios de Matemática Geometria Analítica - Circunferência Exercícios de Matemática Geometria Analítica - Circunferência ) (Unicamp-000) Sejam A e B os pontos de intersecção da parábola y = x com a circunferência de centro na origem e raio. a) Quais as coordenadas

Leia mais

Lista 8 - Geometria Analítica

Lista 8 - Geometria Analítica Lista 8 - Geometria Analítica Posição Relativa, Distância e Ângulos e paralelo a reta x = y = z 7 1 Estude a posição relativa das retas r e s. Se as retas forem concorrentes encontre o ponto de intersecção

Leia mais

02 Determine o módulo, a direção e o sentido dos seguintes vetores: a) A = 5 Λ i + 3 Λ j, b) B = 10 Λ i -7 Λ j, c) C = 2 Λ i - 3 Λ j + 4 Λ k.

02 Determine o módulo, a direção e o sentido dos seguintes vetores: a) A = 5 Λ i + 3 Λ j, b) B = 10 Λ i -7 Λ j, c) C = 2 Λ i - 3 Λ j + 4 Λ k. Exercícios de apoio à disciplina Geometria Analítica e Cálculo Vetorial 1 01 Três vetores A, B e C possuem as seguintes componentes nas direções x e y: A x = 6, A y = -3; B x = -3, B y =4; C x =2, C y

Leia mais

1. Sendo (x+2, 2y-4) = (8x, 3y-10), determine o valor de x e de y. 2. Dado A x B = { (1,0); (1,1); (1,2) } determine os conjuntos A e B. 3. (Fuvest) Sejam A=(1, 2) e B=(3, 2) dois pontos do plano cartesiano.

Leia mais

Lista 1: Vetores -Turma L

Lista 1: Vetores -Turma L Lista 1: Vetores -Turma L Professora: Ivanete Zuchi Siple 1. Dados os vetores u e v da gura, mostrar num gráco um representante do vetor: (a) u v (b) v u (c) u + 4 v u v. Represente o vetor x = u + v w

Leia mais

Lista 1. Sistema cartesiano ortogonal. 1. Observe a figura e determine os pontos, ou seja, dê suas coordenadas: a) A b) B c) C d) D e) E

Lista 1. Sistema cartesiano ortogonal. 1. Observe a figura e determine os pontos, ou seja, dê suas coordenadas: a) A b) B c) C d) D e) E Sistema cartesiano ortogonal Lista. Observe a figura e determine os pontos, ou seja, dê suas coordenadas: a) A b) B c) C d) D e) E. Marque num sistema de coordenadas cartesianas ortogonais os pontos: a)

Leia mais

2) Se z = (2 + i).(1 + i).i, então a) 3 i b) 1 3i c) 3 i d) 3 + i e) 3 + i. ,será dado por: quando x = i é:

2) Se z = (2 + i).(1 + i).i, então a) 3 i b) 1 3i c) 3 i d) 3 + i e) 3 + i. ,será dado por: quando x = i é: Aluno(a) Nº. Ano: º do Ensino Médio Exercícios para a Recuperação de MATEMÁTICA - Professores: Escossi e Luciano NÚMEROS COMPLEXOS 1) Calculando-se corretamente as raízes da função f(x) = x + 4x + 5, encontram-se

Leia mais

MATEMÁTICA TIPO A GABARITO: VFFVF. Solução: é a parábola com foco no ponto (0, 3) e reta diretriz y = -3.

MATEMÁTICA TIPO A GABARITO: VFFVF. Solução: é a parábola com foco no ponto (0, 3) e reta diretriz y = -3. 1 MATEMÁTICA TIPO A 01. Seja o conjunto de pontos do plano cartesiano, cuja distância ao ponto é igual à distância da reta com equação. Analise as afirmações a seguir. 0-0) é a parábola com foco no ponto

Leia mais

O B. Podemos decompor a pirâmide ABCDE em quatro tetraedros congruentes ao tetraedro BCEO. ABCDE tem volume igual a V = a2.oe

O B. Podemos decompor a pirâmide ABCDE em quatro tetraedros congruentes ao tetraedro BCEO. ABCDE tem volume igual a V = a2.oe GABARITO - QUALIFICAÇÃO - Setembro de 0 Questão. (pontuação: ) No octaedro regular duas faces opostas são paralelas. Em um octaedro regular de aresta a, calcule a distância entre duas faces opostas. Obs:

Leia mais

Geometria Área de Quadriláteros

Geometria Área de Quadriláteros ENEM Geometria Área de Quadriláteros Wallace Alves da Silva DICAS MATEMÁTICAS [Escolha a data] Áreas de quadriláteros Olá Galera, 1 QUADRILÁTEROS Quadrilátero é um polígono com quatro lados. A soma dos

Leia mais

1. (Ufscar 2003) Em uma lanchonete, um casal de namorados resolve dividir uma taça de milk

1. (Ufscar 2003) Em uma lanchonete, um casal de namorados resolve dividir uma taça de milk GEOMETRIA ESPACIAL: TRONCO 1. (Ufscar 2003) Em uma lanchonete, um casal de namorados resolve dividir uma taça de milk shake com as dimensões mostradas no desenho. a) Sabendo-se que a taça estava totalmente

Leia mais

O coeficiente angular

O coeficiente angular A UA UL LA O coeficiente angular Introdução O coeficiente angular de uma reta já apareceu na Aula 30. Agora, com os conhecimentos obtidos nas Aulas 40 e 45, vamos explorar mais esse conceito e descobrir

Leia mais

PROFº. LUIS HENRIQUE MATEMÁTICA

PROFº. LUIS HENRIQUE MATEMÁTICA Geometria Analítica A Geometria Analítica, famosa G.A., ou conhecida como Geometria Cartesiana, é o estudo dos elementos geométricos no plano cartesiano. PLANO CARTESIANO O sistema cartesiano de coordenada,

Leia mais

FÍSICA. Professor Felippe Maciel Grupo ALUB

FÍSICA. Professor Felippe Maciel Grupo ALUB Revisão para o PSC (UFAM) 2ª Etapa Nas questões em que for necessário, adote a conversão: 1 cal = 4,2 J Questão 1 Noções de Ondulatória. (PSC 2011) Ondas ultra-sônicas são usadas para vários propósitos

Leia mais

FUVEST VESTIBULAR 2005 FASE II RESOLUÇÃO: PROFA. MARIA ANTÔNIA GOUVEIA.

FUVEST VESTIBULAR 2005 FASE II RESOLUÇÃO: PROFA. MARIA ANTÔNIA GOUVEIA. FUVEST VESTIBULAR 00 FASE II PROFA. MARIA ANTÔNIA GOUVEIA. Q 0. Para a fabricação de bicicletas, uma empresa comprou unidades do produto A, pagando R$9, 00, e unidades do produto B, pagando R$8,00. Sabendo-se

Leia mais

Exercícios de Matemática Troncos

Exercícios de Matemática Troncos Exercícios de Matemática Troncos 1. (Ufscar) Em uma lanchonete, um casal de namorados resolve dividir uma taça de milk shake com as dimensões mostradas no desenho. 4. (Ufpe) Um cone circular reto, com

Leia mais

Vetores. Definição geométrica de vetores

Vetores. Definição geométrica de vetores Vetores Várias grandezas físicas, tais como por exemplo comprimento, área, olume, tempo, massa e temperatura são completamente descritas uma ez que a magnitude (intensidade) é dada. Tais grandezas são

Leia mais

Matemática. Resolução das atividades complementares. M20 Geometria Analítica: Circunferência

Matemática. Resolução das atividades complementares. M20 Geometria Analítica: Circunferência Resolução das atividades complementares Matemática M Geometria Analítica: ircunferência p. (Uneb-A) A condição para que a equação 6 m 9 represente uma circunferência é: a), m, ou, m, c) < m < e), m, ou,

Leia mais

Revisão Extra UECE. 1. (Espcex- 2013) A figura a seguir apresenta o gráfico de um polinômio P(x) do 4º grau no intervalo 0,5. 1 0 no intervalo 0,5 é

Revisão Extra UECE. 1. (Espcex- 2013) A figura a seguir apresenta o gráfico de um polinômio P(x) do 4º grau no intervalo 0,5. 1 0 no intervalo 0,5 é 1. (Espce- 01) A figura a seguir apresenta o gráfico de um polinômio P() do º grau no intervalo 0,5. O número de raízes reais da equação a) 0 b) 1 c) d) e) P 1 0 no intervalo 0,5 é. (Ufrn 01) Considere,

Leia mais

Ponto, reta e plano no espaço tridimensional, cont.

Ponto, reta e plano no espaço tridimensional, cont. Ponto, reta e plano no espaço tridimensional, cont. Matemática para arquitetura Ton Marar 1. Posições relativas Posição relativa entre pontos Dois pontos estão sempre alinhados. Três pontos P 1 = (x 1,

Leia mais

MATEMÁTICA Geometria Analítica 3º Ano APROFUNDAMENTO/REFORÇO. Aluno(a): Número: Turma:

MATEMÁTICA Geometria Analítica 3º Ano APROFUNDAMENTO/REFORÇO. Aluno(a): Número: Turma: Colégio Adventista Portão EIEFM MATEMÁTICA Geometria Analítica 3º Ano APROFUNDAMENTO/REFORÇO Professor: Hermes Jardim Disciplina: Matemática Lista 1 1º Bimestre/013 Aluno(a): Número: Turma: 1) Determine

Leia mais

III CAPÍTULO 21 ÁREAS DE POLÍGONOS

III CAPÍTULO 21 ÁREAS DE POLÍGONOS 1 - RECORDANDO Até agora, nós vimos como calcular pontos, retas, ângulos e distâncias, mas não vimos como calcular a área de nenhuma figura. Na aula de hoje nós vamos estudar a área de polígonos: além

Leia mais

Nesta aula iremos continuar com os exemplos de revisão.

Nesta aula iremos continuar com os exemplos de revisão. Capítulo 8 Nesta aula iremos continuar com os exemplos de revisão. 1. Exemplos de revisão Exemplo 1 Ache a equação do círculo C circunscrito ao triângulo de vértices A = (7, 3), B = (1, 9) e C = (5, 7).

Leia mais

Agrupamento de Escolas General Humberto Delgado Sede na Escola Secundária/3 José Cardoso Pires Santo António dos Cavaleiros

Agrupamento de Escolas General Humberto Delgado Sede na Escola Secundária/3 José Cardoso Pires Santo António dos Cavaleiros Agrupamento de Escolas General Humberto Delgado Sede na Escola Secundária/3 José Cardoso Pires Santo António dos Cavaleiros 2º ciclo PCA - 6º ano Planificação Anual 2013-2014 MATEMÁTICA METAS CURRICULARES

Leia mais

QUADRILÁTEROS. Um quadrilátero é um polígono de quatro lados. Pode ser dito que é porção do plano limitada por uma poligonal fechada,

QUADRILÁTEROS. Um quadrilátero é um polígono de quatro lados. Pode ser dito que é porção do plano limitada por uma poligonal fechada, QUADRILÁTEROS Um quadrilátero é um polígono de quatro lados. Pode ser dito que é porção do plano limitada por uma poligonal fechada, A B C Lados: AB BC CD AD Vértices: A B C D Diagonais: AC BD D Algumas

Leia mais

PROVA DE MATEMÁTICA DA UFBA VESTIBULAR 2011 1 a Fase. RESOLUÇÃO: Profa. Maria Antônia Gouveia.

PROVA DE MATEMÁTICA DA UFBA VESTIBULAR 2011 1 a Fase. RESOLUÇÃO: Profa. Maria Antônia Gouveia. PROVA DE MATEMÁTICA DA UFBA VESTIBULAR a Fase Profa. Maria Antônia Gouveia. Questão. Considerando-se as funções f: R R e g: R R definidas por f(x) = x e g(x) = log(x² + ), é correto afirmar: () A função

Leia mais

GUIA PARA AS PROVAS ( PO, AT E PG) E VESTIBULARES GEOMETRIA ANALÍTICA

GUIA PARA AS PROVAS ( PO, AT E PG) E VESTIBULARES GEOMETRIA ANALÍTICA GUIA PARA AS PROVAS ( PO, AT E PG) E VESTIBULARES GEOMETRIA ANALÍTICA PROF. ENZO MARCON TAKARA 05 - PLANO CARTESIANO ORTOGONAL Considere num plano a dois eixos x e y perpendiculares em O. O par de eixos

Leia mais

AULA DE REPOSIÇÃO 001 / 3º ANO

AULA DE REPOSIÇÃO 001 / 3º ANO UL DE REPOSIÇÃO 00 / 3º NO Introdução Inicialmente, para a primeira aula, será feita uma retomada de todo o assunto já estudado, uma vez que não é nada fácil simplesmente retomar o conteúdo sem que sejam

Leia mais

ponto P terá as projecções P 1 e P 2. E o eixo X passa para X. Vamos ver o que acontece no plano do

ponto P terá as projecções P 1 e P 2. E o eixo X passa para X. Vamos ver o que acontece no plano do Mudança de planos 1- Introdução As projecções de uma figura só representam as suas verdadeiras grandezas se essa figura está contida num plano paralelo aos planos de projecção. Caso contrário as projecções

Leia mais

Construções Elementares com Régua e Compasso

Construções Elementares com Régua e Compasso TERCEIRLISTDEEXERCÍCIOS Fundamentos da Matemática II MTEMÁTIC DCET UESC Humberto José ortolossi Construções Elementares com Régua e Compasso (Entregar todos os exercícios até o dia 20/04/2004) 1 Construindo

Leia mais

As assíntotas são retas que passam no centro da hipérbole e tem coeficiente angular m = b / a e m = b / a, logo temos:

As assíntotas são retas que passam no centro da hipérbole e tem coeficiente angular m = b / a e m = b / a, logo temos: Exercício 01. Dada à hipérbole de equação 5x 2 4y 2 20x 8y 4 = 0 determine os focos e as equações das assintotas. Escrevendo a hipérbole da maneira convencional teríamos 5[x 2 4x + 4 4] 4[y 2 + 2y + 1]

Leia mais

PROVA DO VESTIBULAR ESAMC-2003-1 RESOLUÇÃO E COMENTÁRIO DA PROFA. MARIA ANTÔNIA GOUVEIA M A T E M Á T I C A

PROVA DO VESTIBULAR ESAMC-2003-1 RESOLUÇÃO E COMENTÁRIO DA PROFA. MARIA ANTÔNIA GOUVEIA M A T E M Á T I C A PROVA DO VESTIBULAR ESAMC-- RESOLUÇÃO E COMENTÁRIO DA PROFA. MARIA ANTÔNIA GOUVEIA M A T E M Á T I C A Q. O valor da epressão para = é : A, B, C, D, E, ( (,..., ( ( RESPOSTA: Alternativa A. Q. Sejam A

Leia mais

MATEMÁTICA. y Q. (a,b)

MATEMÁTICA. y Q. (a,b) MATEMÁTICA 1. Sejam (a, b), com a e b positivos, as coordenadas de um ponto no plano cartesiano, e r a reta com inclinação m

Leia mais

Matemática SSA 2 REVISÃO GERAL 1

Matemática SSA 2 REVISÃO GERAL 1 1. REVISÃO 01 Matemática SSA REVISÃO GERAL 1. Um recipiente com a forma de um cone circular reto de eixo vertical recebe água na razão constante de 1 cm s. A altura do cone mede cm, e o raio de sua base

Leia mais

Refração da Luz Prismas

Refração da Luz Prismas Refração da Luz Prismas 1. (Fuvest 014) Um prisma triangular desvia um feixe de luz verde de um ângulo θ A, em relação à direção de incidência, como ilustra a figura A, abaixo. Se uma placa plana, do mesmo

Leia mais

APOSTILA TECNOLOGIA MECANICA

APOSTILA TECNOLOGIA MECANICA FACULDADE DE TECNOLOGIA DE POMPEIA CURSO TECNOLOGIA EM MECANIZAÇÃO EM AGRICULTURA DE PRECISÃO APOSTILA TECNOLOGIA MECANICA Autor: Carlos Safreire Daniel Ramos Leandro Ferneta Lorival Panuto Patrícia de

Leia mais

PROVA DE MATEMÁTICA DA UFPE. VESTIBULAR 2013 2 a Fase. RESOLUÇÃO: Profa. Maria Antônia Gouveia.

PROVA DE MATEMÁTICA DA UFPE. VESTIBULAR 2013 2 a Fase. RESOLUÇÃO: Profa. Maria Antônia Gouveia. PROVA DE MATEMÁTICA DA UFPE VESTIBULAR 0 a Fase Profa. Maria Antônia Gouveia. 0. A ilustração a seguir é de um cubo com aresta medindo 6cm. A, B, C e D são os vértices indicados do cubo, E é o centro da

Leia mais

GA Estudo das Retas. 1. (Pucrj 2013) O triângulo ABC da figura abaixo tem área 25 e vértices A = (4, 5), B = (4, 0) e C = (c, 0).

GA Estudo das Retas. 1. (Pucrj 2013) O triângulo ABC da figura abaixo tem área 25 e vértices A = (4, 5), B = (4, 0) e C = (c, 0). GA Estudo das Retas 1. (Pucrj 01) O triângulo ABC da figura abaixo tem área 5 e vértices A = (, 5), B = (, 0) e C = (c, 0). A equação da reta r que passa pelos vértices A e C é: a) y x 7 x b) y 5 x c)

Leia mais

FÍSICA. Questões de 01 a 06

FÍSICA. Questões de 01 a 06 FIS. 1 FÍSICA Questões de 01 a 06 01. Um estudante de Física executou um experimento de Mecânica, colocando um bloco de massa m = 2kg sobre um plano homogêneo de inclinação regulável, conforme a figura

Leia mais

Exercícios de Matemática Geometria Analítica Cônicas

Exercícios de Matemática Geometria Analítica Cônicas Eercícios de Matemática Geometria Analítica Cônicas ) (ITA-004) Considere todos os números z = + i que têm módulo e estão na elipse + 4 = 4. Então, o produto deles é igual a 9 49 8 4 ) (VUNESP-00) A figura

Leia mais

Exercícios de Matemática Retas e Planos

Exercícios de Matemática Retas e Planos Exercícios de Matemática Retas e Planos 3. (Unesp) Considere o cubo da figura adiante. Das alternativas a seguir, aquela correspondente a pares de vértices que determinam três retas, duas a duas reversas,

Leia mais

Simetria de Figuras Planas e Espaciais

Simetria de Figuras Planas e Espaciais Simetria de Figuras Planas e Espaciais Introdução A maioria das pessoas acreditam que a simetria está ligada mais a pensamentos sobre Arte e Natureza do que sobre Matemática. De fato, nossas ideias de

Leia mais

Prova 3 - Matemática

Prova 3 - Matemática Prova 3 - QUESTÕES OBJETIIVAS N ọ DE ORDEM: N ọ DE INSCRIÇÃO: NOME DO CANDIDATO: IINSTRUÇÕES PARA A REALIIZAÇÃO DA PROVA. Confira os campos N ọ DE ORDEM, N ọ DE INSCRIÇÃO e NOME, que constam na etiqueta

Leia mais

Aula 10 Triângulo Retângulo

Aula 10 Triângulo Retângulo Aula 10 Triângulo Retângulo Projeção ortogonal Em um plano, consideremos um ponto e uma reta. Chama-se projeção ortogonal desse ponto sobre essa reta o pé da perpendicular traçada do ponto à reta. Na figura,

Leia mais

Aula 12 Áreas de Superfícies Planas

Aula 12 Áreas de Superfícies Planas MODULO 1 - AULA 1 Aula 1 Áreas de Superfícies Planas Superfície de um polígono é a reunião do polígono com o seu interior. A figura mostra uma superfície retangular. Área de uma superfície é um número

Leia mais

ESCOLA DR. ALFREDO JOSÉ BALBI UNITAU APOSTILA PROF. CARLINHOS NOME: N O :

ESCOLA DR. ALFREDO JOSÉ BALBI UNITAU APOSTILA PROF. CARLINHOS NOME: N O : ESCOLA DR. ALFREDO JOSÉ BALBI UNITAU APOSTILA INTRODUÇÃO AO ESTUDO DAS FUNÇÕES PROF. CARLINHOS NOME: N O : 1 FUNÇÃO IDÉIA INTUITIVA DE FUNÇÃO O conceito de função é um dos mais importantes da matemática.

Leia mais

Apostila de Física 39 Lentes Esféricas

Apostila de Física 39 Lentes Esféricas Apostila de Física 39 Lentes Esféricas 1.0 Definições Lente Sistemas ópticos de maior importância em nossa civilização. Lente esférica Sistema óptico constituído por 3 meios homogêneos e transparentes

Leia mais

Capítulo 1. x > y ou x < y ou x = y

Capítulo 1. x > y ou x < y ou x = y Capítulo Funções, Plano Cartesiano e Gráfico de Função Ao iniciar o estudo de qualquer tipo de matemática não podemos provar tudo. Cada vez que introduzimos um novo conceito precisamos defini-lo em termos

Leia mais

REVISÃO Lista 07 Áreas, Polígonos e Circunferência. h, onde b representa a base e h representa a altura.

REVISÃO Lista 07 Áreas, Polígonos e Circunferência. h, onde b representa a base e h representa a altura. NOME: ANO: º Nº: POFESSO(A): Ana Luiza Ozores DATA: Algumas definições Áreas: Quadrado: EVISÃO Lista 07 Áreas, Polígonos e Circunferência A, onde representa o lado etângulo: A b h, onde b representa a

Leia mais

9 é MATEMÁTICA. 26. O algarismo das unidades de (A) 0. (B) 1. (C) 3. (D) 6. (E) 9.

9 é MATEMÁTICA. 26. O algarismo das unidades de (A) 0. (B) 1. (C) 3. (D) 6. (E) 9. MATEMÁTICA 6. O algarismo das unidades de (A) 0. (B) 1. (C) 3. (D) 6. (E) 9. 10 9 é 7. A atmosfera terrestre contém 1.900 quilômetros cúbicos de água. Esse valor corresponde, em litros, a (A) (B) (C) (D)

Leia mais

Cap. 7 - Fontes de Campo Magnético

Cap. 7 - Fontes de Campo Magnético Universidade Federal do Rio de Janeiro Instituto de Física Física III 2014/2 Cap. 7 - Fontes de Campo Magnético Prof. Elvis Soares Nesse capítulo, exploramos a origem do campo magnético - cargas em movimento.

Leia mais

1. (Unesp 2003) Cinco cidades, A, B, C, D e E, são interligadas por rodovias, conforme mostra

1. (Unesp 2003) Cinco cidades, A, B, C, D e E, são interligadas por rodovias, conforme mostra GEOMETRIA PLANA: SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS 2 1. (Unesp 2003) Cinco cidades, A, B, C, D e E, são interligadas por rodovias, conforme mostra a figura. A rodovia AC tem 40km, a rodovia AB tem 50km, os ângulos

Leia mais

MATRIZ FORMAÇÃO E IGUALDADE

MATRIZ FORMAÇÃO E IGUALDADE MATRIZ FORMAÇÃO E IGUALDADE 1. Seja X = (x ij ) uma matriz quadrada de ordem 2, onde i + j para i = j ;1 - j para i > j e 1 se i < j. A soma dos seus elementos é igual a: a. -1 b. 1 c. 6 d. 7 e. 8 2. Se

Leia mais

Introdução À Astronomia e Astrofísica 2010

Introdução À Astronomia e Astrofísica 2010 CAPÍTULO 1 ESFERA CELESTE E O SISTEMA DE COORDENADAS Esfera Celeste. Sistema de Coordenadas. Coordenadas Astronómicas. Sistema Horizontal. Sistema Equatorial Celeste. Sistema Equatorial Horário. Tempo

Leia mais

ESTUDO GRÁFICO DOS MOVIMENTOS. Gráfico posição x tempo (x x t)

ESTUDO GRÁFICO DOS MOVIMENTOS. Gráfico posição x tempo (x x t) ESTUDO GRÁFICO DOS MOVIMENTOS No estudo do movimento é bastante útil o emprego de gráficos. A descrição de um movimento a partir da utilização dos gráficos (posição x tempo; velocidade x tempo e aceleração

Leia mais

Pesquisa Operacional. Função Linear - Introdução. Função do 1 Grau. Função Linear - Exemplos Representação no Plano Cartesiano. Prof.

Pesquisa Operacional. Função Linear - Introdução. Função do 1 Grau. Função Linear - Exemplos Representação no Plano Cartesiano. Prof. Pesquisa Operacional Prof. José Luiz Prof. José Luiz Função Linear - Introdução O conceito de função é encontrado em diversos setores da economia, por exemplo, nos valores pagos em um determinado período

Leia mais

4.2 Produto Vetorial. Orientação sobre uma reta r

4.2 Produto Vetorial. Orientação sobre uma reta r 94 4. Produto Vetorial Dados dois vetores u e v no espaço, vamos definir um novo vetor, ortogonal a u e v, denotado por u v (ou u v, em outros textos) e denominado produto vetorial de u e v. Mas antes,

Leia mais

FUVEST VESTIBULAR 2006. RESOLUÇÃO DA PROVA DA FASE 1. Por Professora Maria Antônia Conceição Gouveia. MATEMÁTICA

FUVEST VESTIBULAR 2006. RESOLUÇÃO DA PROVA DA FASE 1. Por Professora Maria Antônia Conceição Gouveia. MATEMÁTICA FUVEST VESTIBULAR 006. RESOLUÇÃO DA PROVA DA FASE 1. Por Professora Maria Antônia Conceição Gouveia. MATEMÁTICA 1. A partir de 64 cubos brancos, todos iguais, forma-se um novo cubo. A seguir, este novo

Leia mais

PROBLEMAS SELECIONADOS DE DESENHO GEOMÉTRICO Parte II: Polígonos e Círculos. Sergio Lima Netto sergioln@lps.ufrj.br

PROBLEMAS SELECIONADOS DE DESENHO GEOMÉTRICO Parte II: Polígonos e Círculos. Sergio Lima Netto sergioln@lps.ufrj.br PROLEMS SELECIONDOS DE DESENHO GEOMÉTRICO Parte II: Polígonos e Círculos Sergio Lima Netto sergioln@lps.ufrj.br versão julho de 008 Prólogo Foi feito um grande esforço para reproduzir os desenhos que acompanham

Leia mais

IFSP - EAD - GEOMETRIA TRIÂNGULO RETÂNGULO CONCEITUAÇÃO :

IFSP - EAD - GEOMETRIA TRIÂNGULO RETÂNGULO CONCEITUAÇÃO : IFSP - EAD - GEOMETRIA TRIÂNGULO RETÂNGULO CONCEITUAÇÃO : Como já sabemos, todo polígono que possui três lados é chamado triângulo. Assim, ele também possui três vértices e três ângulos internos cuja soma

Leia mais

OBJETIVOS: Definir área de figuras geométricas. Calcular a área de figuras geométricas básicas, triângulos e paralelogramos.

OBJETIVOS: Definir área de figuras geométricas. Calcular a área de figuras geométricas básicas, triângulos e paralelogramos. META: Definir e calcular área de figuras geométricas. AULA 8 OBJETIVOS: Definir área de figuras geométricas. Calcular a área de figuras geométricas básicas, triângulos e paralelogramos. PRÉ-REQUISITOS

Leia mais

Exercícios de Matemática II

Exercícios de Matemática II Nome: nº Professor(a): Série: ª EM. Turma: Data: / /014 Sem limite para crescer Exercícios de Matemática II 1º Trimestre 1. (Uem 011) Um cientista deseja determinar o calor específico de um material. Para

Leia mais

1. Determine x no caso a seguir: 2. No triângulo ABC a seguir, calcule o perímetro.

1. Determine x no caso a seguir: 2. No triângulo ABC a seguir, calcule o perímetro. 1. Determine x no caso a seguir: 2. No triângulo ABC a seguir, calcule o perímetro. 3. (Ufrrj) Milena, diante da configuração representada abaixo, pede ajuda aos vestibulandos para calcular o comprimento

Leia mais

MATEMÁTICA TIPO C. 01. A função tem como domínio e contradomínio o conjunto dos números reais e é definida por ( ). Analise a

MATEMÁTICA TIPO C. 01. A função tem como domínio e contradomínio o conjunto dos números reais e é definida por ( ). Analise a 1 MATEMÁTICA TIPO C 01. A função tem como domínio e contradomínio o conjunto dos números reais e é definida por ( ). Analise a veracidade das afirmações seguintes sobre, cujo gráfico está esboçado a seguir.

Leia mais

4 Mudança de Coordenadas

4 Mudança de Coordenadas Material by: Caio Guimarães (Equipe Rumoaoita.com) Última atualização: 14 de outubro de 006 4 Mudança de Coordenadas Translação e Rotação de Curvas no R² Introdução O enfoque dos 3 primeiros capítulos

Leia mais

FUNÇÃO DO 1º GRAU. Vamos iniciar o estudo da função do 1º grau, lembrando o que é uma correspondência:

FUNÇÃO DO 1º GRAU. Vamos iniciar o estudo da função do 1º grau, lembrando o que é uma correspondência: FUNÇÃO DO 1º GRAU Vamos iniciar o estudo da função do 1º grau, lembrando o que é uma correspondência: Correspondência: é qualquer conjunto de pares ordenados onde o primeiro elemento pertence ao primeiro

Leia mais

Vestibulando Web Page www.vestibulandoweb.com.br

Vestibulando Web Page www.vestibulandoweb.com.br 1. (Ufv 2000) Um aluno, sentado na carteira da sala, observa os colegas, também sentados nas respectivas carteiras, bem como um mosquito que voa perseguindo o professor que fiscaliza a prova da turma.

Leia mais

MATRIZ - FORMAÇÃO E IGUALDADE

MATRIZ - FORMAÇÃO E IGUALDADE MATRIZ - FORMAÇÃO E IGUALDADE 1. Seja X = (x ij ) uma matriz quadrada de ordem 2, onde i + j para i = j ;1 - j para i > j e 1 se i < j. A soma dos seus elementos é igual a: 2. Se M = ( a ij ) 3x2 é uma

Leia mais

1 Módulo ou norma de um vetor

1 Módulo ou norma de um vetor Álgebra Linear I - Aula 3-2005.2 Roteiro 1 Módulo ou norma de um vetor A norma ou módulo do vetor ū = (u 1, u 2, u 3 ) de R 3 é ū = u 2 1 + u2 2 + u2 3. Geometricamente a fórmula significa que o módulo

Leia mais

1º LISTÃO QUINZENAL DE MATEMÁTICA MAIO/2011 2º ANO PARTE 1 SISTEMAS LINEARES

1º LISTÃO QUINZENAL DE MATEMÁTICA MAIO/2011 2º ANO PARTE 1 SISTEMAS LINEARES º LISTÃO QUINZENAL DE MATEMÁTICA MAIO/0 º ANO PARTE SISTEMAS LINEARES 0. (FGV/SP) Resolvendo o sistema abaixo, obtém-se para z o valor: x + y + z = 0 x y z = 6y + z = a) - b) - c) 0 d) e) 0. (Mack-007)

Leia mais

Gobooks.com.br. PucQuePariu.com.br

Gobooks.com.br. PucQuePariu.com.br ÁLGEBRA LINEAR todos os conceitos, gráficos e fórmulas necessárias, em um só lugar. Gobooks.com.br PucQuePariu.com.br e te salvando de novo. Agora com o: RESUMO ÁLGEBRA LINEAR POR: Giovanni Tramontin 1.

Leia mais

Vestibular 1ª Fase Resolução das Questões Objetivas

Vestibular 1ª Fase Resolução das Questões Objetivas COMISSÃO PERMANENTE DE SELEÇÃO COPESE PRÓ-REITORIA DE GRADUAÇÃO PROGRAD CONCURSO VESTIBULAR 00 Prova de Matemática Vestibular ª Fase Resolução das Questões Objetivas São apresentadas abaixo possíveis soluções

Leia mais

CAPÍTULO 6 TRANSFORMAÇÃO LINEAR

CAPÍTULO 6 TRANSFORMAÇÃO LINEAR INODUÇÃO AO ESUDO DA ÁLGEBA LINEA CAPÍULO 6 ANSFOMAÇÃO LINEA Introdução Muitos problemas de Matemática Aplicada envolvem o estudo de transformações, ou seja, a maneira como certos dados de entrada são

Leia mais

Capítulo 3 A Mecânica Clássica

Capítulo 3 A Mecânica Clássica Capítulo 3 A Mecânica Clássica AMecânica Clássica é formalmente descrita pelo físico, matemático e filósofo Isaac Newton no século XVII. Segundo ele, todos os eventos no universo são resultados de forças.

Leia mais

Capítulo 3. Cálculo Vetorial. 3.1 Segmentos Orientados

Capítulo 3. Cálculo Vetorial. 3.1 Segmentos Orientados Capítulo 3 Cálculo Vetorial O objetivo deste capítulo é o estudo de vetores de um ponto de vista geométrico e analítico. De acordo com a necessidade, a abordagem do assunto será formal ou informal. O estudo

Leia mais

Abordagem de geometria no ensino médio partindo de poliedros

Abordagem de geometria no ensino médio partindo de poliedros Abordagem de geometria no ensino médio partindo de poliedros José Luiz Magalhães de Freitas INMA/UFMS e-mail: joseluizufms2@gmail.com Marilena Bittar INMA/UFMS e-mail: marilenabittar@gmail.com O objetivo

Leia mais

MATEMÁTICA 3. Resposta: 29

MATEMÁTICA 3. Resposta: 29 MATEMÁTICA 3 17. Uma ponte deve ser construída sobre um rio, unindo os pontos A e, como ilustrado na figura abaixo. Para calcular o comprimento A, escolhe-se um ponto C, na mesma margem em que está, e

Leia mais

Vetores no R 2 : = OP e escreve-se: v = (x, y), identificando-se as coordenadas de P com as componentes de v.

Vetores no R 2 : = OP e escreve-se: v = (x, y), identificando-se as coordenadas de P com as componentes de v. Vetores no R 2 : O conjunto R 2 = R x R = {(x, y) / x, y Є R} é interpretado geometricamente como sendo o plano cartesiano xoy. Qualquer vetor AB considerado neste plano tem sempre um representante OP

Leia mais

Áreas e Aplicações em Geometria

Áreas e Aplicações em Geometria 1. Introdução Áreas e Aplicações em Geometria Davi Lopes Olimpíada Brasileira de Matemática 18ª Semana Olímpica São José do Rio Preto, SP Nesse breve material, veremos uma rápida revisão sobre áreas das

Leia mais

b) a 0 e 0 d) a 0 e 0

b) a 0 e 0 d) a 0 e 0 IFRN - INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO, CIÊNCIA E TECNOLOGIA DO RN PROFESSOR: MARCELO SILVA MATEMÁTICA FUNÇÃO DO º GRAU 1. Um grupo de pessoas gastou R$ 10,00 em uma lanchonete. Quando foram pagar a conta,

Leia mais

XXXI Olimpíada de Matemática da Unicamp Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica Universidade Estadual de Campinas

XXXI Olimpíada de Matemática da Unicamp Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica Universidade Estadual de Campinas Gabarito da Prova da Primeira Fase Nível Alfa 1 Questão 1 0 pontos Na Tabela 1 temos a progressão mensal para o Imposto de Renda Pessoa Física 014 01. Tabela 1: Imposto de Renda Pessoa Física 014 01. Base

Leia mais

5 LG 1 - CIRCUNFERÊNCIA

5 LG 1 - CIRCUNFERÊNCIA 40 5 LG 1 - CIRCUNFERÊNCIA Propriedade: O lugar geométrico dos pontos do plano situados a uma distância constante r de um ponto fixo O é a circunferência de centro O e raio r. Notação: Circunf(O,r). Sempre

Leia mais

Conceitos: A fração como coeficiente. A fração e a sua representação gráfica. Termos que compõem uma fração. Fração unidade. Fração de um número.

Conceitos: A fração como coeficiente. A fração e a sua representação gráfica. Termos que compõem uma fração. Fração unidade. Fração de um número. Unidade 1. As frações. Enquadramento Curricular em Espanha: Objetos de aprendizagem: 1.1. Conceito de fração Identificar os termos de uma fração. Escrever e ler frações. Comparar frações com igual denominador.

Leia mais

Material Teórico - Módulo de Métodos sofisticados de contagem. Princípio das Casas dos Pombos. Segundo Ano do Ensino Médio

Material Teórico - Módulo de Métodos sofisticados de contagem. Princípio das Casas dos Pombos. Segundo Ano do Ensino Médio Material Teórico - Módulo de Métodos sofisticados de contagem Princípio das Casas dos Pombos Segundo Ano do Ensino Médio Prof. Cícero Thiago Bernardino Magalhães Prof. Antonio Caminha Muniz Neto Em Combinatória,

Leia mais

Considere um triângulo eqüilátero T 1

Considere um triângulo eqüilátero T 1 Considere um triângulo eqüilátero T de área 6 cm. Unindo-se os pontos médios dos lados desse triângulo, obtém-se um segundo triângulo eqüilátero T, que tem os pontos médios dos lados de T como vértices.

Leia mais

Universidade Federal do Rio de Janeiro INSTITUTO DE MATEMÁTICA Departamento de Métodos Matemáticos

Universidade Federal do Rio de Janeiro INSTITUTO DE MATEMÁTICA Departamento de Métodos Matemáticos Universidade Federal do Rio de Janeiro INSTITUTO DE MATEMÁTICA Departamento de Métodos Matemáticos Gabarito da a Prova de Geometria I - Matemática - Monica 9/05/015 1 a Questão: (4,5 pontos) (solução na

Leia mais

Aula 5 Quadriláteros Notáveis

Aula 5 Quadriláteros Notáveis Aula 5 Quadriláteros Notáveis Paralelogramo Definição: É o quadrilátero convexo que possui os lados opostos paralelos. A figura mostra um paralelogramo ABCD. Teorema 1: Se ABCD é um paralelogramo, então:

Leia mais