1. Determine x no caso a seguir: 2. No triângulo ABC a seguir, calcule o perímetro.

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1 1. Determine x no caso a seguir: 2. No triângulo ABC a seguir, calcule o perímetro. 3. (Ufrrj) Milena, diante da configuração representada abaixo, pede ajuda aos vestibulandos para calcular o comprimento da sombra x do poste, mas, para isso, ela informa que o sen = 0,6. Calcule o comprimento da sombra x.

2 4. (Unicamp) Caminhando em linha reta ao longo de uma praia, um banhista vai de um ponto A a um ponto B, cobrindo a distância AB = metros. Quando em A ele avista um navio parado em N de tal maneira que o ângulo NAB é de 60 ; e quando em B, verifica que o ângulo NBA é de 45. a) Faça uma figura ilustrativa da situação descrita. b) Calcule a distância a que se encontra o navio da praia. 5. (Unesp) Um farol localizado a 36 m acima do nível do mar é avistado por um barco a uma distância x da base do farol, a partir de um ângulo, conforme a figura: a) Admitindo-se que sen( ) = 3/5, calcule a distância x. b) Assumindo-se que o barco se aproximou do farol e que uma nova observação foi realizada, na qual o ângulo passou exatamente para 2, calcule a nova distância x' a que o barco se encontrará da base do farol. 6. (Uerj) Considere o triângulo ABC a seguir, onde os ângulos A, B e C estão em progressão aritmética crescente. Determine os valores de cada um desses ângulos, respectivamente, nas seguintes condições: a) sen A + sen B + sen C = (3 + Ë3)/2 b) åæ = 2 æè.

3 7. (Ufpe) Uma ponte deve ser construída sobre um rio, unindo os pontos A e B, como ilustrado na figura abaixo. Para calcular o comprimento AB, escolhe-se um ponto C, na mesma margem em que B está, e medem-se os ângulos CBA = 57 e ACB = 59. Sabendo que BC mede 30m, indique, em metros, a distância AB. (Dado: use as aproximações sen(59 ) 0,87 e sen(64 ) 0,90) 8. (Unesp) Cinco cidades, A, B, C, D e E, são interligadas por rodovias, conforme mostra a figura. A rodovia AC tem 40 km, a rodovia AB tem 50 km, os ângulos x, entre AC e AB, e y, entre AB e BC, são tais que senx = 3/4 e seny = 3/7. Deseja-se construir uma nova rodovia ligando as cidades D e E que, dada a disposição destas cidades, será paralela a BC. a) Use a lei dos senos para determinar quantos quilômetros tem a rodovia BC. b) Sabendo que AD tem 30 km, determine quantos quilômetros terá a rodovia DE.

4 9. (Unicamp) Sejam A, B, C e N quatro pontos em um mesmo plano, conforme mostra a figura a seguir. a) Calcule o raio da circunferência que passa pelos pontos A, B e N. b) Calcule o comprimento do segmento NB. 10. (Ufes) No triângulo ABC da figura, temos AD = CF = BE = 2 cm e DC = FB = EA = (1 + Ë3) cm. Calcule a medida, em graus, do ângulo AÊD e a área do triângulo DEF.

5 11. (Ufrj) O objetivo desta questão é que você demonstre a lei dos cossenos. Mais especificamente, considerando o triângulo da figura a seguir, mostre que a = b + c - 2bc cosš 12. (Unicamp) Os lados de um triângulo têm, como medidas, números inteiros ímpares consecutivos cuja soma é 15. a) Quais são esses números? b) Calcule a medida do maior ângulo desse triângulo. c) Sendo e os outros dois ângulos do referido triângulo, com >, mostre que sen - sen < 1/ Num triângulo isósceles ABC, cada ângulo da base mede 74 e cada lado congruente 8 cm. Nessas condições determine: (use a tabela trigonométrica) a) a medida da altura h. b) a medida x da base do triângulo.

6 14. Calcule a diagonal menor do paralelogramo ABCD. 15. (Unesp) Na figura, ABCD é um retângulo, BD = 6 cm, a medida do ângulo ABD é = 30, a medida do ângulo AED é e x = BE. Determine: a) a área do triângulo BDE, em função de x. b) o valor de x, quando = 75.

7 16. (Ufpe) Considere os triângulos retângulos PQR e PQS da figura a seguir. Se RS = 100, quanto vale PQ? a) 100Ë3 b) 50Ë3 c) 50 d) (50Ë3)/3 e) 25Ë3 17. (Unesp) A figura adiante representa o perfil de uma escada cujos degraus têm todos a mesma extensão, além de mesma altura. Se åæ = 2 m e BðA mede 30, então a medida da extensão de cada degrau é: a) (2Ë3)/3 m b) (Ë2)/3 m c) (Ë3)/6 m d) (Ë3)/2 m e) (Ë3)/3 m

8 18. (Unesp) Do quadrilátero ABCD da figura a seguir, sabe-se que: os ângulos internos de vértices A e C são retos; os ângulos CDB e ADB medem, respectivamente, 45 e 30 ; o lado CD mede 2 dm. Então, os lados AD e AB medem, respectivamente, em dm: a) Ë6 e Ë3. b) Ë5 e Ë3. c) Ë6 e Ë2. d) Ë6 e Ë5. e) Ë3 e Ë (Fuvest) Uma folha de papel ABCD de formato retangular é dobrada em torno do segmento EF, de maneira que o ponto A ocupe a posição G, como mostra a figura. Se AE = 3 e BG = 1, então a medida do segmento AF é igual a a) (3Ë5)/2 b) (7Ë5)/8 c) (3Ë5)/4 d) (3Ë5)/5 e) (Ë5)/3

9 20. (Mackenzie) Supondo Ë3 = 1,7, a área do triângulo da figura vale: a) 1,15 b) 1,25 c) 1,30 d) 1,35 e) 1, (Ufsm) Na instalação das lâmpadas de uma praça de alimentação, a equipe necessitou calcular corretamente a distância entre duas delas, colocadas nos vértices B e C do triângulo, segundo a figura. Assim, a distância "d" é a) 50Ë2 m b) 50 (Ë6)/3 m c) 50Ë3 m d) 25Ë6 m e) 50 Ë6 m

10 22. (Fuvest) No quadrilátero a seguir, BC = CD = 3 cm, AB = 2 cm, ADC = 60 e ABC = 90. A medida, em cm, do perímetro do quadrilátero é: a) 11. b) 12. c) 13. d) 14. e) (Mackenzie) A área do triângulo a seguir é: a) 12 Ë3 b) 18 Ë3 c) 10 Ë3 d) 20 Ë3 e) 15 Ë3

11 24. (Uerj) Um holofote está situado no ponto A, a 30 metros de altura, no alto de uma torre perpendicular ao plano do chão. Ele ilumina, em movimento de vaivém, uma parte desse chão, do ponto C ao ponto D, alinhados à base B, conforme demonstra a figura a seguir: Se o ponto B dista 20 metros de C e 150 metros de D, a medida do ângulo CÂD corresponde a: a) 60 b) 45 c) 30 d) (Unirio) Deseja-se medir a distância entre duas cidades B e C sobre um mapa, sem escala. Sabe-se que AB = 80 km e AC = 120 km, onde A é uma cidade conhecida, como mostra a figura anterior. Logo, a distância entre B e C, em km, é: a) menor que 90. b) maior que 90 e menor que 100. c) maior que 100 e menor que 110. d) maior que 110 e menor que 120. e) maior que 120.

12 GABARITO 1. x = 3 2. Perímetro = 7 3. x 13,33 metros 4. Observe a figura a seguir: b) d = 600 (3 - Ë3)m 5. a) x = 48m b) x' = 10,5m. 6. a) A = 30, B = 60 e C = 90 b) A = 30, B = 60 e C = metros. 8. a) BC = 70 km b) DE = 42 km 9. a) 1 km b) Ë2 km 10. AÊD = 45, área = 3Ë(3)/2 cm 11. Seja h a altura relativa ao lado c e sejam x e y as projeções de a e b sobre c, respectivamente. Então: y = b cosš e x=c-bcosš. Pelo Teorema de Pitágoras: b = b cos š + h a = (c - bcosš) + h = c -2bccosš+b cos š+h

13 Logo: a = b + c - 2bc cosš. 12. a) 3, 5, 7 b) 120 c) No Triângulo Pela lei dos senos, tem-se: (sen )/5 = (sen )/3 = (sen 120 )/7 (sen - sen )/(25-9) = 3/196 sen - sen < 1/4 13. a) h = 7,69 cm b) x = 4,42 cm 14. A diagonal menor do paralelogramo vale 5Ë a) 3x/2 cm b) 6[(Ë3) -1] cm 16. [B] 17. [E] 18. [C] 19. [D] 20. [D] 21. [A]

14 22. [B] 23. [C] 24. [B] 25. [C]

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