O conhecimento é a nossa propaganda.

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1 Conhecimentos geométricos II - Triângulos e Quadriláteros Lista de Exercícios 1 Gabaritos Comentados dos Questionários 01) (ENEM 2000) Um marceneiro deseja construir uma escada trapezoidal com 5 degraus, de forma que o mais baixo e o mais alto tenham larguras respectivamente iguais a 60 cm e a 30 cm, conforme a figura: Os degraus serão obtidos cortando-se uma peça linear de madeira cujo comprimento mínimo, em cm, deve ser: a) 144. b) 180. c) 210. d) 225. e) 240. Utilizando os conceitos de base média, concluímos que: B = ( ) / 2 B = 90/2 B = 45 A = (30 + B) / 2 A = ( ) / 2 A = 75/2 A = 37,5 C = (60 + B) / 2 C = ( ) / 2 C = 105/2 C = 52,5 A soma dos valores dos degraus resulta no comprimento mínimo de madeira a ser cortado.

2 , , = 225. ALTERNATIVA D 02) (OBMEP 2008) Na figura o ângulo ADC mede 48 e os triângulos ACD, DBE e EAF são isósceles de bases AD, DE e EF, respectivamente. Quanto mede o ângulo DEF? a) 36. b) 40. c) 42. d) 48. e) 58.

3 Como o triângulo ACD é isósceles de base AD o ângulo CAD = 48. Pela soma dos ângulos internos do triângulo temos que o ângulo ACD = 84. Este ângulo forma um ângulo raso com o ângulo ACB, portanto ACB = = 96. Prolongando o segmento DA, temos que o ângulo FAG é o oposto pelo vértice do ângulo CAD, ou seja, FAG = 48. Chamando-se o ângulo DEB de h, e sabendo que o triângulo DEB é isósceles com base DE, temos que o ângulo BDE é h também, de modo que o ângulo externo ABC é igual à soma dos ângulos internos não adjacentes do triângulo DEB (ABC = 2h). Chamando os suplementares do ângulo FAG de x e y, respectivamente, temos que: (1) x + y = 132. Considerando-se o triângulo FAE, temos que: (2) f + f x = 180 2f + x = 132 2f = x Considerando-se o triângulo ABC, temos que: (3) 96 + y + 2h = 180 y + 2h = 84 Substituindo (1) em (2), temos que: 2f = 132 x 2f = y Substituindo (2) em (3), temos que: 2f + 2h = 84 f + h = 42 Como f + h = Ê, temos que Ê = 42. ALTERNATIVA C 03) (OBMEP 2009) A figura mostra dois trechos de 300 km cada um percorridos por um avião. O primeiro trecho faz um ângulo de 18º com a direção norte e o segundo, um ângulo de 44º, também com a direção norte. Se o avião tivesse percorrido o trecho assinalado em pontilhado, qual seria o ângulo desse trecho com a direção norte? a) 12º. b) 13º. c) 14º. d) 15º. e) 16º.

4 Como os segmentos AF e ED apontam para o norte, eles são paralelos. Assim o ângulo FAB = DBA = 18. Assim o ângulo: CBA DBA = 180 CBA = CBA = 118. Como os trechos CB = AB, pois medem 300 km cada um, temos que ACB = 18 + CAF e: ACB + (18 + CAF) + CBA = 180 (18 + CAF) = 180 2CAF = CAF = 26 /2 CAF = 13. ALTERNATIVA B 04) (FUVEST 1998) As retas t e s são paralelas. A medida do ângulo x, em graus, é: a) 30. b) 40. c) 50. d) 60. e) 70.

5 Ao traçar as linhas paralelas t e s temos que o ângulo suplementar de 140 (a) é alterno interno de b, portanto: a = b = 40 Vemos um ângulo raso formados pelos ângulos b, y e 120. Assim: 40 + y = 180 y = y = 20 Como a soma dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180, temos que: x = 180 x = x = 70. ALTERNATIVA E 05) (OBMEP 2005) O triângulo ABC é isósceles de base BC e o ângulo BAC mede 30 o. O triângulo BCD é isósceles de base BD. Determine a medida do ângulo DCA. a) 45. b) 50. d) 60. d) 75. e) 90. Como o triângulo ABC é isósceles, os ângulos dos vértices B e C são iguais. Considerando os ângulos CBA e BCA iguais e iguais a x e BAC = 30, temos: 2x + 30 = 180 2x = 150 x = 75 Como o triângulo BCD também é isósceles e temos que o ângulo DBC = BDC = 75 e que o ângulo BCD = 30 BCD + DCA = BCA 30 + DCA = 75 DCA = 45. ALTERNATIVA E 06) (OMM 2007) Na estrela ABCDE da figura sabemos que GBF = 20 o, GHI = 130 o e GFJ = 100 o. O valor do ângulo GCH é:

6 a) 30 o. b) 40 o. c) 50 o. d) 60 o. Considerando os ângulos GBF = 20, GHI = 130 e GFJ = 100. Temos que o triângulo BHE tem a soma de seus ângulos internos a = 180, ou seja, a = 30. Agora, observando o triângulo CFE temos que: a x = x = 180 x = x = 50. ALTERNATIVA C

7 07) (OBM 2009) Na figura abaixo, α =18º e AB = AC = AD = AE. O valor do ângulo β é: a) 18. b) 36. c) 15. d) 20. e) 30. No triângulo isósceles ABE, temos: ângulo ABE + ângulo AEB + 3x18 = 180 x + x + 54 = 180 2x = 126 x = 63 No triângulo isósceles ABC, temos ângulo ABC + ângulo ACB + 18 = 180 y + y + 18 = 180 2y = 162 y = 81 ângulo ABC = 63 + β 81 = 63 + β β = β = 18 ALTERNATIVA A

8 08) (UFJF 2002) Na figura abaixo, as retas r e s são perpendiculares e as retas m e n são paralelas. Então, a medida do ângulo α, em graus, é igual a: a) 70. b) 60. c) 45. d) 40. e) 30. Como o ângulo x e o de 20 são opostos pelo vértice temos que x = 20. O ângulo α possui seu correspondente no pequeno triângulo. Como a soma dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180 e as retas r e s são perpendiculares (formam um ângulo de 90 ), temos: α + x + 90 = 180º α = 180 α = α = 70. ALTERNATIVA A 09) (OBM 1998) Um viajante deveria caminhar durante uma hora num sentido entre o norte e o leste, fazendo 30 0 com o norte. Atrapalhou-se e caminhou uma hora num sentido entre o norte e o oeste, formando 30 0 com o norte. Para chegar ao seu destino, ele deve agora tomar um rumo que faça com o norte um ângulo de: a) 0º. b) 30º. c) 45º. d) 60º. e) 90º.

9 Observando o desenho temos: Ponto i é o ponto inicial do viajante. Ele deveria caminhar durante uma hora para o sentido da reta pontilhada verde, formando um ângulo de 30 com o sentido norte. Porém, ele caminhou durante uma hora no sentido oposto (linha vermelha), formando também um ângulo de 30 com o sentido norte também. No final ele chegou ao ponto a e, para retomar a direção certa e chegar ao lugar que quer, ele deve seguir pra leste. Como ele andou durante o mesmo tempo que andaria para o sentido certo e com o mesmo ângulo de distância par ao sentido norte notase que ele precisa apenas caminhar para o leste, formando um triângulo isósceles em que o sentido norte é a bissetriz e altura relativa do triângulo formado. Assim o ângulo entre o sentido que ele deve seguir e o sentido norte deve ser de 90. ALTERNATIVA E 10) (OMM 2008) Na figura estão representados um triângulo equilátero e um retângulo. Qual é o valor em graus do ângulo marcado com x? a) 10º. b) 15º. c) 20º. d) 25º. Encontrando os valores dos ângulos a e b:

10 a = 180 a = a = b = 180 b = b = 80 Sabendo que a soma dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180, temos: a + b + c = c = 180 c = c = 75 Como os ângulos c e d são opostos pelo vértice: c = d d = 75 Usando novamente a soma dos ângulos internos temos: d x = x = 180 x = x = 15. ALTERNATIVA B Lista de Exercícios 2 01) (UEPB 2005) Os ângulos internos de um quadrilátero formam uma P.G. de modo que o último ângulo é quatro vezes maior que o segundo ângulo. A medida do menor desses quatro ângulos, em graus, é: a) 18. b) 26. c) 22. d) 20. e) 24. P.G. (x, 2x, 4x, 8x) A soma dos ângulos internos de um quadrilátero equivale a 360. x + 2x + 4x + 8x = x = 360 x = 24 ALTERNATIVA E 02) (OBM 2007) Na figura, o lado AB do triângulo equilátero ABC é paralelo ao lado DG do quadrado DEFG. Qual é o valor do ângulo x? a) 80. b) 90. c) 100. d) 110. e) 120.

11 Prolongando o lado AB temos duas retas paralelas. Assim vemos que o ângulo de 60 do triângulo equilátero é alterno interno de y: y = 60 Como os ângulos y e x são suplementares, temos: x + y = x = 180 x = x = 120. ALTERNATIVA E 03) (OBM 2006) Na figura, AB = AC, AE = AD e o ângulo BAD mede 30. Então o ângulo x mede: a)10. b) 20. c) 15. d) 30. e) 5. A soma dos ângulos a + x é externo ao triângulo ABD. Com isso a + x = b + 30 (soma dos ângulos internos não adjacentes). Portanto: a = b x (1) O triângulo ABC é isósceles de base BC e, portanto, b = d. Como o triângulo ADE é isósceles de base DE, temos que a = c. Como c é ângulo externo do triângulo EDC, temos que: c = a = x + b (2) Igualando as equações (1) e (2), temos: b x = x + b x + x + b b = 30 2x = 30 x = 15. ALTERNATIVA C

12 04) (UNIFENAS 2007) Na figura abaixo, tem-se r//s e t//u. Se os ângulos assinalados têm as medidas indicadas em graus, calcule a medida do suplemento do complemento de x. a) 160. b) 140. c) 110. d) 70. e) 50. De acordo com as propriedades das retas paralelas, concluímos que: Utilizando a propriedade de ângulo externo do triângulo, temos: = 2x = 2x + 10

13 2x = 100 x = 50 Complemento do ângulo x = y y = y = 40 Suplemento do ângulo y = z z = z = 140 ALTERNATIVA B 05) (OBM 2008) No desenho temos AE = BE = CE = CD. Além disso, α e β são medidas de ângulos. Qual é o valor da razão α/β? a) 3/5. b) 4/5. c) 1. d) 5/4. e) 5/3. Considerando AE = BE = CE = CD, temos: Como o triângulo ECD é isósceles, b = a e a + b + 20 = 180, temos que a = b = 80. Como b e c são opostos pelo vértice, temos que c = 80. Assim, no triângulo isósceles AEB, temos que 2α + c = 180 α = ( )/2 α = 50. A soma dos ângulos c + b + d + e = 360 e c = b = 80, d = e, temos: e = 360 e = ( )/2 e = 100. Como o triângulo BEC é isósceles temos que: 2β = 180 β = ( )/2 β = 40. Assim, α/β = 50 /40 = 5/4. ALTERNATIVA D 06) (UFLA 2001) Na figura, o triângulo ABC é retângulo em B, e o ponto D é o centro da circunferência inscrita. Sendo Ĉ = 40º, o valor do ângulo X é:

14 a) 230º. b) 210º. c) 130º. d) 250º. e) 300º. As retas que determinam o centro da circunferência inscrita dividem os ângulos internos em dois ângulos iguais (bissetriz). O ângulo CBA é igual a 90, portanto sua bissetriz equivale a 45. O ângulo CAB é igual a , ou seja, 50, e sua bissetriz equivale a 25. Desse modo, encontramos o triângulo ABD, sendo que o ângulo ADB equivale a , ou seja, 110. O valor de X equivale ao valor total da circunferência menos o valor do ângulo ADB. X = X = 250 ALTERNATIVA D 07) (OBM 2000) No triângulo ABC representado abaixo, a medida do ângulo C é 60 e a bissetriz do ângulo B forma 70 com a altura relativa ao vértice A. A medida do ângulo A é: B A C a) 50. b) 30. c) 40. d) 80. e) 70.

15 De acordo com os dados do enunciado e da propriedade da soma dos ângulos internos do triângulo, temos: No triângulo AOC, temos: y = y = 180 y = y = 30 No triângulo AOB, temos: x + 90 = x = 180 x = x = 50 Ângulo A = x + y Ângulo A = Ângulo A = 80 ALTERNATIVA D 08) (OBMEP 2009) No triângulo ABC temos AB = AC e os cinco segmentos marcados têm todos a mesma medida. Qual é a medida do ângulo BAC? a) 10º. b) 15º. c) 20º. d) 25º. e) 30º. Utilizando o conceito de ângulo externo do triângulo e as informações dadas no enunciado, chegamos aos seguintes valores.

16 Portanto, no triângulo ABC: 4x + x + 3x + x = 180 9x = 180 x = 20 09) (OBM 2006) Três quadrados são colados pelos seus vértices entre si e a dois bastões verticais, como mostra a figura. A medida do ângulo x é: a) 39º. b) 41º. c) 43º. d) 44º. e) 46º. O triângulo à esquerda possui ângulos de 90 e 30, portanto o ângulo a = 60. A soma dos ângulos: a + b + 90 = b + 90 = 180 b = 30 A soma dos ângulos internos: b c = c = 180 c = 24 Os ângulos c e d são correspondentes, assim d = 24.

17 A soma dos ângulos: d e = e = 180 e = 66 Os ângulos e e f são correspondentes, assim f = 66. Já que os ângulos f e g também são correspondentes, g = 66. A soma dos ângulos internos: g h = h = 180 h = 39 A soma dos ângulos h i = i = 180 i = 51 Somando os ângulos internos do triângulo à direita: i + x + 90 = x + 90 = 180 x = ) (UFT 2008) Na figura abaixo considere A = 30, α = B/3 e β = C/3. No triângulo BDC o ângulo D é: a) 90. b) 130. c) 150. d) 120. ângulo B + ângulo C + 30 = 180 B + C = 150 α = (150 - C) / 3 β = (150 - B) / 3 α + β + ângulo D = 180 (150 - C) / 3 + (150 - B) / 3 + D = C B + 3D = C B + 3D = 540 3D = C + B 3D = D = 390 D = 130 Lista de Exercícios 3

18 01) (OBM 2005) Na figura, os dois triângulos são eqüiláteros. Qual é o valor do ângulo x? a) 30º. b) 40 º. c) 50 º. d) 60 º. e) 70 º. As somas dos ângulos: b = a = 180 Temos que: b = 45 e a = 55 A soma dos ângulos a, b e c deve ser igual à 180 (Soma dos ângulos internos de um triângulo): c = 180 c = c = 80 Como os ângulos c e d são opostos pelo vértice, d = 80 Considerando a soma dos ângulos internos igual a 180, temo: x + d + 60 = 180 x = 180 x = x = ) (OBM 2004) Na figura, quanto vale x?

19 a) 6. b) 12. c) 18. d) 20. e) 24. O ângulo z é externo ao triângulo com os ângulos 3x e 4x, assim: 3x + 4x = z z = 7x Como z é externo do triângulo com ângulo 5x, temos: z = 5x + y y = 7x 5x y = 2x. Como y e z são opostos pelo vértice, temos que z = 2x. A soma dos ângulos internos: z + 2x + 6x = 180 2x + 2x + 6x = 180 x = ) (FGV-SP 2005) Na figura ao lado, o triângulo AHC é retângulo em H e s é a reta suporte da bissetriz do ângulo CAH. Se c = 30º e b = 110º, então:

20 a) x = 15º. b) x = 30º. c) x = 20º. d) x = 10º. e) x = 5º. Como o triângulo CAH é um triângulo retângulo e c = 30, temos que o ângulo do vértice A é igual a 60. Como a linha tracejada s é a bissetriz do ângulo do vértice A, temos que z = 30. Como y é ângulo externo do triângulo formado por ACD, temos que ele é a soma dos ângulos internos opostos, ou seja: y = c + z y = y = 60 No triângulo DBA, sabendo que a soma dos ângulos internos é igual a 180 e que b = 110, temos: y + x + b = x = 180 x = x = ) (UFRRJ 1999/2) Na figura abaixo r // s, t // u, v // w e m v. O valor de x é:

21 a) 60. b) 30. c) 20. d) 10. e) 50. Os ângulos 120 e a são suplementares, assim: a = 60. Como a soma dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180 temos que: a + b + 90 = b + 90 = 180 b = b = 30 Nota-se que os ângulos b e c correspondentes, assim: c = b = 30. Como os ângulos c e d são opostos pelos vértices, eles são correspondentes, ou seja, d = 30. O ângulo x é alterno interno do ângulo e, já que a reta r corta as retas paralelas v e w. O ângulo e é externo ao triângulo formado pelo encontro das retas r, t e w e é igual à soma dos ângulos internos opostos ao suplemento do ângulo e, assim: x = 20 + d x = x = 50

22 05) (ITA 2008) Considere o triângulo ABC isósceles em que o ângulo distinto dos demais, BAC; mede 40 : Sobre o lado AB, tome o ponto E tal que ACE = 15 : Sobre o lado AC, tome o ponto D tal que DBC = 35. Então, o ângulo EDB vale: a) 35. b) 45. c) 55. d) 75. e) 85. Desenhando o triângulo isósceles ABC de acordo com o enunciado: Como o triângulo ABC é isósceles de base BC temos que os ângulos ABC e ACB são iguais e iguais a 70. Como ACE = 15, temos que BCF = = 55. Assim, como DBC = 35, EBF = = 35. Considerando o ângulo pedido como, o ângulo de 90 no ponto F é externo ao triângulo EDF temos que 90 = + (90 - ). Observa-se que os triângulos BEF e BCF são congruentes, pois possuem seus três ângulos iguais e compartilham de lados iguais. Assim EF = CF, e como os triângulos compartilham do lado DF e possuem ângulos de 90 entre esses lados, temos que são triângulos congruentes também, ou seja: Pelos ângulos DEF e DCF: 90 - = 15 = 75. Ou, Pelos ângulos EDF e CDF: = ) (MACKENZIE 2003) Na figura, AB = AC e CE = CF. A medida de β é:

23 a) 190. b) 120. c) 110. d) 130. e) 140. Como os lados CF = CE temos que a = 40 e pela soma dos ângulos internos de um triângulo: a + b + 40 = b + 40 = 180 b = b = 100. Como os ângulos b e c formam um ângulo raso, temos: b + c = 180 c = c = 80.

24 Os ângulos a e d são opostos pelo vértice, portanto d = 40. Como o triângulo ABC é isósceles com base BC, o ângulo e = c e = 80. Assim, se β é ângulo externo do triângulo DEB, temos que ele é a soma dos ângulos não adjacentes a ele, ou seja: β = d + e β = β = ) (UEG 2006/2) Na figura, para quaisquer que sejam x e y, as medidas dos ângulos satisfazem a relação: a) y = 90 x. b) y = 180 x. c) y = 2x. d) y = 3x. De acordo com as propriedades de ângulos opostos pelo vértice e ângulo raso, concluímos que: De acordo com as propriedades geométricas dos quadriláteros, a soma dos seus ângulos internos é igual a 360. Logo: x y + 90 = 360 x + y = 360 x + y = 180 y = x 08) (UNIMONTES 2009) Na figura abaixo, MNPQ é um quadrado, e NPR é um triângulo equilátero. O ângulo α mede:

25 a) 30. b) 15. c) 75. d) 25. De acordo com o enunciado e com as propriedades das figuras geométricas, concluímos que: α + 75 = 90 α = 15 09) (UNIMONTES 2007/2) Na figura, BM é bissetriz de B. O valor do ângulo y é: a) 114º. b) 32º. c) 66º. d) 124º. Ângulo ABM = MBC, logo, no triângulo ABC: 2x x + 2(3/4x + 10 ) = 180 2x x + 3/2x + 20 = 180 4x x + 3x + 40 = 360

26 9x + 72 = 360 9x = 288 x = 32 No triângulo BMC: y = y = 180 y = ) (UNIMONTES 2006/2) Se, na figura abaixo, α é o triplo de β e γ o sêxtuplo de β, então o ângulo x tem medida igual a: a) 25º. b) 50º. c) 100º. d) 75º. Se α = 3β, a soma dos ângulos internos do triângulo ABC: β + 3β + 80 = 180 4β = β = 100 β = 25. Como γ = 6β γ = γ = 150 Agora, observando o triângulo ECD temos que o suplemento de γ é o ângulo CDE = 30. Como o ângulo de 80 é externo ao triângulo, temos que: 80 = x + 30 x = x = 50.

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