1ª Parte Questões de Múltipla Escolha

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1 MATEMÁTICA 11 a 1ª Parte Questões de Múltipla Escolha A soma dos cinco primeiros termos de uma PA vale 15 e o produto desses termos é zero. Sendo a razão da PA um número inteiro e positivo, o segundo termo dessa seqüência vale a 0. b 1. c. d 3. e 4. Seja a P.A. (x r, x r, x, x + r, x + r. Então, (x r + (x r + x + (x + r + (x + r = 15 5x = 15 x = 3. (3 r. (3 r. 3. (3 + r. (3 + r = 0 e r é inteiro positivo, r = 3 Portanto, a P.A. é ( 3; 0; 3; 6; 9 e o º termo da P.A. é zero. 1 e Considerando que i é raiz do polinômio P(x = 5x 5 5x 4 80x + 80, a soma das raízes reais desse polinômio vale a 5. b 4. c 3. d. e 1. O polinômio P(x = 5x 5 5x 4 80x + 80 é equivalente a P(x = 5. (x 1. (x 4 16 cujas raízes são 1,,, i e i. Portanto, a soma das raízes reais vale ( = d Em uma competição de queda-de-braço, cada competidor que perde duas vezes é eliminado. Isso significa que um competidor pode perder uma disputa (uma "luta" e ainda assim ser campeão. Em um torneio com 00 jogadores, o número máximo de "lutas" que serão disputadas, até se chegar ao campeão, é a 99. b199. c 99. d 399. e 499. O campeão teve zero ou apenas uma derrota. Se o campeão teve zero derrotas, o número de disputas foi x 199 = 398 (199 competidores eliminados com duas derrotas cada. Se o campeão teve uma derrota, o número de disputas foi x = 399 (199 competidores eliminados com duas derrotas cada e o campeão com apenas uma derrota. Assim sendo, o número máximo de disputas, até chegar ao campeão, é 399. UFSCar - Janeiro/00

2 14 d Um jogo para duas pessoas consiste em uma urna com bolas vermelhas e 1 azul. Ganha o jogo quem retirar da urna a bola azul. Caso um jogador retire uma bola vermelha, essa volta para a urna, e o outro jogador faz sua retirada. Os jogadores vão alternando suas retiradas até que saia a bola azul. Todas as bolas têm a mesma probabilidade de serem retiradas. A probabilidade do primeiro a jogar ganhar o jogo, isto é, em uma de suas retiradas pegar a bola azul, vale a. b. c. d. e O primeiro jogador ganhará o jogo se retirar a bola azul na primeira jogada ou na terceira jogada ou na quinta jogada e assim por diante. Sendo p a probabilidade do primeiro jogador ganhar o jogo, temos p = = = = 1 ( c Uma família é composta de x irmãos e y irmãs. Cada irmão tem o número de irmãos igual ao número de irmãs. Cada irmã tem o dobro do número de irmãs igual ao número de irmãos. O valor de x + y é a 5. b 6. c 7. d 8. e 9. Sendo x irmãos e y irmãs, a partir do enunciado, conclui-se que { x 1 = y x = 4. (y 1 = x { y = 3 Logo, o valor de x + y = 7 16 b π O valor de x, 0 x, tal que 4. (1 sen x. (sec x 1 = 3 é π π π π a. b. c. d. e UFSCar - Janeiro/00

3 4. (1 sen x (sec x 1 = 3 4. cos x. tg x = 3 4. cos sen x. x = 3 sen 3 x = cos x 4 3 sen x = ±. π π Sendo 0 x, tem-se x = 3 17 a Uma função f é definida recursivamente como 5f(n + f(n + 1 = 5 Sendo f(1 = 5, o valor de f(101 é a 45. b 50. c 55. d 60. e 65. 5f(n + f(n + 1 = f(n + 1 = f(n f(n + 1 f(n =. 5 A seqüência (f(1; f(; f(3; ; f(101; é uma progressão aritmética de razão r = e a 1 = f(1 = 5. 5 Portanto, f(101 = a 101 = a r a 101 = = b Seja um triângulo ABC eqüilátero de lado. No interior desse triângulo, cuja área é 3, foi escolhido arbitrariamente um ponto P. A soma das distâncias de P a cada um dos lados do triângulo vale a. b 3. c. d 3. e 3. UFSCar - Janeiro/00

4 Sejam x a distância do ponto P ao lado BC; y a distância do ponto P ao lado AC; z a distância do ponto P ao lado AB. A soma das áreas dos triângulos PBC, PCA e PAB é igual a área do triângulo ABC.. x. y. z Assim, + + = 3 x + y + z = 3 19 c Na figura, os pontos ACFH são os vértices de um tetraedro inscrito em cubo de lado 3. O volume do tetraedro é a. b. c d. e UFSCar - Janeiro/00

5 ACFH é um tetraedro regular, pois: AC = AF = AH = CF = FH = HC = a = 3 Assim, sendo V o volume desse tetraedro, tem-se: V = a 3 = ( = 3 3.( 4 = = e Duas retas são perpendiculares entre si se o produto dos seus coeficientes angulares for igual a 1. Logo, é perpendicular à reta x + y + 3 = 0 a reta y a x y + 3 = 0. b x + = 0. x y c x + y + 3 = 0. d + 1 = 0. 3 e x + y = 0. 1 A reta x + y 3 = 0 tem coeficiente angular m =. Então, toda reta perpendicular a ela deve ter coeficiente angular igual a. Das alternativas apresentadas, a equação de reta que tem coeficiente angular é x + y = 0. UFSCar - Janeiro/00

6 ª Parte Questões Discursivas 36 Na figura, o dodecágono inscrito na circunferência tem seis lados medindo e seis lados medindo 4. Lei dos cossenos: em um triângulo ABC, onde ^A é o ângulo compreendido entre os lados b e c, a = b + c bc. cos ^A a Calcule o ângulo ^B. b Calcule o raio da circunferência. 1 O maior dos arcos AC 5 mede. 360 = O ângulo B^ é um ângulo inscrito nessa circunferência e determina um arco de Assim sendo, B^ = B^ = AC é um dos lados de um hexágono regular inscrito nessa circunferência. Assim, AC = R, onde R é o raio dessa circunferência 4 No triângulo BCA, de acordo com a lei dos cos- UFSCar - Janeiro/00

7 senos, tem-se R = ( + ( cos 150 R = R = R = 38 R = 38 Respostas: a 150 b Sejam as funções f(x = x 1 e g(x = (x + 4x 4. a Calcule as raízes de f(g(x = 0. b Esboce o gráfico de f(g(x, indicando os pontos em que o gráfico intercepta o eixo cartesiano. 1 f(g(x = (x + 4x 4 1 = x + 4x 5 f(g(x = 0 x + 4x 5 = 0 x + 4x 5 = 0 x = 5 ou x = 1 3 O gráfico de f(g(x é ( Respostas: a 5 ou 1 b gráfico 38 Seja a matriz M = (m ij x3, tal que m ij = j i. a Escreva M na forma matricial. b Sendo M t a matriz transposta de M, calcule o produto M M t. m 11 m 1 m M = (m ij = = x3 (m 1 m m 3 ( M = M t = 3 0 ( (8 5 UFSCar - Janeiro/00

8 ( 3 M. M t ( = = ( ( 3.( = ( Respostas: a M = ( b M. M t = (40 34 O raio da circunferência inscrita em um triângulo de lados a, b e c pode ser calculado pela fórmula (p a(p b(p c r =, onde p é o semi-perímetro p do triângulo. Os catetos de um triângulo retângulo medem 3 e 4 e estão sobre os eixos cartesianos, conforme a figura. Determine nesse triângulo a o raio da circunferência inscrita. b a equação da circunferência inscrita. Sendo a = 3 e b = 4, tem-se c = = 5 e p = = 6 Assim, (6 3. (6 4. (6 5 a r = r= r = 1 b A circunferência inscrita nesse triângulo tem centro C (1; 1 e raio r = 1 Assim, uma equação dessa circunferência é (x 1 + (y 1 = 1 x + y x y + 1 = 0 Respostas: a 1 b x + y x y + 1 = 0 UFSCar - Janeiro/00

9 40 Considere as seguintes informações: o máximo divisor comum entre dois números também é um divisor da diferença entre esses números; se o máximo divisor comum entre dois números a e b é igual a 1, mdc(a,b = 1, o mínimo múltiplo comum desses números será igual ao seu produto, mmc(a,b = ab. a prove que o máximo divisor comum entre dois números consecutivos é igual a 1; b determine dois números consecutivos, sabendo que são positivos e o mínimo múltiplo comum entre eles é igual a 156. Sabendo que: (I mdc (a, b é divisor de a b (II mdc (a, b = 1 mmc (a, b = a. b com a, b * Se p e p + 1 são os números consecutivos, então a a partir de (I: mdc (p, p + 1 é divisor de (p + 1 p = 1, portanto mdc (p, p + 1 = 1 b a partir de (II, sendo p > 0: mdc (p, p + 1 = 1 mmc (p, p + 1 = p(p + 1 = 156 p = 1 e p + 1 = 13 Respostas: a demonstração b 1 e 13 UFSCar - Janeiro/00

MA.01. 4. Sejam a e b esses números naturais: (a + b) 3 (a 3 + b 3 ) = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 a 3 b 3 = = 3a 2 b + 3ab 2 = 3ab (a + b)

MA.01. 4. Sejam a e b esses números naturais: (a + b) 3 (a 3 + b 3 ) = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 a 3 b 3 = = 3a 2 b + 3ab 2 = 3ab (a + b) Reformulação Pré-Vestibular matemática Cad. 1 Mega OP 1 OP MA.01 1.. 3. 4. Sejam a e b esses números naturais: (a + b) 3 (a 3 + b 3 ) a 3 + 3a b + 3ab + b 3 a 3 b 3 3a b + 3ab 3ab (a + b) Reformulação

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