2º ano do Ensino Médio

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1 2º ano do Ensino Médio Instruções: 1. Você deve estar recebendo um caderno com dez questões na 1ª parte da prova, duas questões na 2ª parte e duas questões na 3ª parte. Verifique, portanto, se está completo e, caso haja algum problema, solicite outro ao fiscal da sala. 2. Cada questão da 1ª parte respondida corretamente vale 0,5 ponto; na 2ª parte, cada questão correta vale 1 ponto; e, na 3ª parte, cada questão completa respondida corretamente vale 1,5 ponto. 3. Nas questões da 1ª parte, deve-se anotar a alternativa correta com um X a caneta. Não são toleradas rasuras, portanto marque a caneta somente após estar certo da resposta. Nas questões da 2ª parte, a resposta numérica deve ser anotada dentro do retângulo para esse fim, também a caneta. Nas questões da 3ª parte, a resposta só será considerada se estiver acompanhada do raciocínio correto, que pode ser cálculo, explicação, esquema ou desenho. 4. É permitido o uso de calculadora. NÃO é permitido consultar anotações, livros ou colegas. 5. NÃO é permitido destacar ou recortar nenhuma parte da prova. 6. Todos os participantes receberão certificado. O 1º lugar de cada série receberá camiseta da olimpíada e os três melhores colocados em cada série receberão medalhas em data solene, a ser marcada. 7. É PROIBIDO o uso de telefone celular. 8. Anote seu nome completo e legível no espaço abaixo para a confecção dos certificados. Além disso, anote o telefone solicitado para possíveis contatos. 9. Boa prova! Colégio: Nome: Telefone residencial: Celular: Nome: Telefone residencial: Celular:

2 10ª Olimpíada de Matemática 1ª etapa Nesta etapa, cada questão correta vale 0,5 ponto. Anote a caneta um X na única alternativa que julgar certa. Mas atenção: rasura na marcação anula a questão. 1) Sapo Joe tem muitos triângulos retângulos iguais aos da figura. Fazendo coincidir partes dos lados, sem sobrepor triângulos, Girino Mou montou a figura a seguir. Qual é o perímetro dessa figura? (A) 24 cm (B) 26 cm (C) 48 cm (D) 28 cm (E) 22 cm 2) No reticulado a seguir, pontos vizinhos na vertical ou na horizontal estão a 1 cm de distância. Qual a área, em cm 2, da região sombreada? (A) 7 (B) 8 (C) 8,5 (D) 9 (E) 9,5 3) Três bolas A, B e C foram pintadas: uma de verde, uma de amarelo e uma de azul, não necessariamente nessa ordem. Leia atentamente as declarações a seguir: I) B não é azul. II) A é azul. III) C não é amarela. Sabendo que apenas uma das declarações anteriores é verdadeira, podemos afirmar que: (A) A bola A é verde, a bola B é amarela e a bola C é azul. (B) A bola A é verde, a bola B é azul e a bola C é amarela. (C) A bola A é amarela, a bola B é azul e a bola C é verde. (D) A bola A é amarela, a bola B é verde e a bola C é azul. (E) A bola A é azul, a bola B é verde e a bola C é amarela. 2º ano 2

3 4) Dadas as proposições: I) Toda mulher é boa motorista. II) Nenhum homem é bom motorista. III) Todos os homens são maus motoristas. IV) Pelo menos um homem é mau motorista. V) Pelo menos uma mulher é má motorista. VI) Todos os homens são bons motoristas. A negação de VI é: (A) I. (B) II. (C) III. (D) IV. (E) V. 5) Num pote da lancheira de Billy Olhos Azuis restam sete balas de goma vermelhas, seis balas de goma roxas, dez balas de goma amarelas e cinco balas de goma verdes. Retirando-se sem olhar, quantas balas têm que ser pegas, no mínimo, para se ter certeza que foram tiradas duas balas de cor roxa? (A) 2 (B) 9 (C) 5 (D) 22 (E) 24 6) Uma pessoa, começando com R$ 64,00, faz seis apostas consecutivas, em cada uma das quais arrisca perder ou ganhar a metade do que possui na ocasião. Se ela ganha três e perde três dessas apostas, pode-se afirmar que: (A) ganha dinheiro. (B) nem ganha nem perde dinheiro. (C) perde sempre R$ 27,00. (D) perde sempre R$ 37,00. (E) perder ou ganhar dinheiro depende da ordem das vitórias e derrotas. 7) Num certo país cuja moeda também é o real (R$), o imposto de renda é cobrado da seguinte forma: os que têm rendimento até R$ 1.500,00 são isentos; dos que possuem renda entre R$1.500,00 e R$ 6.000,00 cobra-se um imposto de 10 %; acima de R$ 6.000,00, o imposto é de 20 %. Qual dos gráficos melhor representa o imposto cobrado, em %, em função da renda do indivíduo? 8) Uma cultura de bactérias reproduz-se de maneira tremendamente rápida. Basta dizer que o número de seus membros cresce de tal forma que ocupa o dobro do volume em cada minuto. Sabe-se que uma cuba de 10 cm 3 leva duas horas para ficar totalmente ocupada pela colônia de bactérias. Quanto tempo levariam as bactérias para encher uma cuba de 2,5 cm 3? (A) 30 min (B) 60 min (C) 90 min (D) 116 min (E) 118 min 2º ano 3

4 9) Uma sala retangular medindo 3 m por 4,25 m deve ser ladrilhada com ladrilhos quadrados iguais. Supondo que não haja espaço entre ladrilhos vizinhos, qual deve ser a dimensão máxima, em centímetros, de cada um desses ladrilhos para que a sala possa ser ladrilhada sem cortar nenhum ladrilho? (A) 10 cm (B) 25 cm (C) 20 cm (D) 15 cm (E) 75 cm 10) Três atletas correm numa pista circular e gastam, respectivamente, 2,4 min, 2,0 min e 1,6 min para completar uma volta na pista. Eles partem do mesmo local e no mesmo instante. Após algum tempo, os três atletas se encontram, pela primeira vez, no local da largada. Nesse momento, o atleta mais veloz estará completando: (A) 12 voltas. (B) 15 voltas. (C) 18 voltas. (D) 10 voltas. (E) 20 voltas. 2ª etapa Nesta etapa, a resposta numérica deve ser colocada dentro do retângulo. Escreva apenas o número! Cada questão respondida corretamente vale 1 ponto. 11) Pedrinho Prateado é um menino de 1 m de altura. Em pé, num terreno plano, ele inclina os olhos 30º em relação à horizontal e enxerga uma marca num poste situada a 5 m do chão. Se ele inclinar os olhos mais 30º, ele enxerga outra marca. Qual a distância que separa essa segunda marca do solo? Resposta: 2º ano 4

5 12) Qual é o 1.000º dígito na sequência ? Resposta: 3ª etapa Não esqueça que nesta etapa a resposta só será considerada se estiver acompanhada do raciocínio correto, que pode ser cálculo, explicação, esquema ou desenho. Cada questão completa respondida corretamente vale 1,5 ponto. 13) Considere um jogo entre duas pessoas com as seguintes regras: i) Na primeira jogada, o primeiro jogador escolhe um número do conjunto N = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} e diz esse número. ii) As pessoas jogam alternadamente. iii) Cada pessoa, ao jogar, escolhe um elemento de N, soma-o ao número dito pela pessoa anterior e diz a soma. iv) Ganha quem disser 68. a) Num dado momento, o jogador A diz um número e anuncia a soma: 57. É a vez do jogador B. Qual número do conjunto N o jogador B tem que escolher para fazer com que o jogador A perca essa disputa? b) Se o jogador A começar o jogo, que número tem que escolher para ter certeza que ganhará a disputa? 2º ano 5

6 14) Considere que o plano seja representado pelo círculo. Na figura 1, uma reta divide o plano em duas regiões. Na figura 2, vemos que duas retas podem dividir o plano em quatro regiões. a) Se forem traçadas quatro retas, quantas regiões, no máximo, podem ser determinadas no plano? b) Se forem traçadas dez retas, quantas regiões, no máximo, podem ser determinadas no plano? 2º ano 6

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