Oficina - Álgebra 1. Oficina de CNI EM / Álgebra 1 Material do Monitor. Setor de Educação de Jovens e Adultos. Caro monitor,

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1 Oficina - Álgebra 1 Caro monitor, As situações de aprendizagem apresentadas nessa atividade têm como objetivo desenvolver o raciocínio algébrico, e assim, proporcionar que o educando realize a representação de uma situação-problema, utilizando a linguagem algébrica, dando significado ao uso das variáveis e resolvendo as algumas situações apresentadas por meio da resolução de equações. Objetivos da atividade: Observar padrões e regularidades. Descrever os padrões e as regularidades observadas por meio de uma expressão algébrica. Representar uma situação-problema por meio de uma equação. Resolver uma equação. Habilidades a serem desenvolvidas: H21 Representar situações de diferentes contextos por meio de equações do 1º ou 2º grau. H22 -Resolver equações (1º grau, 2º grau e exponenciais). Para a aplicação dessa atividade, o monitor deve considerar o conhecimento prévio de seu aluno, analisar se ele tem domínio das operações aditivas e multiplicativas. Caso o aluno expresse dificuldades com essas operações, se faz necessário que, antes de trabalhar com esse material, o monitor faça uma revisão dessas operações. Para o desenvolvimento desse trabalho, julga-se interessante que os alunos estejam divididos em grupos, para que assim, possam realizar discussões e enriquecer a aprendizagem. Essa atividade será dividida em algumas etapas. Na 1ª etapa, com os alunos já reunidos em grupos e com o material em mãos, deixe que eles realizem suas reflexões e resolvam a situação de aprendizagem 1. Assim que for observado que os grupos, não necessariamente todos, já chegaram a algumas soluções, discuta com eles os valores encontrados e a resolução exata, conforme orientações que constam nesse material para a situação de aprendizagem 1. Na 2ª etapa, após a resolução e reflexões da situação de aprendizagem 1, deixe que os grupos realizem as resoluções das situações de aprendizagem 2 e 3.Acompanhe com eles e observe o momento em que a maioria tenha chegado a alguma solução, não necessariamente a certa. Reflita com eles as diversas soluções encontradas e a resolução exata, conforme orientações que constam nesse material para as situações de aprendizagem 2 e 3. Na 3ª etapa, deixe que os alunos, em grupo, realizem suas discussões em torno da situação de aprendizagem 4. Acompanhe as discussões entre os grupos e assim que todos realizarem suas reflexões discuta com eles as possíveis soluções encontradas e a resolução exata, conforme orientações que constam nesse material para a situação de aprendizagem 4.

2 Para a 4ª etapa, reserve um tempo maior, nesse momento os grupos deverão resolver a situação de aprendizagem 5. Novamente, acompanhe as discussões entre os grupos e assim que todos realizarem suas reflexões discuta com eles as possíveis soluções encontradas e a resolução exata, conforme orientações que constam nesse material para a situação de aprendizagem 5. Para a 5ª e última etapa, reserve um tempo maior, nesse momento os grupos deverão resolver a situação de aprendizagem 6. Novamente, acompanhe as discussões entre os grupos e assim que todos realizarem suas reflexões discuta com eles as possíveis soluções encontradas e a resolução exata, conforme orientações que constam nesse material para a situação de aprendizagem 6. Situação de aprendizagem 1. Acompanhe a sequência de figuras apresentada. 1ª 2ª 3ª 4ª 5ª a) Qual será a próxima figura da sequência? b) Qual será a figura que ocupará a 7ª posição? c) O que se pode observar com relação à formação dessa sequência de figuras? d) Qual foi a regra que você utilizou para formar essa sequência? e) Fazendo uma análise da sequência é possível dizer que todas as posições representadas por números pares serão ocupadas por pentágonos? f) Pode-se dizer que todos os pentágonos estarão na posição 2.n, ou seja, 2 vezes um número qualquer representa a posição que é ocupada por um pentágono? Por exemplo: 2 x 1 = 2, posição ocupada por pentágono. 2 x 2 = 4, posição ocupada por pentágono. 2 x 3 = 6, posição ocupada por pentágono. 2 x 4 = 8, posição ocupada por um pentágono x 100 = 200, posição ocupada por um pentágono. Para os itens a, b e c, deixe que os alunos, sozinhos, façam suas observações e respondam. Espera-se as seguintes respostas: a) A próxima figura será um pentágono. b) A figura que ocupará a 7ª posição será um retângulo.

3 c) Para o item c, é possível que eles apresentem mais de uma resposta. Como exemplos de respostas corretas temos: As posições pares são ocupadas por pentágonos. As posições em que os números são múltiplos de 2 serão ocupadas por pentágonos. A sequência de figuras é formada pela repetição de um retângulo e um pentágono, respectivamente. d) No item d, os alunos deverão exprimir suas observações, sem que haja intervenções do monitor. Nesse momento, não invalide nenhuma resposta, pois nos próximos itens eles perceberão qual é a exata regra que representa a formação da sequência. e) Nesse item, espera-se que eles afirmem que todas as posições representadas por números pares serão ocupadas por polígonos. Caso eles não façam essa observação, não há problemas, no próximo item, essa discussão será retomada. f) Nesse item, construa com eles uma tabela, solicitando que estabeleçam relações entre a expressão 2.n, o número correspondente a posição e a figura relacionada. Trabalhe com eles a reflexão que n representa um número qualquer, ou seja, uma variável que neste caso, poderá ser substituída por qualquer número natural. Expressão 2.n Posição Figura Se n = 1, temos 2 x 1 = 2 2 pentágono Se n = 130, temos 2x 130 = pentágono Situação de aprendizagem 2. Acompanhe a sequência de figuras apresentada. a) Desenhe qual será a próxima figura. Resposta esperada Obs.: podem aparecer outras formas de compor os quadradinhos, o importante é que a figura tenha 5 quadradinhos.

4 b) Desenhe a figura que ocupará a 5 ª posição. Resposta esperada Obs.: podem aparecer outras formas de compor os quadradinhos, o importante é que a figura tenha 6 quadradinhos. c) Qual será a quantidade de quadradinhos da figura que ocupará a 6ª posição? Resp.: sete quadradinhos. d) Qual será a quantidade de quadradinhos da figura que ocupará a 10ª posição? Resp.: onze quadradinhos. e) Qual será a quantidade de quadradinhos da figura que ocupará a 20ª posição? Resp.: vinte e um quadradinhos f) Descreva uma regra que permita saber qual é a quantidade de quadradinhos em qualquer posição. Resp.: Espera-se que o aluno descreva a seguinte regra: posição + 1 = número de quadradinhos. Neste momento caberão algumas discussões. 1ª - Ocorrendo a resposta esperada, discuta com eles que a posição poderá ser representada pela variável p, e adotando essa representação pode-se descrever o número de quadradinhos como p + 1. Reforce aqui, o uso da letra para representar um valor que pode variar. 2ª - Ocorrendo outras respostas, discuta com eles o que foi pensado para criar a regra que expressaram. Mas, não invalide, neste momento, as respostas erradas, deixe que eles percebam que as regras que eles criaram não são válidas. 3ª - Não é necessário que todos os alunos cheguem à resposta correta, apenas discuta com eles todos as respostas encontradas, identificando os erros cometidos nas respostas erradas, e assim, validando a resposta certa representada pela expressão p + 1.

5 Observação: no lugar da variável p, os alunos poderão utilizar outras letras como x, y, e n (dentre outras), lembre-se que apenas estamos utilizando uma simbologia para representar algo que pode variar. g) Utilizando a regra descrita no item f, determine qual é a quantidade de quadradinhos existentes na 100ª posição. Resp.: Espera-se que eles façam uso da expressão p + 1, substituindo a variável p por 100. Logo, igual a 101. Nesse momento discuta com eles a necessidade de se criar uma regra que permita saber qual é a quantidade de quadradinhos em qualquer que seja a posição, não necessitando que sejam desenhadas as figuras. Situação de aprendizagem 3. Acompanhe a sequência de figuras apresentada. a) Desenhe a próxima figura da sequência. Resposta esperada Obs.: podem aparecer outras formas de compor os quadradinhos, o importante é que a figura tenha 13 quadradinhos. b) Quantos quadradinhos terá a figura que ocupará a 5ª posição? Resp.: 16 Neste momento, deixe que os alunos que não chegaram a esta quantidade, observem as respostas dos colegas e façam algumas reflexões, é importante que não haja intervenções do monitor. Pois, espera-se, que por meio da observação, eles consigam estabelecer uma relação entre a posição ocupada pela figura e a quantidade de quadradinhos. c) Quantos quadradinhos terá a figura que ocupará a 10ª posição? Resp.: 31

6 Neste momento, deixe que os alunos que não chegaram a esta quantidade, observem as respostas dos colegas e façam algumas reflexões, é importante que não haja intervenções do monitor. Pois, espera-se, que por meio da observação, eles consigam estabelecer uma relação entre a posição ocupada pela figura e a quantidade de quadradinhos. d) Descreva uma regra ou expressão que permita saber qual é a quantidade de quadradinhos em qualquer posição. Espera-se que o aluno descreva a seguinte regra/ expressão: 3. posição + 1 = número de quadradinhos. A posição pode ser identificada pela letra p, e assim a expressão ficaria 3.p + 1. Novamente, reforce que p representa um valor que pode variar e que este poderia ser representado por qualquer letra. Em uma atividade como esta, é muito provável que alguns alunos tragam diferentes respostas. Apresente todas as respostas aos demais e deixe que os próprios alunos invalidem as erradas. Caso nenhum aluno chegue à resposta correta, monte com eles a tabela 1: Posição Número de quadradinhos Tabela 1 Posição Número de quadradinhos Tabela 1 com o preenchimento correto Peça que observem se há alguma relação entre a posição e a quantidade de quadradinhos. Leve-os a refletir e chegar a expressão 3.p + 1. e) Utilizando a regra descrita no item d, determine qual é a quantidade de quadradinhos existentes na 100ª posição. Resp.: A regra é 3.p + 1, então faremos: = 301, essa é a quantidade de quadradinhos que terá a 100ª posição. Situação de aprendizagem 4. Em uma compra Lilian gastou R$ 20,00. Ela comprou 1 pacote de arroz e 1 pacote de feijão. a) É possível saber qual foi o valor pago pelo pacote de arroz e qual o valor pago pelo pacote de feijão? Resp.: Não, pois diversos valores somados podem trazer o resultado de R$ 20,00. Veja alguns exemplos:

7 R$ 14,00 + R$ 6,00 = R$ 20,00. R$ 18,00 + R$ 2,00 = R$ 20,00. R$ 13,00 + R$ 7,00 = R$ 20,00. b) Se o valor pago pelo pacote de feijão foi de R$ 7,50, é possível saber qual foi o valor pago pelo pacote de arroz? Resp.: Sim, basta realizar uma subtração. c) Utilizando uma incógnita para representar o pacote de arroz, escreva uma expressão que permita calcular o valor desse alimento. Resp.: A expressão correta será Arroz + 7,50 = 20,00. Neste caso podemos representar o arroz pela incógnita A, e assim, a expressão ficaria A + 7,50 = 20,00. Os alunos também poderão apresentar a expressão 20,00 7,50 = A, a qual também está correta. d) Utilizando a expressão descrita no item c, determine o valor pago pelo pacote de arroz. Os alunos poderão utilizar à expressão A + 7,50 = 20,00 ou 20,00 7,50 = A, realizando os seguintes cálculos: Para A + 7,50 = 20,00, em um primeiro momento deixe que eles expressem a forma de resolver, posterior a esse momento, discuta com eles que para resolver a situação proposta foi isolada a incógnita e subtraído o valor do feijão dos R$ 20,00. A = 20,00 7,50 A = 12,50 Para 20,00 7,50 = A, realiza-se apenas a subtração. 12,50 = A Reflita com eles a utilização de uma incógnita para representar um valor desconhecido. Situação de aprendizagem 5. Em um terreno retangular, deseja-se acrescentar uma determinada medida em seu comprimento para que ele fique com exatamente 130 m². Acompanhe as ilustrações que representam o terreno antes e depois de haver alterações em seu comprimento x

8 Obs.: As figuras apresentam a vista superior do terreno. Quantos metros devem ser acrescentados para que o terreno fique com 130 m²? Utilize a tabela abaixo para encontrar o valor a ser acrescentado no comprimento, que nesse caso foi chamado de x. Medida inicial do Medida a ser Medida final do Área do terreno comprimento acrescentada comprimento comprimento x largura 1 m x 10 = 110 Veja que a primeira linha já está preenchida, siga esse mesmo raciocínio para preencher as demais linhas, e assim, encontrar o valor a ser acrescentado no comprimento para que o terreno fique com área igual a 130 m². Caso os alunos não consigam interpretar a situação-problema, realize com eles uma leitura mais minuciosa, esclarecendo que a proposta é que seja encontrada a medida - que nesse caso foi chamada de x a ser acrescentada no comprimento para que o terreno fique com exatamente 130 m² de área. Em um primeiro momento, deixe que eles realizem os cálculos, atribuam diversos valores, completem a tabela, e assim, cheguem ao valor que deverá ser acrescentado no comprimento, para que o terreno fique com 130 m². Após esse primeiro momento, reflita com eles se haveria outra (s) maneira (s) de encontrar a medida a ser acrescentada no comprimento. Escute as respostas e as justificativas e, caso nenhum aluno levante a hipótese de calcular essa medida por meio de uma equação, levante esse questionamento, levando-os a refletir que não é viável ficar atribuindo valores até que se chegue em um resultado, ou seja, ficar calculando pela tentativa de acerto, já que há outros métodos que podem ser utilizados. A partir dessas reflexões, monte com eles a equação que permitirá encontrar o valor da medida desconhecida. Para tanto, faça as seguintes reflexões: Relembre que para calcular a área do terreno, que apresenta forma retangular, deve-se multiplicar a comprimento vezes a largura. Identifique, com a ajuda dos alunos, qual é o comprimento e qual é a largura do terreno x Obs.: A imagem representa a vista superior do terreno.

9 Comprimento = (10 + x) metros Largura = etros Segundo o enunciado, o terreno deverá ficar com 130 m², ou seja, o cálculo comprimento vezes largura deverá resultar em 130 m². Monte com eles a equação: 10. ( 10 + x ) = 130 Discuta que essa expressão representa uma equação e que chama-se equação por apresentar uma igualdade entre duas expressões. Apresente aos alunos os membros de uma equação, explique que quando se descreve uma equação objetiva-se que esta represente uma determinada situação em estudo e, em seguida, faça a resolução da equação com eles. 10. ( 10 + x ) = 130 primeiro membro segundo membro 10. ( 10 + x ) = 130 (aplique a distributiva) x = x = 130 (isole a incógnita) 10.x = x = 30 x = x = 3 Discuta com os alunos a montagem e resolução da equação sublinhando os seguintes pontos: Nessa equação, representou-se a medida desconhecida como x, uma incógnita de valor desconhecido. Na resolução da equação isolou-se a incógnita. Para o isolamento da incógnita os valores que vão do primeiro para o segundo membro, ou vice-versa, invertem a operação.

10 Situação de aprendizagem 6. Determinado mecânico de manutenção cobra por seus serviços um valor fixo de R$ 20,00 mais R$ 12,00 por cada hora de trabalho. A tabela apresenta a quantidade de horas trabalhadas na prestação de alguns serviços. Valor fixo Valor cobrado por hora de Quantidade de Valor a receber trabalho horas trabalhadas pelo serviço R$ 20,00 R$ 12,00 1 R$ 32,00 R$ 20,00 R$ 12,00 2 R$ 20,00 R$ 12,00 4 R$ 20,00 R$ 12,00 10 R$ 20,00 R$ 12,00 R$ 236,00 Preencha a tabela e responda: a) Quanto o profissional receberá trabalhando 2 horas? Resp.: = 44 b) Quanto o profissional receberá trabalhando 4 horas? Resp.: = 68 c) Quanto o profissional receberá trabalhando 10 horas? Resp.: = 140 d) Se o profissional recebeu R$ 236,00, quantas horas ele trabalhou? Espera-se que para resolver este item, o aluno já pense em desenvolver uma equação que permita calcular a quantidade de horas trabalhadas. Considerando que uma equação foi desenvolvida, espera-se a seguinte representação: h = 236, em que h representa as horas. Caso nenhum aluno consiga chegar e esta equação, reflita com eles os valores envolvidos no problema proposto, e assim, auxilie-os na interpretação e equacionalização. Após esse momento, proponha a resolução, deixe-os pensar por uns inutos e, se não encontrarem a resolução realize-a com eles h = h = h = 216 h = h = 18 Conclui-se que para receber R$ 236,00 o profissional trabalhou 18 horas.

11 Caro monitor, Após a aplicação dessa atividade, sugira aos alunos a utilização dos seguintes materiais: Vídeo aula Novo Telecurso aula 51 Disponível em: Vídeo aula Novo Telecurso Vídeo aula Novo Telecurso aula 62 Disponível em: Vídeo aula Novo Telecurso Matemática e Suas Tecnologias Equações do 1º grau Disponível: Temas de estudo CNI_EF Equacionando e resolvendo problemas páginas 324 a 346 Disponível em: Portal EJ@> Biblioteca Digital > Apoio ao aluno> Ensino Fundamental Caderno de exercícios 2 1º semestre 2013 Exercício 2 Disponível em: Portal EJ@> Biblioteca Digital > Ciências da Natureza I> Listas de exercícios Referências Bibliográficas MODANEZ, Leila. Das Sequências de Padrões Geométricos à Introdução ao Pensamento Algébrico. Disponível em: < Acesso em: 24 out h. SECRETARIA DE ESTADO DA EDUCAÇÃO São Paulo Coordenadoria de Estudos e Normas Pedagógicas. Experiências Matemáticas 7ª série. São Paulo, 1998.