EDUCAÇÃO ALGÉBRICA, DIÁLOGOS E APRENDIZAGEM: UM RELATO DO TRABALHO COM UMA PROPOSTA DIDÁTICA 1

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1 EDUCAÇÃO ALGÉBRICA, DIÁLOGOS E APRENDIZAGEM: UM RELATO DO TRABALHO COM UMA PROPOSTA DIDÁTICA 1 Claudemir Monteiro Lima Secretária de Educação do Estado de São Paulo João Ricardo Viola dos Santos Universidade Federal de Mato Grosso do Sul Resumo: Neste texto apresentamos um relato de experiência do trabalho com uma proposta didática envolvendo alguns elementos da educação algébrica. Elaboramos uma proposta didática composta de três etapas para ser trabalhada com alunos da 5ª série do Ensino Fundamental. Na primeira etapa trabalhamos com as estratégias aritméticas que os alunos elaboraram; na segunda trabalhamos com estratégias algébricas que eles elaboraram com o auxílio do professor; na terceira etapa discutimos as diferenças entre as estratégias aritméticas e algébricas elaboradas pelos alunos para resolverem os problemas. O trabalho com a proposta oportunizou que os alunos ampliassem seus modos de resolverem os problemas e o papel dado ao diálogo entre professor e alunos provocou um redimensionamento das discussões em sala de aula. Palavras-chave: Educação Algébrica; Pensamento Algébrico; Diálogo e Comunicação em Educação Matemática. 1. O Contexto do Trabalho O baixo rendimento escolar dos alunos nos conteúdos considerados algébricos é um problema grave que nos remete a repensar o ensino da álgebra. Ainda hoje temos alunos de sexta, sétima série do Ensino Fundamental aprendendo apenas resolver equações, inequações, de uma maneira mecânica e totalmente desvinculada dos conteúdos aritméticos. Frente a situações como essas, nós, professores, precisamos nos preocupar em elaborar propostas didáticas que possam ser significativas e que levem os alunos a desenvolver o pensamento algébrico. De acordo com o PCN: é mais proveitoso propor situações que levem os alunos a construir noções algébricas pela observação de regularidades em tabelas e gráficos, estabelecendo relações, do que desenvolver o estudo da Álgebra apenas enfatizando as manipulações com expressões e equações de uma forma meramente mecânica (BRASIL, 1998, p. 116). 1 Este trabalho é parte da monografia de especialização em Educação Matemática escrita pelo primeiro autor do trabalho e orientada pelo segundo autor. 1

2 O estudo da álgebra deve ser um espaço de reflexão com situações significativas para que os alunos possam desenvolver capacidade de estabelecer regularidades, de generalização e de desenvolvimento do pensamento algébrico. A álgebra precisa ser discutida com os alunos na perspectiva de se apresentar como um instrumento resolverem problemas (VIOLA DOS SANTOS E BURIASCO, 2009). O objetivo desse relato é apresentar algumas considerações de um trabalho realizado na perspectiva de abordar a educação algébrica como um meio para que os alunos organizem e modelem situações do cotidiano e tenham possibilidades de desenvolver aspectos do pensamento algébrico. Elaboramos uma proposta didática e aplicamos com alunos da 5ª série do Ensino Fundamental de uma escola Estadual do Estado de São Paulo. 2 Os Problemas, Diálogos, Estratégias Aritméticas, Estratégias Algébricas, Diferença Apresentamos fragmentos do trabalho realizado e algumas considerações sobre a aplicação da proposta, explicitando discussões e diálogos entre os alunos e o professor. Nossa proposta didática foi elaborada na direção de ampliar os modos dos alunos produzirem significados para problemas e constituiu-se em três etapas. Na primeira, entregamos três problemas aos alunos para que resolvessem por meio de estratégias aritméticas (visto que eles estão na 5ª série e têm contato apenas com a aritmética). Na segunda etapa, a partir das suas resoluções da primeira etapa os instigamos a resolver os problemas por meio de estratégias algébricas, na direção de ampliar seus repertórios de estratégias de resolução. A terceira etapa constitui-se como um momento de explicitar as diferenças entre as estratégias aritméticas e algébricas. A idéia é que os alunos possam relacionar alguns procedimentos de resolução entre as estratégias. O texto a seguir será redigido na primeira pessoa do singular, visto que são as experiências do professor que trabalhou com a proposta junto com seus alunos. As discussões a seguir foram construídas por meio de suas impressões e também das produções escritas dos alunos. Não iremos apresentar as discussões de todos os problemas em cada uma das etapas, visto as limitações do relato. Teceremos considerações sobre 2

3 algumas discussões realizadas com os alunos e algumas reflexões sobre a Educação Algébrica. 2.1 Um Relato do Trabalho No início da aula entreguei os três problemas aos meus alunos. Tinha como objetivo que eles resolvessem de um modo particular, sem muita interferência de minha parte. Após terminarem as resoluções discuti algumas resoluções e tentei sistematizar as respostas apresentadas pelos alunos e gerar algumas reflexões. Problema Amanda e Tatiane colecionavam papéis de carta. Amanda tinha 70 papéis de carta. Tatiane tinha 10 papéis de carta e ganhou dois blocos do seu pai. As duas meninas ficaram com a mesma quantidade de papéis de carta na coleção. Sabendo-se que os blocos tinham a mesma quantidade de papéis, quantos papéis tinham em cada bloco? Professor: Como vocês resolveram esse problema? Rafael: Tinha 30 papéis de carta, professor. (Vale ressaltar que Rafael 3 respondeu de um modo bem direto e oportuno minha pergunta) Professor: Como chegou nessa resposta? Como você resolveu o problema? Rafael: Fiz 70 menos 10, que deu 60. Depois eu sei que 60 é 2 vezes o 30. Professor: Mas estou olhando aqui a sua resolução e estou vendo que você fez duas vezes 60 igual a trinta (2x60=30), o que você pensou? Figura 1 Parte da Produção escrita do aluno Rafael Rafael: Era para eu ter dividido. Fiz errado, mas sabia que o resultado era 30. Fiz de cabeça. Nesse momento, a aluna Laura disse que tinha resolvido o problema, dividindo o resultado de 70 menos 10 por 2, pois eram dois blocos e a resposta foi Os três problemas utilizados na proposta foram adaptados do trabalho de Mônica Maria Lins Lessa e Jorge Tarcisio da Rocha Falcão. Pensamento e linguagem: uma discussão no campo da psicologia da educação matemática. Psicologia. Reflexão e Crítica, Porto Alegre, v. 18, n. 3, p , As adaptações foram feitas no sentido de deixar mais familiar o problema para os alunos. 3 Os nomes dos alunos são fictícios. 3

4 Figura 2 Produção escrita da aluna Laura Percebi que muitos alunos já começavam a falar que tinham feito errado. Com isso, disse que nesse momento eles tinham que prestar atenção às formas de resolução, que o mesmo problema pode ser resolvido de maneiras diferentes e caso tivessem feito errado (ou mesmo se achassem que estava errado) era importante prestarem atenção nas resoluções que estávamos discutindo. Nas discussões do primeiro problema percebi que os alunos não tiveram muitas dificuldades em resolvê-lo por meio de suas estratégias aritméticas (sendo elas corretas ou não). Minha expectativa inicial, de que eles resolvessem de alguma forma, foi constatada logo nas primeiras perguntas. Muitos alunos falaram de suas estratégias e também enxergaram modos diferentes de resolução. Realizado a primeira etapa do trabalho, a resolução dos problemas pelos alunos por meio de estratégias aritméticas, meu objetivo agora era o de construir junto com eles uma outra maneira de resolver o problema, neste caso por meio de estratégias algébricas, mais especificamente o esboço de uma equação que retratasse a situação. Iniciei assim a segunda etapa da proposta. Expliquei para os alunos que veríamos uma outra maneira de resolver os problemas. Li o primeiro problema e comecei a destacar as informações que eu utilizaria para a discussão escrevendo no quadro: Amanda: 70 papéis de carta Tatiana: 10 papéis de carta mais 2 blocos do seu pai Professor: Só estou escrevendo o que está no problema. Agora preste atenção, no que está escrito: As duas meninas ficaram com a mesma quantidade de papéis de carta na coleção. O que significa: as duas ficaram com a mesma quantidade de papéis de carta? Rafael: São iguais (Respondendo rapidamente). Professor: Que sinal posso usar para essa informação então? Rafael: O sinal de igual. 4

5 A atividade corria bem e a sala estava atenta à resolução. Mesmo sabendo que não era uma prova, eles sabiam que era importante a participação de todos. Professor: E agora vamos fazer a seguinte relação entre essas informações (escrevi assim no quadro): 70 papéis de carta igual 10 papéis de carta mais 2 blocos do seu pai Amanda Tatiane Professor: Podemos resumir de alguma forma isso que eu escrevi? (Aguardei um pouco, a turma estava meio quieta, como se não estivessem entendendo onde eu queria chegar). Assim coloquei no quadro novamente: 70 é igual a 10 mais 2 vezes blocos Professor: Tudo bem até aqui?entenderam que estamos somente resumindo as informações. E agora, podemos usar símbolos matemáticos para resumir mais ainda? Rafael: Pode ficar 70 = x blocos. (Ele foi falando e eu fui colocando no quadro). Professor: E aí sala, concorda com o que o Rafael disse? A Classe: Simmmmmm!!! A maioria concordava e com isso perguntei se poderíamos colocar no lugar de blocos uma letra ou um símbolo. Dessa maneira escrevi na lousa: 70 = x B B = Blocos Professor: Entenderam que o B significa Blocos, mas poderia usar qualquer outro símbolo? (coloquei no quadro que poderia ser qualquer letra ou desenho). Professor: Quanto vale o B então?(muitos alunos responderam 60, e continuei o questionamento). Professor: Mas se o B vale 60 e quando eu multiplicar por 2 vai dar 120 ai vai dar certo? Os alunos responderam que não. Continuei a perguntar então quanto valia o B. Lais: Então o B vale 30. 5

6 Nesse momento fui à lousa e substituí o B por 30 na equação. 70 = * B 70 = * = = 70 Perguntei para a sala se acharam difícil entender e a maioria disse que tinha entendido, mas que estava ainda com dúvidas nos símbolos ou letras usadas. Eles acharam, em um primeiro momento, um tanto quanto diferente uma letra ou um símbolo ter um valor específico. Fiquei com a sensação de que a notação simbólica construída junto com eles causou um pouco de espanto. Os alunos continuaram a resolver o segundo problema sendo que muitos já utilizavam outros símbolos em suas resoluções. Problema 2 - No final de semana ocorreu um concurso de pipas na praça da Bandeira. Participaram do concurso crianças dos bairros de Vila Marcondes e de Itapura. Os meninos de Vila Marcondes fizeram várias pipas pela manhã e à tarde fizeram o triplo da quantidade de pipas da manhã. Os meninos de Itapura fizeram 48 pipas durante o dia todo. Os dois bairros fizeram a mesma quantidade de pipas. Quantas pipas os meninos de Vila Marcondes fizeram pela manhã? A aluna Laura apresentou uma resolução para esse problema na qual comecei uma discussão com os alunos. da Laura? exemplo: Figura 3 Produção escrita da aluna Laura Professor: Turma, muda alguma coisa se eu inverter a ordem aqui nessa resolução Com essa pergunta, aproveitei para discutir a igualdade no exercício colocando um 3 x 2 = 6 e 6 = 3 x 2. Professor: Mudou alguma coisa a inversão que eu fiz? Vocês entenderam o que a Laura fez? Observaram que ela usou outro símbolo para representar os pipas? Ela usou o coração. Isso muda alguma coisa na resolução? 6

7 A maioria da sala respondeu que não mudava nada, que ficava igual a resposta. É muito importante ressaltar esse ponto, pois, muitos alunos têm dificuldades em trabalhar resoluções de equações quando troca-se, por exemplo, a incógnita x por z. Terminado as discussões, iniciei a discussão do terceiro problema e novamente fui destacando algumas informações do enunciado para possibilitar que os alunos pudessem escrever a equação. Problema 3 - Tiago e Luciano têm cada um a mesma quantidade de figurinhas. Tiago tem 8 figurinhas em sua mão e outras figurinhas na sua carteira. Luciano tem três vezes a quantidade de figurinhas que Tiago tem na carteira. Quantas figurinhas Tiago tem na carteira? Escrevi no quadro: 8 figurinhas em sua mão e outras figurinhas na carteira e igual a três vezes a quantidade de figurinhas da carteira. Professor: Como resumo isso agora? Paulo: É só colocar 8 + f = 3 x f. Figura 4 Produção escrita do aluno Paulo A partir das discussões do terceiro problema percebi que o esboço de uma equação foi vista pelos alunos como uma maneira mais fácil de resolver o problema. Notei que eles acharam bem mais fácil elaborar uma estrutura algébrica do que uma aritmética. Acredito que muito disso se deu pelo modo como foi trabalhado, construindo e discutindo com os alunos seus modos de pensarem os problemas. Após terminar as discussões das estratégias algébricas com os alunos iniciei a terceira e última etapa da proposta que era a de explicitar diferenças entre as estratégias aritméticas e algébricas. Minha intenção era de que os alunos pudessem ver que alguns 7

8 procedimentos aritméticos se relacionam com procedimentos algébricos e com isso construir uma maneira interligada de se pensar a aritmética e a álgebra. Assim, solicitei aos alunos que observassem o modo como resolveram as duas etapas anteriores e escrevessem as diferenças que encontraram nos modos de resolver os problemas. Professor: Gustavo você disse na resposta do terceiro problema que a equação facilita. O que você queria dizer com isso? Figura 5 Parte da Produção escrita do aluno Gustavo Gustavo: É que assim, eu consegui resolver o 3º problema. Foi mais fácil eu entender como fazia. Professor: E no primeiro e segundo problema? Não facilitou a resolução? Você só escreveu que as únicas diferenças foram o sinal de igual e as letras? Gustavo: Facilitou também, mas no terceiro eu não tinha conseguido resolver antes, e esses (o primeiro e o segundo) eu tinha, e as contas eram mais parecidas. Professor: Como assim, mais parecidas? Gustavo: Ficava igual, na hora de resolver e montar com o sinal de igual e eu consegui fazer a 1 e 2 dos dois modos: Figura 6 Parte da Produção escrita do aluno Gustavo (resolução por meio de estratégias aritméticas) 8

9 Figura 7 Parte da produção escrita do aluno Gustavo (resolução por meio de estratégias algébricas) A discussão com a sala aconteceu nesse sentido. Os alunos expressaram que o segundo modo (as estratégias algébricas) facilitou muito a resolução da 3º problema, pois nele encontraram dificuldades para resolver aritmeticamente. O sinal de igualdade teve uma posição de destaque na montagem da equação do 1º grau e grande parte dos alunos o elegeu como a grande diferença entre as discussões aritméticas e algébricas. 3. Algumas Considerações Um dos pontos fortes do trabalho a ser pontuado nesse relato foi o fato de sempre buscamos colocar os alunos para falarem sobre suas resoluções. A idéia de que: quem fala aprende e quem escuta ensina, foi explorada e propiciou um re-dimensionamento dos diálogos construídos entre o professor e os alunos e consequentemente também de suas aprendizagens (ALRO E SKOSMOSE, 2006). Procuramos estruturar a proposta didática com tendo como referencia a idéia de ampliar os modos dos alunos produzirem significados para os problemas matemáticos (LINS e GIMENEZ, 1997) partindo de suas estratégias e buscando junto eles a construção de outras. Precisamos instaurar uma cultura com nossos alunos na qual eles não só podem como precisam expressar, dialogar, argumentar, errar e mesmo de discordar do professor em alguma questão. Sabemos, pelas nossas experiências didáticas, que uma simples pergunta de um aluno, pode oportunizar uma avalanche de questões a serem debatidas. A dúvida de um aluno pode esclarecer ou elucidar o entendimento de muitos outros. 9

10 Como o objetivo de nossa proposta era o de ampliar as estratégias dos alunos nas resoluções de problemas, buscamos a partir de suas indagações, seus modos de interpretar os problemas, fazer as discussões em sala de sala. Por me meio de questionamentos e intervenções nos modos dos alunos lidarem com o enunciado das questões, conseguimos oportunizar que eles repensassem suas resoluções. Os alunos a partir de suas estratégias aritméticas puderam, com intervenção do professor, construir estratégias algébricas para resolver os problemas. O trabalho com a proposta oportunizou a realização desse objetivo. A idéia de explicitar diferenças entre os modos de resoluções para os problemas construídos pelos alunos possibilitou situações nas quais os conhecimentos aritmético e algébrico fossem entendidos de uma maneira interrelacionada e inter-ligada. Como afirmam Lins e Gimenez (1997) /.../entender de que modo álgebra e aritmética se ligam, o que elas têm em comum [nos permite] repensar a educação aritmética e algébrica de forma única (p. 113). Esse relato apresenta algumas de nossas reflexões em relação a educação algébrica e se constitui como uma oportunidade de diálogo e aprendizagem com outros professores de matemática. 6. REFERÊNCIAS ALRO, H. ; SKOVSMOSE O. Diálogo e Aprendizagem em Educação Matemática. Tradução de Orlando Figueiredo. Belo Horizonte: Autentica, BRASIL. Ministério da Educação. Secretaria de Educação Fundamental. Parâmetros Curriculares Nacionais: Terceiro e Quarto Ciclos do Ensino Fundamental - Matemática. Brasília: MEC/SEF, LINS, R. C. ; GIMENEZ, J.. Perspectivas em aritmética e álgebra para o século XXI. Campinas: Editora Papirus, V p. VIOLA DOS SANTOS, J. R. ; BURIASCO, Regina L.c. de. Uma análise do Pensamento e da Linguagem Algébrica expressos na produção escrita de alunos da Escola Básica. Boletim GEPEM, v. 54, p ,

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