Exercícios Teóricos Resolvidos

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1 Universidade Federal de Minas Gerais Instituto de Ciências Exatas Departamento de Matemática Exercícios Teóricos Resolvidos O propósito deste texto é tentar mostrar aos alunos várias maneiras de raciocinar para resolver problemas teóricos. Por isso, várias resoluções diferentes para um mesmo problema são discutidas. Evidentemente não existe uma única maneira de pensar, mas todas devem obedecer os princípios básicos da lógica humana e você deve ser capaz de explicar o seu raciocínio de modo que as outras pessoas entendam. Observe que as discussões são longas, pois o propósito aqui não é simplesmente dar a solução (que em todos os casos não ocuparia mais que uma ou duas linhas e deixar que o aluno se vire para entender como se chegou a ela, mas exatamente tentar dar meios e instrumentos para o aluno conseguir resolver problemas teóricos por conta própria. À medida que o aluno atinja maior maturidade de raciocínio, ele vai ver como ele chegará às soluções dos problemas teóricos simples sozinho, sem a ajuda de ninguém, e com maior rapidez, automatizando o processo de raciocínio a tal ponto que ele pode até mesmo ter dificuldades em explicar ao colega como ele chegou na resposta. Exercício a Se A é uma matriz m n tal que AX = para toda matriz n X, é necessariamente verdade que A =? Sempre que nos deparamos com uma situação nova, em qualquer ramo do conhecimento humano, para compreendê-la é bom compararmos ela com situações semelhantes que aprendemos anteriormente, conhecimento adquirido anteriormente, sobre as quais temos uma boa compreensão. Esta é uma das bases do aprendizado. No caso específico de matrizes, cujas propriedades estamos começando a aprender, vale a pena comparar com o que sabemos sobre as propriedades dos números reais, que são nossos velhos conhecidos. Além disso, é sempre bom lembrar que os números reais são um caso especial de matrizes: as matrizes. Como matrizes são blocos de números organizados de uma maneira específica e as operações sobre matrizes muitas vezes têm definições igualmente complexas, a maioria das propriedades que valem para números reais não valem para matrizes. Mas compreender quando e porque elas valem para números reais, ajuda a prever se determinada propriedade vai ou não valer para matrizes. Portanto, para resolver a questão proposta neste exercício, primeiro vamos traduzi-la para números reais e verificar se, nesta situação mais simples e que conhecemos bem, a proposição é válida ou não, e os motivos da sua validade (ou não validade:

2 Se a é um número tal que ax = para todo número x, então necessariamente a =? Para saber se esta proposição é válida ou não, precisamos apenas lê-la. Quando dizemos que uma coisa vale para todos os casos, em particular ela vale para qualquer caso específico que escolhermos. Logo, temos a liberdade de investigar casos particulares para ver se eles fornecem alguma informação sobre o problema. Se a é um número real tal que ax = para todo número real x, em particular ax = para um x = x qualquer não nulo (por exemplo, para x = 4. Mas se x, podemos dividir ambos os lados da nossa equação ax = por x e aí obtemos a = (por exemplo, escolhendo x = 4, nossa equação fica sendo a4 = e dividindo ambos os lados da igualdade por 4, temos a4 =, ou seja, a =. 4 4 Portanto, concluímos que se a é um número real tal que ax = para todo número real x, então necessariamente temos que ter a =. Concluímos que a proposição é válida para números reais. Mas o mais importante, principalmente para o próximo passo, que é investigar se a proposição é válida ou não para matrizes, é entender porque pudemos concluir isso. Nós pudemos chegar a essa conclusão porque entre os números x existem aqueles que podemos usar para dividir uma equação por eles. Em outras palavras, porque existem números reais que possuem inversos multiplicativos (dividir por x é a mesma coisa que multiplicar por, que é o inverso multiplicativo de x. x Na verdade, quase todos os números reais possuem inversos multiplicativos; a única exceção é o número. Nem todas as matrizes possuem inversos multiplicativos. Isso é especialmente verdade para matrizes colunas X n, onde o conceito de inverso multiplicativo não é sequer definido. Em outras palavras, mesmo que a matriz coluna X for uma matriz não nula, não podemos dividir a equação AX = por X. Se você se lembrar do que aprendeu na sala de aula, deve-se recordar que as únicas matrizes para as quais definimos inversas são as matrizes quadradas. Isso parece indicar que a resolução que encontramos acima não se generaliza para as matrizes, e perdemos nosso tempo. Na verdade, porém, a resolução acima pelo menos indica que vale a pena tentar casos particulares, escolhendo matrizes coluna X diferentes da matriz coluna nula e ver que informações elas podem nos dar. Para fixar idéias, ao invés de lidar com uma matriz geral m n, vamos nos restringir à análise do caso particular das matrizes 2 2. Na resolução de problemas teóricos este é muitas vezes um passo importante: analisar alguns casos particulares, suficientemente ilustrativos, antes de passar para o caso geral. A resolução de um caso particular pode dar idéias para resolver o caso geral. Por isso, é importante que o caso particular não seja particular demais, pois a técnica de resolução pode servir apenas para este caso e não para o caso geral (veja observação no final da resolução deste exercício, ou, pior ainda, pode ser que a proposição seja realmente válida para este caso particular, mas seja falsa em geral. Em princípio, não há nada de mal em escolher uma matriz 2 2 para testar nossas idéias, portanto façamos isso. Tomemos uma matriz quadrada A, 2 2, de modo que as matrizes X são matrizes coluna 2. Observe que se 2

3 ( ( ( a a 2 x =, para toda matriz X, a 2 a 22 x 2 ( então, em particular, vale para a matriz coluna não nula X =. Ao efetuarmos a multiplicação AX =, obtemos a = e a 2 =, portanto obtemos informação sobre A: A tem que ter a sua primeira coluna nula. A próxima escolha ( pode já ser óbvia para o aluno. Escolhendo agora a matriz coluna não nula X 2 = e efetuando a multiplicação AX 2 =, obtemos a 2 = e a 22 =, ou seja, a segunda coluna de A também deve ser nula e portanto A tem que ser de fato a matriz identicamente nula. Nesse ponto, o aluno poderia perguntar: Fica claro que se eu multiplicar minha matriz por esses vetores eu obtenho uma ( matriz nula. ( Mas e se eu escolhesse outros dois vetores 2 quaisquer, por exemplo X 3 = e X 4 =. Eu obteria a mesma resposta? A resposta é sim: basta efetuarmos a multiplicação AX 3 = e AX 4 =, ou seja, ( ( ( ( ( ( a a 2 2 a a = e 2 = a 2 a 22 a 2 a 22 para chegaremos aos sistemas: { 2a + a 2 = 2a 2 + a 22 = { a + a 2 = a 2 + a 22 = Daí resulta que devemos ter quatro condições para as entradas a, a 2, a 2, a 22 de nossa matriz. Por um lado, pela primeira equação do primeiro sistema, devemos ter que 2a = a 2. Por outro lado, pela primeira equação do segundo sistema, devemos ter que a = a 2. Sendo assim, combinando essas duas condições, vemos claramente que a única solução possível para ambos os casos é a = a 2 =. Fazendo um raciocínio inteiramente análogo para tratarmos da segunda equação do primeiro e do segundo sistema, obteremos a solução a 2 = a 22 =. Assim, obtemos novamente que a matriz A é identicamente nula. Porém, aqui vem uma observação importante: tente sempre escolher os exemplos mais simples possíveis. Quanto mais complicado o seu exemplo, maior será a probabilidade de você errar as suas contas e, mesmo que suas contas estiverem corretas, você pode não conseguir analisar a informação que você obteve usando este exemplo devido a sua complexidade. Além disso, quando se escolhe um exemplo complicado que dá informação parcial (a matriz X 3, às vezes pode ficar difícil encontrar um segundo exemplo para dar a informação complementar (a matriz X 4. Neste problema específico que estamos resolvendo, em geral quaisquer duas matrizes colunas diferentes que escolhêssemos nos dariam o resultado desejado, a não ser que elas fôssem múltiplas uma da outra. À exceção deste caso, sempre 3

4 obteríamos a matriz A tem todos os seus termos iguais a zero. Em outros problemas, as coisas poderiam não ser tão fáceis, por isso é sempre bom escolher os exemplos mais simples possíveis. Outro motivo para isso é que se os exemplos mais simples não fornecerem a informação desejada (talvez por serem simples demais; mas às vezes o motivo é que a proposição é falsa, pode-se progressivamente torná-los mais complicados, de maneira organizada e sistemática. Procedendo agora para o caso geral, onde A é uma matriz m n e X uma matriz n, temos a seguinte situação: a a 2... a n a 2 a a 2n.... a m a m2... a mn x x 2. x n =., para toda matriz coluna X Então, seguindo a idéia que desenvolvemos para resolver o caso em que A é uma matriz 2 2, em particular esta relação deve valer para as matrizes coluna X =., X 2 =.,..., X n =.. Procedendo da mesma maneira que no caso de uma matriz 2 2, substituímos cada uma destas escolhas para X na equação AX =. Escolhendo X = X, X = X 2,..., X = X n, sucessivamente, obtemos os seguintes valores para os índices a ij : a = a 2 =... = a m = a 2 = a 22 =... = a m2 =..... a n = a 2n =... = a mn = Sendo assim, concluímos que A tem que ser necessariamente a matriz nula, pois cada entrada de A vale zero. Observação. Às vezes, dependendo da maneira que resolvemos um caso particular, isso pode não dar nenhuma informação sobre o caso geral. Por exemplo, uma maneira de resolver a questão proposta neste exercício para os números reais é pelo chamado raciocínio por contradição (ou por absurdo. Suponha que ax = para todo x e que a. Se a, então a possui um inverso multiplicativo e podemos dividir ambas os lados da equação ax = por a, obtendo que necessariamente x =, o que contraria a nossa hipótese inicial que a equação vale para todo x. Portanto, esta contradição prova que se ax = para todo x, então necessariamente a =. Este tipo de raciocínio não se generaliza para todas as matrizes A m n pois, como lembrado acima, se m n, então a inversa de A não está definida. Ele 4

5 apenas mostra que se A é uma matriz quadrada tal que AX = para toda matriz coluna X, então necessariamente A não pode ser invertível (pois, da mesma forma que fizemos com números reais, podemos multiplicar ambos os lados da equação AX = pela inversa de A, ou seja, A AX = A, obtendo IX =, ou seja, X =, uma contradição. Embora este raciocínio não tenha sido útil na nossa situação aqui, ele poderia ser útil em outra situação. Note que embora ele não seja capaz de resolver o problema aqui, ou seja não nos permitiu concluir que A =, pelo menos alguma informação ele deu, ou seja, que A não pode ser invertível. Com base nesta informação o problema se simplificou um pouco, já que agora não precisamos trabalhar no universo de todas as matrizes, apenas no universo das matrizes não-invertíveis, que é um universo muito menor (apesar de ser constituído por infinitos elementos: pense na comparação entre uma reta e um plano, ambos formados por um número infinito de pontos, mas em um certo sentido o plano é maior que a reta. b Sejam B e C matrizes m n, tais que BX = CX, para todo vetor X, n. Mostre que B = C. Novamente pensando inicialmente no contexto de números reais, suponha que tenhamos dois números b e c tais que a igualdade bx = cx é válida para todo número x. Este problema parece semelhante ao caso anterior e de fato, após algum pensamento, vemos que podemos recair no caso anterior simplesmente reescrevendo nossa equação como bx cx = (em outras palavras, subtraia cx de ambos os lados da equação e colocando x em evidência, obtendo a equação (b cx = válida para todo x. Mas então, concluímos pelo item anterior que (b c =, ou seja, b = c. Observe que na resolução do caso mais simples de números reais usamos apenas operações que são válidas também para matrizes: a subtração é uma operação que está definida para matrizes e têm as mesmas propriedades da operação subtração para números reais e as matrizes também satisfazem a propriedade distributiva, como os números reais, o que permite colocar matrizes em evidência. Portanto o mesmo raciocínio, apenas trocando letras minúsculas por maiúsculas, deve servir para matrizes. Dadas duas matrizes B e C, m n, se a equação BX = CX é válida para toda matriz coluna X, n, podemos subtrair a matriz CX de ambos os lados da equação obtendo BX CX =. Novamente, como para as matrizes vale a propriedade distributiva, podemos colocar X em evidência obtendo (B CX = para todo X e recaímos no caso provado no ítem anterior. Sendo assim, concluímos que (B C =, e portanto B = C. 5

6 Exercício 2 a Se A e B são duas matrizes tais que AB =, então A = ou B =? Justifique. Um resultado conhecido quando tratamos de números reais é que se a e b são dois números tais que ab =, então a = ou b = (lembre-se que ou em matemática não é excludente, ou seja, no caso, tanto pode apenas um deles ser zero como pode ocorrer de ambos serem nulos. Para verificarmos se esse resultado vale para as matrizes, precisamos antes de mais nada entender porque ele vale para os números reais. Não é difícil de ver porque este resultado vale para números reais. Se a, então podemos dividir ambos os lados da equação ab = por a e concluirmos que b =. No entanto, como já recordamos no exercício anterior, existem matrizes não nulas que não possuem inversas (se elas não forem quadradas, não há nem sentido em falar sobre as inversas destas matrizes. Logo este argumento não serve para matrizes. Na verdade, quem garante que esta proposição é verdadeira para matrizes? Fica claro que se A = ou B =, quando fazemos o produto AB obtemos a matriz nula. No entanto, será que sempre que um produto AB =, as matrizes A e B são nulas? O argumento sobre números reais pelo menos é útil no sentido de mostrar que se uma das matrizes A ou B é invertível, então a proposição é verdadeira, ou seja, AB = implica A = ou B =. Basta notar que, supondo, por exemplo, A invertível, podemos multiplicar à esquerda ambos os membros da nossa equação por A, obtendo A AB = A e concluímos que IB =, ou seja, B =. Caso seja B a matriz invertível, procedemos de modo análogo, multiplicando à direita ambos os lados da equação pela inversa de B e obtendo ABB = B, donde resulta AI =, e portanto A =. Portanto, para investigar a validade da proposição para matrizes, temos que nos restringir a matrizes não invertíveis. Será que é possível termos duas matrizes não invertíveis A e B, não nulas, tais que o seu produto seja igual à matriz nula? Para ver isso, podemos tentar alguns exemplos simples. Se depois de tentarmos vários exemplos, simples e complicados, não conseguirmos obter nenhum exemplo de matrizes não nulas e não invertíveis tais que o seu produto é igual a, poderemos desconfiar que tais exemplos não existem e tentar encontrar um argumento lógico para provar que de fato é assim, a proposição é verdadeira. No entanto, escolhendo os exemplos mais simples de matrizes não invertíveis, é fácil encontrar logo de cara matrizes não-nulas cujo produto é. Por exemplo, se pegarmos duas matrizes simples como ( ( e e efetuarmos o produto da primeira com a segunda (claramente este está definido, obteremos o número zero (que é a matriz nula. Sendo assim, a partir de um caso bem simples, já vimos que podemos pegar duas matrizes não nulas com o seu produto dando zero, ou seja a proposição, apesar de verdadeira para os números reais, é falsa para as matrizes. 6

7 Se você não estiver satisfeito, pode ver que isso vale para matrizes de todos os tamanhos, encontrando sempre contraexemplos simples. Por exemplo, no caso de matrizes quadradas 2 2, podemos construir duas matrizes não nulas bem simples cujo produto é, baseado no que acabamos de ver. Basta considerar as matrizes: A = ( e B = ( Ao efetuarmos a multiplicação AB obtemos a matriz nula, como você pode verificar rapidamente. Esse processo de construir matrizes não nulas cujo produto é a matriz nula, pode ser seguido para matrizes de qualquer tamanho. A partir dessa idéia, podemos construir também matrizes de outras ordens tal que o seu produto resulte em uma matriz nula. Outro exemplo: ( ( = (Tente você encontrar um exemplo de duas matrizes não nulas 3 3 cujo produto é a matriz nula. Assim, podemos seguir indefinidamente construindo exemplos que tornam falsa a afirmação do enunciado da nossa questão. Exemplos dessa forma são matematicamente chamados de contra-exemplo, ou seja, um exemplo que mostra que é falsa a generalidade de uma afirmação, ou seja, no caso, de ser verdade para toda matriz que se o produto de duas matrizes é nulo, pelo menos uma das matrizes é nula. Achamos vários exemplos em que essa afirmação falha. Na verdade, há infinitos exemplos, embora bastasse apenas um para mostrar que a afirmativa é falsa.. b Se AB =, então BA =? Justifique. Novamente temos um resultado cuja validade para o caso dos números reais é facilmente vista, pois para os números reais a multiplicação é comutativa, quer dizer, se a e b são números reais e ab = então, como ab = ba, temos ba =. Entretanto, como a multiplicação de matrizes não é comutativa, é de se desconfiar que esta propriedade não seja válida (por outro lado, no caso de matrizes quadradas, talvez você tenha visto em sala que se AB = I, então necessariamente BA = I, portanto, não está claro que isso seja assim. Para verificar a falsidade desta afirmação basta encontrar um contra-exemplo, ou seja, um caso em que temos o produto de duas matrizes iguais a matriz nula, mas que ao trocarmos a sua ordem obtemos uma matriz não nula. Portanto, vale a pena experimentarmos com matrizes, tentando achar contra-exemplos. Se depois de tentarmos vários exemplos, simples e complicados, não conseguirmos obter nenhum exemplo de matrizes cujo produto em uma ordem é, mas se trocarmos a ordem não dá, então podemos começar a suspeitar que sempre que o produto de duas matrizes dá não importa 7

8 a ordem em que você faz a multiplicação destas matrizes, você sempre obterá. Aí teremos que encontrar um argumento lógico para provar isso. Após algumas tentativas, sempre procurando exemplos simples (o que também reduz o número de tentativas, vemos que se considerarmos as matrizes: A = ( e B = ( claramente teremos AB =, enquanto que quando fazemos o produto BA obtemos ( ( ( =, que é uma matriz não nula. Podemos, de modo análogo ao exercício anterior, encontrar várias outras matrizes cujo produto em uma determinada ordem dá a matriz nula, mas que quando trocamos sua ordem seu produto não é mais uma matriz nula. Observação. Quando mostramos que a afirmação do enunciado é falsa, não quer dizer que não existam matrizes cujo produto valha zero qualquer que seja a ordem em que este produto é feito. Na verdade, existem várias matrizes assim. Um exemplo trivial é a matriz identicamente nula, que multiplicada por qualquer matriz dá zero e ao comutarmos com essas mesmas matrizes, o produto continua valendo zero. O que queremos ressaltar é que essa afirmação não vale para toda matriz e, portanto, não pode ser considerada verdadeira., c Se A é uma matriz tal que A 2 =, então A =? Justifique. Mais uma vez temos uma afirmação obviamente válida quando tratamos de números reais. Vamos então analisar sua veracidade quando estamos trabalhando com matrizes. Como primeira observação, note que a afirmação só faz sentido para matrizes quadradas, pois se A não é uma matriz quadrada, então o produto de A por A não está definido. Portanto o nosso universo de trabalho aqui é restrito às matrizes quadradas. Observe que não podemos pensar o ítem c simplesmente como um caso particular do ítem b onde, ao invés de pensarmos no produto geral AB, nós pensemos no produto particular deste caso AA. Essas particularizações só valem quando temos um enunciado verdadeiro. Explicando, se eu tenho uma afirmação que vale, por exemplo, para todos os tipos de matrizes, então valerá para determinados casos particulares delas. Exemplificando, sabemos que como a soma de matrizes é associativa para quaisquer tipo de matrizes (obviamente desde que elas tenham o mesmo tamanho e você possa somá-las, então podemos afirmar que, em particular, esta propriedade será verdadeira para o caso das matrizes quadradas ou das matrizes 3 2. No entanto, quando temos um enunciado falso, não podemos dizer que uma particularização dele também será falsa. Pode ocorrer de um resultado não ser verdade, por exemplo, quando se trata de todas formas de matrizes possíveis, mas valer, em 8

9 particular, para determinados tipos delas. Por isso, ainda é possivel que c seja verdadeira, isto é, no caso particular do produto de uma matriz com ela mesma. Observe também que a matriz A não pode ser invertível pois, caso fosse, a nossa equação A 2 = poderia ser multiplicada em ambos os lados por A e resultaria que A AA = A, donde teríamos IA =, e portanto A =, contradizendo o fato de que A é invertível. Sendo assim, procuremos matrizes mais simples o possível, entre as matrizes não invertíveis, para testar a afirmação. Após algumas tentativas, é fácil encontrar a matriz não nula A = ( cujo quadrado é a matriz nula. Outra maneira de construir contra-exemplos para esta afirmação é a seguinte. Queremos achar matrizes A de entradas a, b, c, d, não todas simultaneamente nulas, tais que, ao efetuarmos o produto AA obtemos uma matriz nula. Ou seja, queremos que ( ( ( a b a b = c d c d Ao efetuarmos o produto entre as duas matrizes do lado esquerdo, vemos que esse produto equivale a resolver o sistema a 2 + bc = ac + cd = ab + bd = bc + d 2 = Sendo assim, para encontrar a matriz que queremos basta que suas entradas a, b, c, d satisfaçam o sistema formado pelas quatro equações acima. A matriz escolhida anteriormente satisfaz essas condições pois no seu caso temos a =, b =, c =, d =. Uma outra matriz que serviria para contra-exemplo é a matriz ( pois a =, b =, c =, d = satisfazem o sistema. Para verificar se estamos corretos, também basta efetuar o produto ( ( e ver que obtemos a matriz nula. Analogamente, poderíamos encontrar matrizes A de qualquer tamanho tais que A 2 =., 9

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