CURSO ONLINE RACIOCÍNIO LÓGICO
|
|
- Iago Amaro Gomes
- 9 Há anos
- Visualizações:
Transcrição
1 AULA QUINZE: Matrizes & Determinantes (Parte II) Olá, amigos! Pedimos desculpas por não ter sido possível apresentarmos esta aula na semana passada. Motivos de força maior nos impediram de fazê-lo, mas ei-nos aqui, para encerramos o assunto iniciado na aula passada Matrizes. Esperamos que todos tenham aprendido bem o assunto e que tenham resolvidos as questões que ficaram do dever de casa passado. Caso alguém tenha encontrado alguma dificuldade, é só dar uma conferida nas respectivas resoluções, apresentadas na seqüência. Vamos a elas! Dever de Casa. (TFC-97) Se A, B e C são matrizes de ordens respectivamente iguais a (), () e (), então a epressão [A. (B. C)] tem ordem igual a: a) b) c) d) 6 6 e) Sol.: Uma questão que trata unicamente acerca da ordem (dimensão) das matrizes. E isso já aprendemos perfeitamente. Vamos, portanto, substituir a letra da matriz pela sua dimensão, conforme nos forneceu o enunciado. Ok? Teremos: [A. (B. C)] {().[().()] } Primeiramente devemos fazer o produto das matrizes B e C, que estão dentro do parêntese! Teremos: (B ) (C ) ( ) ( ) meios etremos O resultado, conforme podemos ver no esquema acima, será uma nova matriz de dimensão (), que são os etremos das dimensões das matrizes multiplicadas! Pois bem! Teremos agora é multiplicar a matriz A, de dimensão () pela matriz produto que acabamos de encontrar, de dimensão (). Teremos: ( ) ( ) meios etremos Daí, chegamos a uma nova matriz, de dimensão (), conforme percebemos pelo esquema acima. Esse é o resultado final do produto [A. (B. C)].
2 Só que a questão quer mais! Quer que elevemos esse resultado ao quadrado! Viram? É preciso, finalmente, que nós multipliquemos essa matriz resultante por ela mesma. Teremos, pois, que: ( ) ( ) meios etremos Ou seja, o resultado final da epressão trazida pelo enunciado é justamente uma matriz quadrada de ª ordem: uma matriz de dimensão () Resposta! a. (TFC 99) Dada as matrizes A, B e X, assinale os valores b de a e b, de modo que AXB a) a e b b) a e b c) a e b d) a e b e) a e b- Sol.: A questão quer que façamos o produto entre as matrizes A e X, e que igualemos esse resultado à matriz B. Comecemos, pois, pelo produto. Teremos: A. X a b a b a b a b b Daí, igualando a matriz produto encontrada acima à matriz B, teremos: a b b Dessa igualdade, etrairemos os seguintes resultados: ab e b Pronto! Se b, então, substituindo esse resultado na primeira equação acima, teremos que: ab a-b a-() a- a Com isso, chegamos ao nosso resultado: a e b Resposta!. (AFC/CGU /) Genericamente, qualquer elemento de uma matriz M pode ser representado por m ij, onde i representa a linha e j a coluna em que esse elemento se localiza. Uma matriz X ij, de terceira ordem, é a
3 matriz resultante da soma das matrizes A (a ij ) e B(b ij ). Sabendo-se que a ij i e que b ij (i-j), então o produto dos elementos e é igual a: a) 6 b) 8 c) 6 d) 6 e) 69 Sol.: Resolvemos questões praticamente iguais a essa na aula passada. Se o enunciado pede que calculemos o valor de X e de X, e é dito que a matriz X é a que resulta da soma entre as matrizes A e B, então, na verdade, somente nos interessarão os valores dos seguintes elementos: A e A, B e B. Mais do que isso não precisa, uma vez que teremos que: X A B X A B e que: A lei de formação da matriz A é dada pela questão como sendo a ij i. Daí, teremos A () 9 e A () Já no tocante à matriz B, teremos que sua lei de formação é a seguinte: b ij (i-j). Daí: B (-) e B (-) De posse desses resultados, vamos chegar agora ao seguinte: X A B X 9 X A B X O que nos pede, finalmente, a questão? Pede que multipliquemos esses dois últimos resultados obtidos. Teremos, pois, que: X. X 6 Resposta!. (Técnico MPU Administrativa ESAF) Sejam as matrizes A 6 e B e seja ij o elemento genérico de uma matriz X tal que X (A.B) t, isto é, a matriz X é a matriz transposta do produto entre as matrizes A e B. Assim, a razão entre e é igual a a). b) /. c). d) /. e). Sol.: Mais uma bem ao estilo da Esaf. O primeiro a ser feito é multiplicarmos as duas matrizes fornecidas pelo enunciado. Teremos o seguinte:
4 6 ( ) ( 6) ( ) ( ) ( 6) ( ) ( ) ( 6) ( ) ( ) ( 6) 8 ( ) 6 Pois bem! Teremos agora que pegar essa matriz produto que encontramos acima, e construir a sua transposta! Ora, sabemos que na matriz transposta, quem é linha vira coluna, e só! Teremos, pois, que a matriz X será a seguinte: X(A.B) t Daí, o próimo passo será descobrir quais são os valores que ocupam as posições X e X. Quais são? Ora, é só olhar! Encontraremos que: X 6 e X 8. Finalmente, a questão pede que nós calculemos a razão entre X e X. Teremos: X /X 6/8 Resposta!. (SERPRO 997) Uma matriz quadrada A, de terceira ordem, possui determinante igual a. O determinante da matriz A é igual a: a) b) c) d) e) 8 Sol.: Se, na hora da prova, ficar difícil de energar um caminho para o resultado, é aconselhável que você crie uma matriz com as características que o enunciado pede. Neste caso, uma de dimensão () cujo determinante seja igual a. Aprendemos como fazer isso na aula passada! Lembrados? Bastaria zerarmos todos os valores da matriz, eceto os da diagonal principal, os quais teriam que ser escolhidos, de modo que seu produto seja eatamente igual a. Uma possibilidade é a seguinte: A Concordam? Vejam que o produto dos elementos da diagonal principal é. Como todos os outros elementos da matriz são iguais a zero, concluímos que o determinante dessa matriz é. Agora a questão pede que nós construamos a matriz A e que calculemos o novo determinante. Façamos isso. Teremos: Se A, então A Percebamos que os elementos não pertencentes à diagonal principal continuaram todos iguais a zero. Logo, o determinante da nova matriz será também o produto dos elementos de sua diagonal principal. Ou seja: det(a) Resposta!
5 6. (MPOG ) A transposta de uma matriz qualquer é aquela que se obtém trocando linhas por colunas. Sabendo-se que uma matriz quadrada de segunda ordem possui determinante igual a, então o determinante do dobro de sua matriz transposta é igual a: a) b) / c) d) 8 e) Sol.: Aqui nos fala a questão acerca de uma matriz () cujo determinante é igual a. Poderemos construir uma matriz com essas característica. Uma possível seria a seguinte: A Daí, a matriz transposta de A seria dada por: A t, que é a própria matriz A. Agora, descobriremos qual é a matriz que representa o dobro da encontrada acima. Teremos:.A t, cujo determinante é 8 Resposta! 7. (AFC-STN-) Uma matriz quadrada X de terceira ordem possui determinante igual a. Sabendo-se que a matriz Z é a transposta da matriz X, então a matriz Y Z tem determinante igual a a) / b) c) 9 d) 7 e) 8 Sol.: Questão semelhante à anterior, só que agora estamos diante de uma matriz de dimensão (), cujo determinante é igual a. Criando uma matriz assim, teremos: X Daí, a transposta de X será igual à própria matriz X. Concordam? Agora, teremos que multiplicar essa matriz por. Teremos: Se X, então X, cujo determinante é 8 Resposta! 9 Passemos a nossa aula de hoje! Nesta aula encerramos os assuntos de Matriz e Determinante.
6 6 # MENOR COMPLEMENTAR Consideremos uma matriz M de ordem n, seja a ij um elemento de M. Definimos menor complementar do elemento a ij, e indicamos por D ij, como sendo o determinante da matriz que se obtém, suprimindo a linha i e a coluna j de M. Eemplo ) Calcule o menor complementar dos elementos da ª coluna da matriz M. - M - 6 Sol.: Os elementos da ª coluna são: a, a e a, daí o menor complementar desses elementos serão indicados, respectivamente, por: D, D e D. ) Cálculo de D - M - 6 Daí: D det 6 D 6 D 6 ) Cálculo de D - M - 6 Daí: D det - 6 D 6 (-) D ) Cálculo de D - M - 6 Daí: D det - D (-) D # COFATOR Consideremos uma matriz M de ordem n, seja a ij um elemento de M. Definimos cofator de a ij, e indicamos por A ij, como sendo o número (-) ij. D ij.
7 7 Eemplo ) Calcule o cofator para cada elemento da ª coluna da matriz M. Sol.: - M - 6 No eemplo anterior havíamos calculado o menor complementar para cada elemento da ª coluna, e obtivemos os seguintes resultados: D 6, D e D Este eemplo pede os seguintes cofatores: A, A e A. Aplicaremos a fórmula do cofator de um elemento: A ij (-) ij. D ij A (-). D A (-). 6 A 6 A (-). D A (-). A - A (-). D A (-). A # TEOREMA FUNDAMENTAL DE LAPLACE O determinante de uma matriz M, de ordem n, é a soma dos produtos dos elementos de uma fila qualquer (linha ou coluna) pelos respectivos cofatores. Como demonstração, calcularemos o determinante da matriz dada no eemplo anterior. De acordo com o teorema acima, qualquer linha ou coluna pode ser usada para o cálculo do determinante. Como faremos o produto do elemento pelo seu cofator, é interessante que escolhamos uma linha ou coluna que tenha a maior quantidade de zeros, pois é desnecessário calcular o cofator dos elementos que são iguais a zero. Na matriz M abaio, deveríamos escolher a ª linha ou a ª coluna, pois ambas tem um zero. Porém, como no eemplo anterior escolhemos a ª coluna para calcularmos os cofatores, então usaremos a ª coluna no cálculo do determinante da matriz M. - M - 6 Cálculo do determinante da matriz M: Usando a ª coluna, o determinante de M é dado por: det M a A a A a A Havíamos obtido no eemplo anterior: A 6, A - e A. Daí: det M.6.(-) (-). det M E, finalmente: det M
8 8 # INVERSA DE UMA MATRIZ Seja A uma matriz quadrada de ordem n. Dizemos que A é uma matriz inversível se eistir uma matriz, chamada de A -, tal que A.A - A.A - I n. Onde I n é a matriz identidade de ordem n. Se A não é inversível, dizemos que A é uma matriz singular. Eemplo ) Calcule a inversa da matriz M. M - Procuramos por M - que representaremos pela matriz: a c b d Conforme a definição de matriz inversível, o produto da matriz M pela sua inversa M - é igual a matriz identidade. Portanto, teremos: M - M I a b - c d Já vimos como se multiplica duas matrizes, portanto só daremos o resultado do produto M - M. Teremos: Para que as duas matrizes acima sejam iguais é necessário que: b -ab d -cd Encontraremos os valores de a, b, c e d. Como b, então b,. Como d, então d. -ab -a, a, -cd -c c- b -ab d -cd Daí, a inversa da matriz M será a seguinte matriz: M -,, - Eemplo ) Calcule a inversa da matriz B. - B - - Sol.: Para uma matriz de ordem maior que, o método que usamos no eemplo anterior para o cálculo da matriz inversa pode ser mais trabalhoso. Mostraremos um outro método para encontrar a inversa de uma matriz.
9 9 Podemos obter a inversa de uma matriz pela fórmula: Onde: M é a matriz adjunta. O que é matriz adjunta? M M det M Matriz adjunta é a transposta da matriz dos cofatores. E o que é matriz dos cofatores? É a matriz que se obtém de M, substituindo cada elemento de M por seu cofator. Vamos calcular a matriz dos cofatores da matriz B dada abaio: ) Cofator A? - B - - A (-). D (-). D D - B - - D (-) 8 A D 8 ) Cofator A? D det - A (-). D (-). D D - B - - D det - - D (-)(-) A D ( ) ) Cofator A? A (-). D (-). D D - B - - D det - D (-) 6 A D 6
10 ) Cofator A? A (-). D (-). D D - B - - D det - D (-) A D ) Cofator A? A (-). D (-). D D - B - - D det - - D (-)(-) A D 6) Cofator A? A (-). D (-). D D - B - - D det - D (-) 8 A D 8 7) Cofator A? A (-). D (-). D D - B - - D det - - D (-) (-) A D 8 8) Cofator A? A (-). D (-). D D - B - - D det - - D (-) (-) - A D ( )
11 9) Cofator A? A (-). D (-) 6. D D - B - - D det D A D Portanto, a matriz dos cofatores de B é a seguinte matriz: que: A matriz adjunta de B ( B ) é a transposta da matriz dos cofatores, então teremos Matriz adjunta: B 6-8 Só falta calcular o determinante da matriz B para obtermos a matriz inversa B -. Utilizaremos o Teorema de Laplace para calcularmos o determinante da matriz B. Por este teorema, o determinante de uma matriz é igual a soma dos produtos dos elementos de uma fila qualquer (linha ou coluna) pelos respectivos cofatores. Escolheremos a primeira linha da matriz B! - B - - Aplicando o teorema: det B A A (-)A det B 8 (-)6 det B Agora é só aplicar a fórmula da inversa de uma matriz: B B det B B B
12 ,9,, B,, ( E finalmente encontramos a inversa!),8,, # PROPRIEDADES DOS DETERMINANTES. Matriz Transposta Se M é uma matriz quadrada de ordem n e M t sua transposta, então: det(m t ) det(m). Fila Nula Se os elementos de uma fila (linha ou coluna) qualquer de uma matriz M de ordem n forem todos nulos, então: det(m). Multiplicação de uma fila por uma constante Se multiplicarmos uma fila (linha ou coluna) qualquer de uma matriz M de ordem n por um número k, o determinante da nova matriz será o produto de k pelo determinante de M. det(k vezes uma fila de M) k.det(m). Multiplicação de uma Matriz por uma constante Se multiplicarmos uma matriz M de ordem n por um número k, o determinante da nova matriz será o produto de k n pelo determinante de M. det (k.m) k n det(m). Filas paralelas iguais Se uma matriz M de ordem n tem duas filas paralelas formadas por elementos respectivamente iguais, então: det(m) 6. Filas paralelas proporcionais Se uma matriz M de ordem n tem duas filas paralelas formadas por elementos respectivamente proporcionais, então: det(m) 7. Troca de filas Paralelas Seja A uma matriz de ordem n. Se trocarmos de posição duas filas paralelas obteremos uma nova matriz B tal que: det(a) det(b) 8. Produto de Matrizes Seja A e B são matrizes quadradas de ordem n, então: det(a.b) det(a).det(b) 9. Matriz Triangular O determinante é igual ao produto dos elementos da diagonal principal.
13 E. : E.: A 6 det(a) 6 8 B det(b) (-) -6.. Matriz Inversa Seja B a matriz inversa de A, então a relação entre os determinantes de B e A é dado por: det( B ) det( A) # SISTEMAS LINEARES. Conceito de Equação Linear Antes de conhecermos um Sistema Linear, devemos saber o que é uma equação linear. Chamamos de equação linear toda equação do tipo: a a a... a n n b, onde:,,,..., n são as variáveis ou incógnitas, a, a, a,..., a n são números reais chamados de coeficientes, e b é um número real chamado de termo independente da equação. Eemplos de equações lineares: ) ) 7 ) 6 Outros eemplos de equações lineares, mas com outras letras para as variáveis: ) z ) w. Conceito de Sistema Linear Um sistema linear é um conjunto de equações lineares. São eemplos de sistemas lineares: ) 7 ) z z z 9 ) 6 9 z z 8
14 . Representação de um Sistema Linear em Forma Matricial Todo sistema linear pode ser escrito na forma matricial. Encontraremos a forma matricial dos três eemplos dados acima. Ao mesmo tempo aprenderemos a construir a matriz incompleta e a matriz de cada variável de um sistema linear, que serão úteis mais adiante. ) 7 7 Matriz incompleta do sistema Matriz de X 7 (a partir da matriz incompleta substitua os coeficientes de pelos termos independentes) Matriz de Y 7 (a partir da matriz incompleta substitua os coeficientes de pelos termos independentes) ) 9 z z z 9 z Matriz incompleta do sistema Matriz de X 9 (a partir da matriz incompleta substitua os coeficientes de pelos termos independentes) forma matricial forma matricial coeficientes de coeficientes de termos independentes coeficientes de coeficientes de termos independentes coeficientes de z
15 Matriz de Y 9 (a partir da matriz incompleta substitua os coeficientes de pelos termos independentes) Matriz de Z 9 9 (a partir da matriz incompleta substitua os coeficientes de z pelos termos independentes) ) z z z. Solução de um Sistema Linear Considere o seguinte sistema, composto por duas equações lineares: 7 Um par de valores (, ) é solução desse sistema, se for solução das duas equações. º eemplo) Encontre a solução do sistema 7 Há várias formas de se obter a solução de um sistema de equações, mostraremos uma forma baseada em determinantes. O valor de que satisfaz o sistema é dado por: determinante da matriz de determinante da matriz incompleta E o valor de que satisfaz o sistema é dado por: determinante da matriz de determinante da matriz incompleta Passemos a construir a matriz de, de e a matriz incompleta, e também calcular os seus determinantes. matriz incompleta determinante (-) matriz de 7 determinante 7 (-) 9 forma matricial
16 6 matriz de 7 determinante 7 Calculados os determinantes, já temos condições de obter os valores das incógnitas: determinante da matriz de 9 determinante da matriz incompleta determinante da matriz de determinante da matriz incompleta Resposta: uma única solução:(, ) Sistema Possível e Determinado! º eemplo) Encontre a solução do sistema 6 Passemos a construir a matriz de, de e a matriz incompleta, e também calcular os seus determinantes. matriz incompleta determinante (-6) (-) 6 matriz de determinante (-) (-) matriz de 6 determinante (-) (-6) Calculados os determinantes, já temos condições de obter os valores das incógnitas: determinante da matriz de infinitos valores (indeterminado) determinante da matriz incompleta determinante da matriz de infinitos valores (indeterminado) determinante da matriz incompleta Resposta: eistem infinitos pares (,) que são soluções! Sistema Possível e Indeterminado! Vejamos algumas dessas possíveis soluções! Isolando a incógnita na ª equação (ou na ª equação) obteremos: ( )/ Fazendo, o valor de é: ( )/ (. )/ Fazendo, o valor de é: ( )/ (. )/ 7/ Para cada valor de teremos um, cujos valores são soluções do sistema.
17 7 º eemplo) Encontre a solução do sistema Passemos a construir a matriz de, de e a matriz incompleta, e também calcular os seus determinantes. matriz incompleta determinante (-) (-) matriz de determinante (-) matriz de determinante (-) Obtidos os determinantes, já temos condições de obter os valores das incógnitas: determinante da matriz de não eiste (impossível) determinante da matriz incompleta determinante da matriz de não eiste (impossível) determinante da matriz incompleta Resposta: Não eiste um par (,) que seja solução! Sistema Impossível! Através dos três eemplos resolvidos acima, mostramos as três situações possíveis que podemos encontrar na solução de um sistema linear. Quanto à solução de um sistema linear, temos a seguinte classificação: º) O sistema linear é chamado de possível ou compatível quando admite pelo menos uma solução. Por sua vez, temos: O sistema linear possível é chamado de determinado quando a solução for única; O sistema linear possível é chamado de indeterminado quando houver infinitas soluções. º) O sistema linear é chamado de impossível se não houver solução. Para classificar um sistema quanto ao nº de soluções, utilizaremos a seguinte orientação: ) O sistema será possível e determinado se o determinante da matriz incompleta for diferente de zero. No cálculo das incógnitas (,,...) o determinante da matriz incompleta está no denominador, e se este determinante é diferente de zero, então teremos um único resultado para cada incógnita, e, assim, o sistema será possível e determinado. Veja o º eemplo resolvido acima! ) O sistema será possível e indeterminado se o determinante da matriz incompleta for igual a zero e os determinantes das matrizes das variáveis também forem iguais a zero. Se os determinantes dessas matrizes são iguais a zero, então teremos zero no numerador e no denominador da fórmula de cálculo das incógnitas. Veja o º eemplo resolvido acima!
18 8 ) O sistema será impossível se o determinante da matriz incompleta for igual a zero e pelo menos um dos determinantes das matrizes das variáveis for diferente de zero. Na fórmula de cálculo de uma incógnita, se o numerador é diferente de zero, mas o denominador é igual a zero, então não eistirá valor para essa incógnita, e, consequentemente, não eistirá solução para o sistema. Veja o º eemplo resolvido acima! Obs.: Um sistema linear homogêneo (termos independentes iguais a zero) é sempre possível. Se o sistema linear homogêneo for possível e determinado apresentará apenas uma solução (a solução nula, também chamada de solução trivial ou imprópria), e se for possível e indeterminado apresentará além da solução nula, outras soluções não nulas, também chamadas de soluções próprias. Eemplos de sistemas lineares homogêneos: ) ) z z z EXEMPLOS RESOLVIDOS DE SISTEMAS LINEARES:. (TFC SFC ) Um sistema de equações lineares é chamado possível ou compatível quando admite pelo menos uma solução, e é chamado de determinado quando a solução for única e de indeterminado quando houver infinitas soluções. A partir do sistema formado pelas equações, X - Y e X WY Z, pode-se afirmar que se W - e Z, então o sistema é: a) impossível e determinado b) impossível ou determinado c) impossível e indeterminado d) possível e determinado e) possível e indeterminado Sol.: No início do enunciado da questão se faz uma conceituação do que é sistema possível, impossível, determinado e indeterminado, que pode nos ajudar caso esqueçamos esses conceitos no momento da prova. Mas é melhor memorizarmos esses conceitos, pois não podemos contar que isso sempre vai ocorrer! O enunciado fornece duas equações: ª) X Y ª) X WY Z Se substituirmos os valores de W- e de Z na segunda equação, obteremos: ª) X Y O sistema linear formado pelas duas equações é o seguinte: Passemos a construir a matriz de, de e a matriz incompleta, e também calcular os seus determinantes.
19 9 matriz incompleta determinante (-) (-) matriz de determinante (-) (-) matriz de determinante Obtidos os determinantes, já temos condições de obter os valores das incógnitas: determinante da matriz de infinitos valores (indeterminado) determinante da matriz incompleta determinante da matriz de infinitos valores (indeterminado) determinante da matriz incompleta Resposta: eistem infinitos pares (,) que são soluções! Sistema Possível e Indeterminado!. (Técnico MPU Administrativa ESAF) Um sistema de equações lineares é chamado possível ou compatível quando admite pelo menos uma solução; é chamado de determinado quando a solução for única, e é chamado de indeterminado quando houver infinitas soluções. ma mb a mb Assim, sobre o sistema formado pelas equações em que a e b são as incógnitas, é correto afirmar que a) se m e a, qualquer valor de b satisfaz o sistema. b) se m, o sistema é impossível. c) se m6, o sistema é indeterminado. d) se m e a, qualquer valor de b satisfaz o sistema. e) se m e m 6, o sistema é possível e determinado. Sol.: - A classificação de um sistema linear é dada por: sistema linear - E lembrem-se que: possível impossível (nenhuma solução) determinado (uma única solução) indeterminado (infinitas soluções) ) O sistema será possível e determinado se o determinante da matriz incompleta for diferente de zero. ) O sistema será possível e indeterminado se o determinante da matriz incompleta for igual a zero e os determinantes das matrizes das variáveis também forem iguais a zero.
20 ) O sistema será impossível se o determinante da matriz incompleta for igual a zero e pelo menos um dos determinantes das matrizes das variáveis for diferente de zero. - Inicialmente encontraremos o determinante da matriz incompleta: A matriz incompleta é retirada a partir do sistema de equações. ma mb a mb m m matriz incompleta do sistema m Determinante da matriz incompleta: m m determinante de m.m.m m 6m m Vamos analisar para que valores de m o sistema é possível e determinado: O determinante da matriz incompleta deve ser diferente de zero! m 6m m(m-6) m e m 6 m 6 Para que m(m-6) seja diferente de zero é necessário que se tenha m e m 6. Ou seja, se m e m 6, então o sistema é possível e determinado! Acabamos de achar a solução da questão, veja o item e: e) se m e m 6, o sistema é possível e determinado. Resposta: Alternativa E! Para aprendermos mais sobre sistemas lineares, veremos outras análises. Analisaremos para que valores de m o sistema será impossível e que será possível e indeterminado: Temos que o determinante da matriz incompleta é igual a: m 6m Calcularemos os determinantes da matriz de e de : matriz de m m determinante m m -m matriz de m determinante m m Consideremos que o determinante da matriz incompleta é igual a zero:
21 m 6m m(m-6) m ou m 6 m 6 Para que m(m-6) seja igual a zero é necessário que se tenha m ou m6. O que acontece com os determinantes das matrizes de e de quando m? determinante da matriz -m - zero determinante da matriz m zero O que acontece com os determinantes das matrizes de e de quando m6? Em suma: determinante da matriz -m determinante da matriz m 6 Se m teremos: o determinante da matriz incompleta é igual a zero! o determinante da matriz de é igual a zero! o determinante da matriz de é igual a zero! Concluímos, se m, o sistema é possível e determinado! Se m6 teremos: o determinante da matriz incompleta é igual a zero! o determinante da matriz de é diferente de zero! o determinante da matriz de é diferente de zero! Concluímos, se m6, o sistema é impossível! Como já dissemos, esta aula encerra os assuntos de Matrizes e Determinantes. Estes assuntos são muito importantes e sempre tem questões presentes nos concursos. Seguem as questões do Dever de Casa. É importante, como sempre frisamos, que vocês façam o possível para tentar resolver essas questões! Atenção, repetimos três questões do dever de casa passado, pois queremos que vocês utilizem as propriedades dos determinantes para resolvê-las. Um forte abraço a todos! E fiquem com Deus! DEVER DE CASA. (AFC/97) Considerando-se as matrizes A e B. A soma dos elementos da diagonal principal da matriz D, definida como produto da matriz transposta de A pela matriz inversa de B, é igual a: a) - b) - c) I d) e)
22 . (SERPRO 997) Uma matriz quadrada A, de terceira ordem, possui determinante igual a. O determinante da matriz A é igual a: a) b) c) d) e) 8. (MPOG ) A transposta de uma matriz qualquer é aquela que se obtém trocando linhas por colunas. Sabendo-se que uma matriz quadrada de segunda ordem possui determinante igual a, então o determinante do dobro de sua matriz transposta é igual a: a) b) / c) d) 8 e). (AFC-STN-) Uma matriz quadrada X de terceira ordem possui determinante igual a. Sabendo-se que a matriz Z é a transposta da matriz X, então a matriz Y Z tem determinante igual a a) / b) c) 9 d) 7 e) 8. (Oficial de Chancelaria ) Dada a matriz: X e sabendo que o determinante de sua matriz inversa é igual a /, então o valor de X é igual a: a) - b) c) / d) e) 6. (BNB FCC) Dadas as matrizes a b c a A e B b, 6 c de determinantes não nulos, para quaisquer valores de a, b e c, temos A. det(a) det(b) B. det(b).det(a) C. det(a).det(b) D. det(a).det(b) E. det(a) det(b) 7. (SERPRO 996) As matrizes: X 6, Y 6 e Z 6 7 apresentam, respectivamente, determinantes iguais a: a), e b), e c), e d), e e) -, - e -
23 8. (Analista MPU Administrativa ESAF) Sabendo-se que a matriz A e que n Ν e n então o determinante da matriz A n A n- é igual a a) d) n b) - e) n- c) 9. (Téc. MPU Controle Interno ESAF) 6- Considere as matrizes a X 6 ; Y b 6 7 c onde os elementos a, b e c são números naturais diferentes de zero. Então, o determinante do produto das matrizes X e Y é igual a a). d) ab. b) a. e) ac. c) abc.. (Gestor Fazendário MG ESAF) Considere duas matrizes de segunda ordem, A e B, sendo que B / A. Sabendo que o determinante de A é igual a -/, então o determinante da matriz B é igual a: a) / d) / b) e) c) /. (AFRE MG ESAF) A, B e C são matrizes quadradas de mesma ordem, não singulares e diferentes da matriz identidade. A matriz C é igual ao produto A Z B, onde Z é também uma matriz quadrada. A matriz Z, portanto, é igual a: a) A - B C d) A B C - b) A C - B - e) C - B - A - c) A - C B -. (AFC/STN ESAF) Considere duas matrizes quadradas de terceira ordem, A e B. A primeira, a segunda e a terceira colunas da matriz B são iguais, respectivamente, à terceira, à segunda e à primeira colunas da matriz A. Sabendo-se que o determinante de A é igual a, então o produto entre os determinantes das matrizes A e B é igual a: a) -6 d) b) 6 e) c). (Analista MPU Administrativa ESAF) Com relação ao sistema incógnitas e, é correto afirmar que o sistema a) tem solução não trivial para uma infinidade de valores de a. b) tem solução não trivial para dois e somente dois valores distintos de a. c) tem solução não trivial para um único valor real de a. d) tem somente a solução trivial para todo valor de a. e) é impossível para qualquer valor real de a. a a. Encontre os valores de a para que o sistema seja possível e determinado, possível e indeterminado e impossível. a a a de
UNIVERSIDADE FEDERAL DO ESPÍRITO SANTO PROGRAMA DE EDUCAÇÃO TUTORIAL - MATEMÁTICA PROJETO FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA ELEMENTAR
UNIVERSIDADE FEDERAL DO ESPÍRITO SANTO PROGRAMA DE EDUCAÇÃO TUTORIAL - MATEMÁTICA PROJETO FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA ELEMENTAR Assuntos: Matrizes; Matrizes Especiais; Operações com Matrizes; Operações Elementares
5 Equacionando os problemas
A UA UL LA Equacionando os problemas Introdução Nossa aula começará com um quebra- cabeça de mesa de bar - para você tentar resolver agora. Observe esta figura feita com palitos de fósforo. Mova de lugar
Por que o quadrado de terminados em 5 e ta o fa cil? Ex.: 15²=225, 75²=5625,...
Por que o quadrado de terminados em 5 e ta o fa cil? Ex.: 15²=225, 75²=5625,... 0) O que veremos na aula de hoje? Um fato interessante Produtos notáveis Equação do 2º grau Como fazer a questão 5 da 3ª
Exercícios Teóricos Resolvidos
Universidade Federal de Minas Gerais Instituto de Ciências Exatas Departamento de Matemática Exercícios Teóricos Resolvidos O propósito deste texto é tentar mostrar aos alunos várias maneiras de raciocinar
E A D - S I S T E M A S L I N E A R E S INTRODUÇÃO
E A D - S I S T E M A S L I N E A R E S INTRODUÇÃO Dizemos que uma equação é linear, ou de primeiro grau, em certa incógnita, se o maior expoente desta variável for igual a um. Ela será quadrática, ou
x0 = 1 x n = 3x n 1 x k x k 1 Quantas são as sequências com n letras, cada uma igual a a, b ou c, de modo que não há duas letras a seguidas?
Recorrências Muitas vezes não é possível resolver problemas de contagem diretamente combinando os princípios aditivo e multiplicativo. Para resolver esses problemas recorremos a outros recursos: as recursões
Só Matemática O seu portal matemático http://www.somatematica.com.br FUNÇÕES
FUNÇÕES O conceito de função é um dos mais importantes em toda a matemática. O conceito básico de função é o seguinte: toda vez que temos dois conjuntos e algum tipo de associação entre eles, que faça
Exercícios 1. Determinar x de modo que a matriz
setor 08 080509 080509-SP Aula 35 MATRIZ INVERSA Uma matriz quadrada A de ordem n diz-se invertível, ou não singular, se, e somente se, existir uma matriz que indicamos por A, tal que: A A = A A = I n
a 1 x 1 +... + a n x n = b,
Sistemas Lineares Equações Lineares Vários problemas nas áreas científica, tecnológica e econômica são modelados por sistemas de equações lineares e requerem a solução destes no menor tempo possível Definição
O ESPAÇO NULO DE A: RESOLVENDO AX = 0 3.2
3.2 O Espaço Nulo de A: Resolvendo Ax = 0 11 O ESPAÇO NULO DE A: RESOLVENDO AX = 0 3.2 Esta seção trata do espaço de soluções para Ax = 0. A matriz A pode ser quadrada ou retangular. Uma solução imediata
Sistemas Lineares. Módulo 3 Unidade 10. Para início de conversa... Matemática e suas Tecnologias Matemática
Módulo 3 Unidade 10 Sistemas Lineares Para início de conversa... Diversos problemas interessantes em matemática são resolvidos utilizando sistemas lineares. A seguir, encontraremos exemplos de alguns desses
A equação do 2º grau
A UA UL LA A equação do 2º grau Introdução Freqüentemente, ao equacionarmos um problema, obtemos uma equação na qual a incógnita aparece elevada ao quadrado. Estas são as chamadas equações do 2º grau.
Matemática - UEL - 2010 - Compilada em 18 de Março de 2010. Prof. Ulysses Sodré Matemática Essencial: http://www.mat.uel.
Matemática Essencial Equações do Segundo grau Conteúdo Matemática - UEL - 2010 - Compilada em 18 de Março de 2010. Prof. Ulysses Sodré Matemática Essencial: http://www.mat.uel.br/matessencial/ 1 Introdução
[a11 a12 a1n 4. SISTEMAS LINEARES 4.1. CONCEITO. Um sistema de equações lineares é um conjunto de equações do tipo
4. SISTEMAS LINEARES 4.1. CONCEITO Um sistema de equações lineares é um conjunto de equações do tipo a 11 x 1 + a 12 x 2 +... + a 1n x n = b 1 a 11 x 1 + a 12 x 2 +... + a 1n x n = b 2... a n1 x 1 + a
GAAL - 2013/1 - Simulado - 1 Vetores e Produto Escalar
GAAL - 201/1 - Simulado - 1 Vetores e Produto Escalar SOLUÇÕES Exercício 1: Determinar os três vértices de um triângulo sabendo que os pontos médios de seus lados são M = (5, 0, 2), N = (, 1, ) e P = (4,
Álgebra Linear. Mauri C. Nascimento Departamento de Matemática UNESP/Bauru. 19 de fevereiro de 2013
Álgebra Linear Mauri C. Nascimento Departamento de Matemática UNESP/Bauru 19 de fevereiro de 2013 Sumário 1 Matrizes e Determinantes 3 1.1 Matrizes............................................ 3 1.2 Determinante
MATEMÁTICA. Aula 1 Revisão. Prof. Anderson
MATEMÁTICA Aula 1 Revisão Prof. Anderson Assuntos Equação do 1º grau com uma variável. Sistemas de equações do 1º grau com duas variáveis. Equação do º grau com uma variável. Equação do 1º grau com uma
UNIV ERSIDADE DO EST ADO DE SANT A CAT ARINA UDESC CENT RO DE CI ^ENCIAS T ECNOLOGICAS DEP ART AMENT O DE MAT EMAT ICA DMAT
UNIV ERSIDADE DO EST ADO DE SANT A CAT ARINA UDESC CENT RO DE CI ^ENCIAS T ECNOLOGICAS CCT DEP ART AMENT O DE MAT EMAT ICA DMAT Professora Graciela Moro Exercícios sobre Matrizes, Determinantes e Sistemas
Todos os exercícios sugeridos nesta apostila se referem ao volume 1. MATEMÁTICA I 1 FUNÇÃO DO 1º GRAU
FUNÇÃO IDENTIDADE... FUNÇÃO LINEAR... FUNÇÃO AFIM... GRÁFICO DA FUNÇÃO DO º GRAU... IMAGEM... COEFICIENTES DA FUNÇÃO AFIM... ZERO DA FUNÇÃO AFIM... 8 FUNÇÕES CRESCENTES OU DECRESCENTES... 9 SINAL DE UMA
Conhecendo um pouco de matrizes e determinantes
Módulo 3 Unidade 29 Conhecendo um pouco de matrizes e determinantes Para início de conversa... Frequentemente em jornais, revistas e também na Internet encontramos informações numéricas organizadas na
Introdução MATRIZES. O que vocês acham? Onde podemos usar Matrizes além dos estudos de matemática?
PROBBILIDDES Professora Rosana Relva Números Inteiros e Racionais Introdução rrelva@globo.com O crescente uso dos computadores tem feito com que a teoria das matrizes seja cada vez mais aplicada. Onde
Capítulo 1. x > y ou x < y ou x = y
Capítulo Funções, Plano Cartesiano e Gráfico de Função Ao iniciar o estudo de qualquer tipo de matemática não podemos provar tudo. Cada vez que introduzimos um novo conceito precisamos defini-lo em termos
SISTEMAS LINEARES CONCEITOS
SISTEMAS LINEARES CONCEITOS Observemos a equação. Podemos perceber que ela possui duas incógnitas que são representadas pelas letras x e y. Podemos também notar que se e, a igualdade se torna verdadeira,
Título: Sistemas Lineares no CAp UFRJ: Interpretações Algébrica e Gráfica
Autor Letícia Guimarães Rangel Co-autor(es): Fernando Celso Villar Marinho Lílian Káram Parente Cury Spiller Rita Maria Cardoso Meirelles Tipo de Pesquisa Ensino Médio Números e Operações Componente Curricular
Nesta aula iremos continuar com os exemplos de revisão.
Capítulo 8 Nesta aula iremos continuar com os exemplos de revisão. 1. Exemplos de revisão Exemplo 1 Ache a equação do círculo C circunscrito ao triângulo de vértices A = (7, 3), B = (1, 9) e C = (5, 7).
Soluções Nível 1 5 a e 6 a séries (6º e 7º anos) do Ensino Fundamental
a e 6 a séries (6º e 7º anos) do Ensino Fundamental 1. (alternativa C) Os números 0,01 e 0,119 são menores que 0,12. Por outro lado, 0,1 e 0,7 são maiores que 0,. Finalmente, 0,29 é maior que 0,12 e menor
MATRIZES Matriz quadrada Matriz linha e matriz coluna Matriz diagonal Matriz identidade
MATRIZES Matriz quadrada matriz quadrada de ordem. diagonal principal matriz quadrada de ordem. - 7 9 diagonal principal diagonal secundária Matriz linha e matriz coluna [ ] colunas). (linha e matriz linha
R é o conjunto dos reais; f : A B, significa que f é definida no conjunto A (domínio - domain) e assume valores em B (contradomínio range).
f : A B, significa que f é definida no conjunto A (domínio - domain) e assume valores em B (contradomínio range). R é o conjunto dos reais; R n é o conjunto dos vetores n-dimensionais reais; Os vetores
Bem, produto interno serve para determinar ângulos e distâncias entre vetores e é representado por produto interno de v com w).
Produto Interno INTRODUÇÃO Galera, vamos aprender agora as definições e as aplicações de Produto Interno. Essa matéria não é difícil, mas para ter segurança nela é necessário que o aluno tenha certa bagagem
Soluções das Questões de Matemática do Processo Seletivo de Admissão ao Colégio Naval PSACN
Soluções das Questões de Matemática do Processo Seletivo de Admissão ao Colégio Naval PSACN Questão Concurso 00 Seja ABC um triângulo com lados AB 5, AC e BC 8. Seja P um ponto sobre o lado AC, tal que
Equações do segundo grau
Módulo 1 Unidade 4 Equações do segundo grau Para início de conversa... Nesta unidade, vamos avançar um pouco mais nas resoluções de equações. Na unidade anterior, você estudou sobre as equações de primeiro
MATERIAL MATEMÁTICA I
MATERIAL DE MATEMÁTICA I CAPÍTULO I REVISÃO Curso: Administração 1 1. Revisão 1.1 Potência de Epoente Inteiro Seja a um número real e m e n números inteiros positivos. Podemos observar as seguintes propriedades
Material Teórico - Módulo de Divisibilidade. MDC e MMC - Parte 1. Sexto Ano. Prof. Angelo Papa Neto
Material Teórico - Módulo de Divisibilidade MDC e MMC - Parte 1 Sexto Ano Prof. Angelo Papa Neto 1 Máximo divisor comum Nesta aula, definiremos e estudaremos métodos para calcular o máximo divisor comum
Resposta Transitória de Circuitos com Elementos Armazenadores de Energia
ENG 1403 Circuitos Elétricos e Eletrônicos Resposta Transitória de Circuitos com Elementos Armazenadores de Energia Guilherme P. Temporão 1. Introdução Nas últimas duas aulas, vimos como circuitos com
Potenciação no Conjunto dos Números Inteiros - Z
Rua Oto de Alencar nº 5-9, Maracanã/RJ - tel. 04-98/4-98 Potenciação no Conjunto dos Números Inteiros - Z Podemos epressar o produto de quatro fatores iguais a.... por meio de uma potência de base e epoente
Equações do primeiro grau
Módulo 1 Unidade 3 Equações do primeiro grau Para início de conversa... Você tem um telefone celular ou conhece alguém que tenha? Você sabia que o telefone celular é um dos meios de comunicação que mais
9. Derivadas de ordem superior
9. Derivadas de ordem superior Se uma função f for derivável, então f é chamada a derivada primeira de f (ou de ordem 1). Se a derivada de f eistir, então ela será chamada derivada segunda de f (ou de
Dicas para a 6 a Lista de Álgebra 1 (Conteúdo: Homomorfismos de Grupos e Teorema do Isomorfismo para grupos) Professor: Igor Lima.
Dicas para a 6 a Lista de Álgebra 1 (Conteúdo: Homomorfismos de Grupos e Teorema do Isomorfismo para grupos) Professor: Igor Lima. 1 /2013 Para calcular Hom(G 1,G 2 ) ou Aut(G) vocês vão precisar ter em
Simulado OBM Nível 2
Simulado OBM Nível 2 Gabarito Comentado Questão 1. Quantos são os números inteiros x que satisfazem à inequação? a) 13 b) 26 c) 38 d) 39 e) 40 Entre 9 e 49 temos 39 números inteiros. Questão 2. Hoje é
PROPRIEDADES DOS DETERMINANTES E O CÁLCULO DA ÁREA DE TRIÂN- GULOS: EXEMPLOS SIGNIFICATIVOS
A RTIGO PROPRIEDADES DOS DETERMINANTES E O CÁLCULO DA ÁREA DE TRIÂN- GULOS: EXEMPLOS SIGNIFICATIVOS Fábio Marson Ferreira e Walter Spinelli Professores do Colégio Móbile, São Paulo Recentemente nos desafiamos
Análise e Resolução da prova de Auditor Fiscal da Fazenda Estadual do Piauí Disciplina: Matemática Financeira Professor: Custódio Nascimento
Análise e Resolução da prova de Auditor Fiscal da Fazenda Estadual do Piauí Disciplina: Professor: Custódio Nascimento 1- Análise da prova Neste artigo, faremos a análise das questões de cobradas na prova
Considerando-se a expressão trigonométrica x = 1 + cos 30, um dos possíveis produtos que a representam é igual a
Comentadas pelo professor: Vinicius Werneck Raciocínio Lógico 1- Prova: ESAF - 2012 - Receita Federal - Auditor Fiscal da Receita Federal Sabendo-se que o conjunto X é dado por X = {x R x² 9 = 0 ou 2x
Sistemas Lineares. 2. (Ufsj 2013) Considere o seguinte sistema de equações lineares, nas incógnitas x, y e z:
Sistemas Lineares 1. (Unesp 2013) Uma coleção de artrópodes é formada por 36 exemplares, todos eles íntegros e que somam, no total da coleção, 113 pares de patas articuladas. Na coleção não há exemplares
Este material traz a teoria necessária à resolução das questões propostas.
Inclui Teoria e Questões Inteiramente Resolvidas dos assuntos: Contagem: princípio aditivo e multiplicativo. Arranjo. Permutação. Combinação simples e com repetição. Lógica sentencial, de primeira ordem
13 ÁLGEBRA Uma balança para introduzir os conceitos de Equação do 1ºgrau
MATEMATICA 13 ÁLGEBRA Uma balança para introduzir os conceitos de Equação do 1ºgrau ORIENTAÇÃO PARA O PROFESSOR OBJETIVO O objetivo desta atividade é trabalhar com as propriedades de igualdade, raízes
Matemática - UEL - 2010 - Compilada em 18 de Março de 2010. Prof. Ulysses Sodré Matemática Essencial: http://www.mat.uel.
Matemática Essencial Equações do Primeiro grau Matemática - UEL - 2010 - Compilada em 18 de Março de 2010. Prof. Ulysses Sodré Matemática Essencial: http://www.mat.uel.br/matessencial/ Resumo: Notas de
Capítulo 7 Medidas de dispersão
Capítulo 7 Medidas de dispersão Introdução Para a compreensão deste capítulo, é necessário que você tenha entendido os conceitos apresentados nos capítulos 4 (ponto médio, classes e frequência) e 6 (média).
Universidade Estadual de Santa Cruz. Departamento de Ciências Exatas e Tecnológicas. Especialização em Matemática. Disciplina: Estruturas Algébricas
1 Universidade Estadual de Santa Cruz Departamento de Ciências Exatas e Tecnológicas Especialização em Matemática Disciplina: Estruturas Algébricas Profs.: Elisangela S. Farias e Sérgio Motta Operações
RESUMO TEÓRICO. Operações Elementares não alteram a solução de um sistema e fazem parte dos processos de busca de tal solução.
RESUMO TEÓRICO IDÉIAS DOS CONCEITOS: Sistemas Lineares como composição de várias equações lineares, que devem ser satisfeitas simultaneamente. De um modo geral, tais equações modelam restrições encontradas
Erros. Número Aproximado. Erros Absolutos erelativos. Erro Absoluto
Erros Nenhum resultado obtido através de cálculos eletrônicos ou métodos numéricos tem valor se não tivermos conhecimento e controle sobre os possíveis erros envolvidos no processo. A análise dos resultados
Unidade II - Sistemas de Equações Lineares
Unidade II - Sistemas de Equações Lineares 1- Situando a Temática Discutiremos agora um dos mais importantes temas da matemática: Sistemas de Equações Lineares Trata-se de um tema que tem aplicações dentro
Construção de tabelas verdades
Construção de tabelas verdades Compreender a Lógica como instrumento da ciência e como estrutura formal do pensamento, conhecendo e compreendendo as operações com os principais conceitos proposicionais
A trigonometria do triângulo retângulo
A UA UL LA A trigonometria do triângulo retângulo Introdução Hoje vamos voltar a estudar os triângulos retângulos. Você já sabe que triângulo retângulo é qualquer triângulo que possua um ângulo reto e
Sérgio Carvalho Matemática Financeira Simulado 02 Questões FGV
Sérgio Carvalho Matemática Financeira Simulado 02 Questões FGV Simulado 02 de Matemática Financeira Questões FGV 01. Determine o valor atual de um título descontado (desconto simples por fora) dois meses
COLÉGIO ETIP NIVELAMENTO BÁSICO DE MATEMÁTICA ENSINO MÉDIO INTEGRADO À INFORMÁTICA PROFESSOR RUBENS SOARES
COLÉGIO ETIP NIVELAMENTO BÁSICO DE MATEMÁTICA ENSINO MÉDIO INTEGRADO À INFORMÁTICA PROFESSOR RUBENS SOARES SANTO ANDRÉ 2012 MEDIDAS DE SUPERFÍCIES (ÁREA): No sistema métrico decimal, devemos lembrar que,
EQUAÇÕES E INEQUAÇÕES DE 1º GRAU
1 EQUAÇÕES E INEQUAÇÕES DE 1º GRAU Equação do 1º grau Chamamos de equação do 1º grau em uma incógnita x, a qualquer expressão matemática que pode ser escrita sob a forma: em que a e b são números reais,
Sistema de Numeração e Aritmética Básica
1 Sistema de Numeração e Aritmética Básica O Sistema de Numeração Decimal possui duas características importantes: ele possui base 10 e é um sistema posicional. Na base 10, dispomos de 10 algarismos para
3.400 17. ( ) 100 3400 6000, L x x. L x x x. (17) 34 60 Lx ( ) 17 34 17 60 L(17) 289 578 60 L(17) 289 638 L(17) 349 40 40 70.40 40 1.
REDE ISAAC NEWTON ENSINO MÉDIO 3º ANO PROFESSOR(A):LUCIANO IEIRA DATA: / / TURMA: ALUNO(A): Nº: UNIDADE: ( ) Riacho Fundo ( ) Taguatinga Sul EXERCÍCIOS DE REISÃO - AALIAÇÃO ESPECÍFICA 3º TRIMESTRE 01 MATEMÁTICA
Resolução da Prova da Escola Naval 2009. Matemática Prova Azul
Resolução da Prova da Escola Naval 29. Matemática Prova Azul GABARITO D A 2 E 2 E B C 4 D 4 C 5 D 5 A 6 E 6 C 7 B 7 B 8 D 8 E 9 A 9 A C 2 B. Os 6 melhores alunos do Colégio Naval submeteram-se a uma prova
Resolução de sistemas lineares
Resolução de sistemas lineares J M Martínez A Friedlander 1 Alguns exemplos Comecemos mostrando alguns exemplos de sistemas lineares: 3x + 2y = 5 x 2y = 1 (1) 045x 1 2x 2 + 6x 3 x 4 = 10 x 2 x 5 = 0 (2)
MESTRADO EM MACROECONOMIA e FINANÇAS Disciplina de Computação. Aula 04. Prof. Dr. Marco Antonio Leonel Caetano
MESTRADO EM MACROECONOMIA e FINANÇAS Disciplina de Computação Aula 04 Prof. Dr. Marco Antonio Leonel Caetano Guia de Estudo para Aula 04 Aplicação de Produto Escalar - Interpretação do produto escalar
Contagem I. Figura 1: Abrindo uma Porta.
Polos Olímpicos de Treinamento Curso de Combinatória - Nível 2 Prof. Bruno Holanda Aula 4 Contagem I De quantos modos podemos nos vestir? Quantos números menores que 1000 possuem todos os algarismos pares?
SUMÁRIO 1. AULA 6 ENDEREÇAMENTO IP:... 2
SUMÁRIO 1. AULA 6 ENDEREÇAMENTO IP:... 2 1.1 Introdução... 2 1.2 Estrutura do IP... 3 1.3 Tipos de IP... 3 1.4 Classes de IP... 4 1.5 Máscara de Sub-Rede... 6 1.6 Atribuindo um IP ao computador... 7 2
Geometria Área de Quadriláteros
ENEM Geometria Área de Quadriláteros Wallace Alves da Silva DICAS MATEMÁTICAS [Escolha a data] Áreas de quadriláteros Olá Galera, 1 QUADRILÁTEROS Quadrilátero é um polígono com quatro lados. A soma dos
[ \ x Recordemos o caso mais simples de um VLVWHPD de duas HTXDo}HVOLQHDUHV nas duas LQFyJQLWDV [ e \.
&DStWXOR±6LVWHPDVGH(TXDo}HV/LQHDUHV1 &DStWXOR±6LVWHPDVGH(TXDo}HV/LQHDUHV Å 1Ro}HV *HUDLV Recordemos o caso mais simples de um VLVWHPD de duas HTXDo}HVOLQHDUHV nas duas LQFyJQLWDV [ e \. [\ [\ É fácil verificar
CURSO ON-LINE PROFESSOR GUILHERME NEVES 1
CURSO ON-LINE PROFESSOR GUILHERME NEVES 1 Olá pessoal! Resolverei neste ponto a prova de Matemática e Estatística para Técnico Administrativo para o BNDES 2008 organizado pela CESGRANRIO. Sem mais delongas,
REVISÃO E AVALIAÇÃO DA MATEMÁTICA
2 Aula 45 REVISÃO E AVALIAÇÃO DA 3 Vídeo Arredondamento de números. 4 Arredondamento de números Muitas situações cotidianas envolvendo valores destinados à contagem, podem ser facilitadas utilizando o
CÁLCULO DE ZEROS DE FUNÇÕES REAIS
15 CÁLCULO DE ZEROS DE FUNÇÕES REAIS Um dos problemas que ocorrem mais frequentemente em trabalhos científicos é calcular as raízes de equações da forma: f() = 0. A função f() pode ser um polinômio em
Revisão de combinatória
A UA UL LA Revisão de combinatória Introdução Nesta aula, vamos misturar os vários conceitos aprendidos em análise combinatória. Desde o princípio multiplicativo até os vários tipos de permutações e combinações.
Solução da prova da 1 a fase OBMEP 2008 Nível 1
OBMEP 00 Nível 1 1 QUESTÃO 1 Como Leonardo da Vinci nasceu 91 anos antes de Pedro Américo, ele nasceu no ano 14 91 = 145. Por outro lado, Portinari nasceu 451 anos depois de Leonardo da Vinci, ou seja,
2. MÓDULO DE UM NÚMERO REAL
18 2. MÓDULO DE UM NÚMERO REAL como segue: Dado R, definimos o módulo (ou valor absoluto) de, e indicamos por,, se 0 =, se < 0. Interpretação Geométrica O valor absoluto de um número é, na reta, a distância
Conceitos e fórmulas
1 Conceitos e fórmulas 1).- Triângulo: definição e elementos principais Definição - Denominamos triângulo (ou trilátero) a toda figura do plano euclidiano formada por três segmentos AB, BC e CA, tais que
Princípio da Casa dos Pombos I
Programa Olímpico de Treinamento Curso de Combinatória - Nível 2 Prof. Bruno Holanda Aula 7 Princípio da Casa dos Pombos I O princípio da casa dos pombos também é conhecido em alguns países (na Rússia,
FUNÇÃO DO 1º GRAU. Vamos iniciar o estudo da função do 1º grau, lembrando o que é uma correspondência:
FUNÇÃO DO 1º GRAU Vamos iniciar o estudo da função do 1º grau, lembrando o que é uma correspondência: Correspondência: é qualquer conjunto de pares ordenados onde o primeiro elemento pertence ao primeiro
Um sistema de equações lineares (sistema linear) é um conjunto finito de equações lineares da forma:
Sistemas Lineares Um sistema de equações lineares (sistema linear) é um conjunto finito de equações lineares da forma: s: 2 3 6 a) 5 2 3 7 b) 9 2 3 Resolução de sistemas lineares Metodo da adição 4 100
CURSO ONLINE RACIOCÍNIO LÓGICO. AULA ONZE: Análise Combinatória (Parte II)
1 AULA ONZE: Análise Combinatória (Parte II) Olá, amigos! Tudo bem com vocês? Esta é nossa décima primeira aula, e ainda sequer chegamos à metade de nosso curso! Longo é o caminho do Raciocínio Lógico...
N1Q1 Solução. a) Há várias formas de se cobrir o tabuleiro usando somente peças do tipo A; a figura mostra duas delas.
1 N1Q1 Solução a) Há várias formas de se cobrir o tabuleiro usando somente peças do tipo A; a figura mostra duas delas. b) Há várias formas de se cobrir o tabuleiro com peças dos tipos A e B, com pelo
Ivan Guilhon Mitoso Rocha. As grandezas fundamentais que serão adotadas por nós daqui em frente:
Rumo ao ITA Física Análise Dimensional Ivan Guilhon Mitoso Rocha A análise dimensional é um assunto básico que estuda as grandezas físicas em geral, com respeito a suas unidades de medida. Como as grandezas
Matemática Financeira Módulo 2
Fundamentos da Matemática O objetivo deste módulo consiste em apresentar breve revisão das regras e conceitos principais de matemática. Embora planilhas e calculadoras financeiras tenham facilitado grandemente
Soluções de Questões de Matemática do Centro Federal de Educação Tecnológica Celso Suckow da Fonseca CEFET/RJ
Soluções de Questões de Matemática do Centro Federal de Educação Tecnológica Celso Suckow da Fonseca CEFET/RJ. Questão Sistemas de Numeração No sistema de numeração de base 2, o numeral mais simples de
Objetivos. Apresentar as superfícies regradas e superfícies de revolução. Analisar as propriedades que caracterizam as superfícies regradas e
MÓDULO 2 - AULA 13 Aula 13 Superfícies regradas e de revolução Objetivos Apresentar as superfícies regradas e superfícies de revolução. Analisar as propriedades que caracterizam as superfícies regradas
Associação de resistores
Associação de resistores É comum nos circuitos elétricos a existência de vários resistores, que encontram-se associados. Os objetivos de uma associação de resistores podem ser: a necessidade de dividir
Equacionando problemas - II
A UA UL LA Equacionando problemas - II Introdução Nossa aula Nas duas últimas aulas, resolvemos diversas equações do º grau pelo processo de completar o quadrado perfeito ou pela utilização da fórmula
Análise e Resolução da prova do ISS-Cuiabá Disciplina: Matemática Financeira Professor: Custódio Nascimento
Disciplina: Professor: Custódio Nascimento 1- Análise da prova Análise e Resolução da prova do ISS-Cuiabá Neste artigo, farei a análise das questões de cobradas na prova do ISS-Cuiabá, pois é uma de minhas
Estabilidade. Carlos Alexandre Mello. Carlos Alexandre Mello cabm@cin.ufpe.br 1
Estabilidade Carlos Alexandre Mello 1 Introdução Já vimos que existem três requisitos fundamentais para projetar um sistema de controle: Resposta Transiente Estabilidade Erros de Estado Estacionário Estabilidade
QUESTÕES de 01 a 08 INSTRUÇÃO: Assinale as proposições verdadeiras, some os números a elas associados e marque o resultado na Folha de Respostas.
Resolução por Maria Antônia Conceição Gouveia da Prova de Matemática _ Vestibular 5 da Ufba _ 1ª fase QUESTÕES de 1 a 8 INSTRUÇÃO: Assinale as proposições verdadeiras, some os números a elas associados
Programa Olímpico de Treinamento. Aula 9. Curso de Combinatória - Nível 2. Tabuleiros. Prof. Bruno Holanda
Programa Olímpico de Treinamento Curso de Combinatória - Nível Prof. Bruno Holanda Aula 9 Tabuleiros Quem nunca brincou de quebra-cabeça? Temos várias pecinhas e temos que encontrar uma maneira de unir
CURSOS ON-LINE - ESTATÍSTICA BÁSICA CURSO REGULAR PROFESSOR SÉRGIO CARVALHO AULA 02
Olá, amigos! AULA 02 Tudo bem com vocês? E aí, revisaram a aula passada? Espero que sim. Bem como espero que tenham resolvido as questões que ficaram pendentes! A propósito, vamos iniciar nossa aula de
Sérgio Carvalho Matemática Financeira
Sérgio Carvalho Matemática Financeira Resolução Matemática Financeira ICMS-RJ/2008 Parte 02 33. Uma rede de lojas, que atua na venda de eletrônicos, anuncia a venda de notebook da seguinte forma: - R$
Múltiplos Estágios processo com três estágios Inquérito de Satisfação Fase II
O seguinte exercício contempla um processo com três estágios. Baseia-se no Inquérito de Satisfação Fase II, sendo, por isso, essencial compreender primeiro o problema antes de começar o tutorial. 1 1.
QUESTÃO 1 ALTERNATIVA B
1 QUESTÃO 1 Marcos tem 10 0,25 = 2,50 reais em moedas de 25 centavos. Logo ele tem 4,30 2,50 = 1,80 reais em moedas de 10 centavos, ou seja, ele tem 1,80 0,10 = 18 moedas de 10 centavos. Outra maneira
Calcular o montante de um capital de $1.000,00, aplicado à taxa de 4 % ao mês, durante 5 meses.
JUROS COMPOSTOS Capitalização composta é aquela em que a taxa de juros incide sobre o capital inicial, acrescido dos juros acumulados até o período de montante anterior. Neste regime de capitalização a
Álgebra Linear. André Arbex Hallack Frederico Sercio Feitosa
Álgebra Linear André Arbex Hallack Frederico Sercio Feitosa Janeiro/2006 Índice 1 Sistemas Lineares 1 11 Corpos 1 12 Sistemas de Equações Lineares 3 13 Sistemas equivalentes 4 14 Operações elementares
INTRODUÇÃO AO ESTUDO DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS
INTRODUÇÃO AO ESTUDO DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS Terminologia e Definições Básicas No curso de cálculo você aprendeu que, dada uma função y f ( ), a derivada f '( ) d é também, ela mesma, uma função de e
QUADRADO MÁGICO - ORDEM 4
CONCEITO Partindo da definição original, os QUADRADOS MÁGICOS devem satisfazer três condições: a) tabela ou matriz quadrada (número de igual ao número de ); b) domínio: com elementos assumindo valores
INSTITUTO TECNOLÓGICO
PAC - PROGRAMA DE APRIMORAMENTO DE CONTEÚDOS. ATIVIDADES DE NIVELAMENTO BÁSICO. DISCIPLINAS: MATEMÁTICA & ESTATÍSTICA. PROFº.: PROF. DR. AUSTER RUZANTE 1ª SEMANA DE ATIVIDADES DOS CURSOS DE TECNOLOGIA
(a) Encontre o custo total de ações, usando multiplicação de matrizes.
NIVERSIDADE ESTADAL DE SANTA CRZ - ESC DEARTAMENTO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS - DCET ÁLGEBRA LINEAR ASSNTO: MATRIZES EXERCÍCIOS RESOLVIDOS. Suponha que um corretor da Bolsa de Valores faça um pedido
casa. Será uma casa simples, situada em terreno plano, com sala, dois quartos, cozinha, banheiro e área de serviço.
A UUL AL A A casa Nesta aula vamos examinar a planta de uma casa. Será uma casa simples, situada em terreno plano, com, dois quartos, cozinha, banheiro e área de serviço. Introdução terreno 20 m rua 30
Considere um triângulo eqüilátero T 1
Considere um triângulo eqüilátero T de área 6 cm. Unindo-se os pontos médios dos lados desse triângulo, obtém-se um segundo triângulo eqüilátero T, que tem os pontos médios dos lados de T como vértices.
Departamento de Matemática - UEL - 2010. Ulysses Sodré. http://www.mat.uel.br/matessencial/ Arquivo: minimaxi.tex - Londrina-PR, 29 de Junho de 2010.
Matemática Essencial Extremos de funções reais Departamento de Matemática - UEL - 2010 Conteúdo Ulysses Sodré http://www.mat.uel.br/matessencial/ Arquivo: minimaxi.tex - Londrina-PR, 29 de Junho de 2010.