13 ÁLGEBRA Uma balança para introduzir os conceitos de Equação do 1ºgrau

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1 MATEMATICA 13 ÁLGEBRA Uma balança para introduzir os conceitos de Equação do 1ºgrau ORIENTAÇÃO PARA O PROFESSOR OBJETIVO O objetivo desta atividade é trabalhar com as propriedades de igualdade, raízes de uma equação do 1º grau, equações equivalentes, equações do 1º grau com uma e duas incógnitas, e sistemas de equações do 1º grau com duas e três incógnitas. DISCUSSÃO Os materiais utilizados serão: 1 balança e cubos com massas variadas. A classe deverá ser dividida em grupos de 2 a 4 alunos. IMPORTANTE A letra ou o número indicado em cada cubo representa a sua massa. Valores de cada cubo (apenas para professores): Cubos brancos = 20g a = 10g b = 30g c = 40g d = 20g e = 50g x = 20g y = 10g z = 30g v = 40g w = 60g p = 50g q = 30g r = 70g 1- EQUAÇÃO O que é uma equação? Toda sentença matemática expressa por uma igualdade, na qual exista uma ou mais incógnitas, é denominada equação. Exemplos: 2x + 4y = 8 é uma equação com duas incógnitas, x e y. 3z 2 = 7 é uma equação com uma incógnita, z. 2- RAÍZES DE UMA EQUAÇÃO As raízes de uma equação são números que tornam a sentença verdadeira. Por exemplo, considere a seguinte equação: p + 5 = 14 Se substituirmos a incógnita p pelo número 9, teremos: = = 14 E como esta sentença é verdadeira, segue que o número 9 é raiz da equação dada. 1

2 Obs: Conjunto Universo Contém todas as possíveis soluções. Indica-se por U. Conjunto Verdade É o conjunto dos valores de U que tornam verdadeira a equação. Indica-se por V. Podemos determinar a raiz de uma equação com o auxílio da balança. Veja o exemplo a seguir: Exemplo: Considere a equação x + a = b e o seguinte conjunto universo U={a,b,c,d,e}. Utilize a balança para determinar o valor x. Resolução: Coloque os cubos expressos pelo 1º membro da equação em um dos pratos da balança e o cubo expresso pelo 2º membro no outro prato. Como não conhecemos a incógnita x, devemos fazer um teste com cada elemento do nosso conjunto universo. Aquele que deixar a balança em equilíbrio será a solução (raiz) da equação. A resposta deste problema é x = d. Verifique! Exercícios: 1) Utilize a balança para encontrar as raízes das equações abaixo, sendo U={a,b,c,d,e} o conjunto das possíveis soluções. a) t + b = c (Resp: a) b) s = b + d (Resp: e) 2) Sabendo-se que a = 1g e b = 3g, determine as massas c,d e e. (Dica: Utilize as equações anteriores.) (Resp: c=4g, d=2g e e=5g) 3- EQUAÇÕES EQUIVALENTES Duas ou mais equações que apresentam a mesma solução ou raiz são denominadas equações equivalentes. Exemplo: q + 3 = 4 e 7 q = 6 são equivalentes pois apresentam q = 1 como raiz. Princípio aditivo: Quando subtraímos ou adicionamos um mesmo número aos dois membros de uma equação, obtemos uma equação equivalente à equação dada. Exemplo: Considere a seguinte equação: r 3 = 9. Se adicionarmos o número 3 aos dois membros desta igualdade, obteremos a equação r = 12 que é equivalente à equação inicial: r = r = 12 A seguir, usaremos a balança e alguns cubos para determinar equações equivalentes. Utilizaremos cubos com massas 1 grama e x gramas. Considere a equação: 2

3 x + 1 = 3 Coloque os cubos na balança conforme indicado nesta equação (veja figura abaixo). O equilíbrio da balança é devido à igualdade entre os membros x + 1 e 3. (i) Acrescente 1 cubo de 1grama a cada prato e observe que a balança continua em equilíbrio. Veja o que foi feito: x + 1 = 3 (equação dada inicialmente, com conjunto solução S={2}) x = 3 +1 (adição de 1 grama a cada membro da equação) x + 2 = 4 (equação equivalente à equação dada, pois S={2}) (ii) Faça agora o contrário: ao invés de acrescentar, retire 1 cubo de 1 grama de cada prato. A balança permanecerá em equilíbrio. Veja o que fizemos: x + 1 = 3 (equação dada inicialmente, com conjunto solução S={2}) x = 3 1 (subtração de 1 grama a cada membro da equação) x = 2 (equação equivalente à equação dada, pois S={2}) Utilizando a balança e os cubos com massas: 1 grama, v gramas, w gramas, y gramas e z gramas, resolva os exercícios abaixo. Exercícios: 1) Identifique os pares em que as equações são equivalentes: (X) z + 2 = 5 e z = 3 ( ) y + 1 = 3 e y = 1 (X) y + 3 =4 e y + 1 = 2 2) Escreva, na forma mais simples, uma equação equivalente a cada uma das equações dadas: a) v + 3 = 7 (Resp: v = 4) b) 8 = w + 2 (Resp: w = 6) 3

4 Princípio Multiplicativo: Quando multiplicamos ou dividimos por um mesmo número os dois membros de uma equação, obtemos uma equação equivalente à equação dada. Exemplo: Considere a seguinte equação: 3x = 6. Dividindo ambos os membros desta igualdade por 3, obtemos a equação x = 2 que é 3x 6 equivalente à equação inicial = x = Considere agora a seguinte equação: 2x = 4. Encontraremos uma equação equivalente a esta com a utilização da balança e dos cubos de massas 1 grama e x gramas. Coloque os cubos na balança conforme indicado na equação acima (veja figura abaixo). (i) Dobre a quantidade de cubos em cada prato (o que significa multiplicar os dois membros por 2). Observe que a balança permanece em equilíbrio. Veja o que foi feito: 2x = 4 (equação dada inicialmente, com conjunto solução S={2}) 2.(2x) = 2.4 (multiplicação dos dois membros da equação por 2) 4x = 8 (equação equivalente à equação dada, pois S={2}) (ii) Faça agora o contrário: deixe apenas a metade da quantidade de cubos em cada prato (o que significa dividir os dois membros por 2). A balança continuará em equilíbrio. Veja o que fizemos: 2 x = 4 (equação inicial, com conjunto solução S={2}) 2 x 4 = (divisão dos dois membros da equação por 2) 2 2 x = 2 (equação equivalente à equação dada, pois S={2}) 4

5 Utilizando a balança e os cubos com massas: 1 grama, v gramas, w gramas, y gramas e z gramas, resolva os exercícios abaixo. Exercícios: 1) Identifique os pares em que as equações são equivalentes: ( ) 4y = 4 e y = 2 (X) 2z = 6 e z = 3 (X) y = 1 e 3y = 3 2) Escreva na forma elementar uma equação equivalente a cada uma das equações dadas: a) 3v = 12 (Resp: v = 4) b) 2w + 3 = 15 (Resp: w = 6) c) 2v + 2 =10 (Resp: v = 4) 4- EQUAÇÕES DO 1º GRAU COM UMA INCÓGNITA Toda equação que, quando reduzida, assume a forma ax = b, onde x é uma incógnita e a e b são números racionais (com a 0), é denominada equação do 1º grau com uma incógnita. Os números a e b são denominados coeficientes da equação. Exemplos: x = 10 7x 2 = 6x + 11 x = 13 (forma reduzida) 3y = 21 Exercício: Coloque 5 cubos brancos no 1º prato da balança e 2 cubos brancos mais 1 cubo de 6 gramas no 2º prato e responda: a) Qual é a equação que representa a situação descrita? (Resp: 5x=2x+6) b) Escreva a equação na forma reduzida ax = b. Quem são os coeficientes a e b? (Resp: 3x=6, a=3 e b=6) c) Utilizando os princípios aditivo e multiplicativo, determine a massa de cada cubo branco. (Resp: 2 gramas) 5- EQUAÇÕES DO 1º GRAU COM DUAS INCÓGNITAS Toda equação que pode ser reduzida a uma equação equivalente da forma ax + by = c, com a 0 e b 0, denomina-se equação do 1º grau com duas incógnitas. Os números a, b e c são denominados coeficientes da equação. Exemplos: 12r + 3s = 20 2p 5q = 12 m + n = 3 Considere a equação: x + y = 5 Se o domínio considerado for o dos números naturais, as soluções desta equação são os pares ordenados: (1,4), (2,3), (3,2) e (4,1). (Explicar para os alunos o que é domínio caso não saibam.) 5

6 Agora, se o domínio considerado for o dos números reais, teremos infinitas soluções, como por exemplo: 1,7 + 3,3 = 5 ou 3,75 + 1,25 = 5. Qualquer par ordenado (x,y) t é solução da equação x+y=5, com x,y R. Exercício: Encontre, utilizando a balança, as possíveis soluções da equação m + n = 7, com m,n Ν. 6- SISTEMAS DE EQUAÇÕES DO 1º GRAU COM DUAS INCÓGNITAS Resolver um sistema de duas equações do 1º grau com duas incógnitas x e y significa determinar o único par ordenado (x,y) que é solução do sistema. Exemplo: O par ordenado (12,5) é a única solução do sistema x + y = 17 2x y = 19 Considere a seguinte situação: temos dois cubos com massas desconhecidas, y e z. Nosso objetivo é determinar tais massas e para isso podemos utilizar a balança e apenas pesos de 2 gramas. Primeiro, tente pesar os cubos y e z separadamente. Você verá que isso não é possível (a balança não atingirá o equilíbrio, independente da quantidade de cubos de 2 gramas que for utilizada). O que podemos concluir a partir disso? Que os valores das massas dos cubos y e z não são múltiplos de 2, ou seja, são valores ímpares. Mas, a soma de dois números ímpares resulta em um número par. Assim, se colocarmos y e z num dos pratos e 2 cubos de 2 gramas no outro, a balança ficará em equilíbrio. (Verifique!) Logo, y + z = 4 (1) Além disso, sabemos que a diferença entre dois números ímpares distintos também resulta em um número par. Coloque então y em um dos pratos e z no outro. A balança ficará em desequilíbrio. 6

7 Se acrescentarmos um cubo de 2 gramas ao prato onde está o cubo y, teremos o equilíbrio da balança. Assim, y + 2 = z 2 = z y Logo, z y = 2 (2) Temos então um sistema formado pelas equações (1) e (2): y + z = 4 z y = 2 E resolvendo este sistema, obtemos os valores desejados: y = 1g e z = 3g Exercício: Com o auxílio da balança e de cubos com massas iguais a 2 gramas, descubra quanto pesa os cubos p e q. (Resp: p=5g e q=3g) Desafio: Utilize a balança e os cubos com massas iguais a 3g, 5g e 7g para descobrir o peso dos cubos y, x e v. (Resp: y=1g, x=2g e v=4g) 7

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