Métodos de Física Teórica II Prof. Henrique Boschi IF - UFRJ. 1º. semestre de 2010 Aula 2 Ref. Butkov, cap. 8, seção 8.2

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1 Métodos de Física Teórica II Prof. Henrique Boschi IF - UFRJ 1º. semestre de 2010 Aula 2 Ref. Butkov, cap. 8, seção 8.2

2 O Método de Separação de Variáveis A ideia central desse método é supor que a solução para uma EDP pode ser escrita como o produto de funções de uma variável No caso da solução u(x, t), vamos supor que onde X(x) é uma função de x apenas, e T(t) somente de t.

3 Assim se impusermos as condições de contorno u(0,t)=0 e u(l,t)=0 sobre a solução geral, teremos neste caso com T(t) arbitrário. X(0)=0 e X(L)=0 Analogamente, as condições iniciais sobre a solução geral u(x,t) ficam T(0)=cte. e dt(0)/dt=cte.

4 Antes de substituir a solução u(x,t)=x(x)t(t) na EDP da onda na corda, notemos que e logo, a equação da onda na corda, obtida na aula anterior implica em

5 Dividindo os dois lados desta equação por X(x)T(t), encontramos Note que cada lado desta equação só depende de uma variável x ou t. Portanto, se mantivermos t fixo, o lado direito dessa equação permanecerá constante. Analogamente, se mantivermos x fixo, o lado esquerdo dessa eq. será constante. Essas constantes devem ser iguais, por força desta equação. Logo,

6 onde λ é uma constante a ser determinada, chamada de constante de separação de variáveis. O problema da EDP com duas variáveis foi então reduzido a duas equações diferenciais ordinárias.

7 Vamos resolver primeiro a equação para X(x): Essa equação é análoga a de um oscilador harmônico, porém, com sinal da constante de separação λ não definido. Assim, temos que levar em conta as três possibilidades: λ > 0, λ < 0, e λ = 0. Se λ > 0, as soluções são exponenciais reais: onde A e B são constantes arbitrárias;

8 Se λ < 0, as soluções são exponenciais imaginárias, ou equivalentemente, senos e cossenos, que podemos escrever como: onde A e B são constantes arbitrárias; Se λ = 0, a solução é simplesmente uma função linear: onde A e B são também constantes arbitrárias.

9 Assim, as soluções para X(x) são Até esse ponto o sinal de λ está indeterminado. Porém, aplicando as condições de contorno para a corda fixa X(0)=0 e X(L)=0 vemos que somente a solução com λ < 0 é admissível.

10 OBS.: Note que para outras condições de contorno, ou condições iniciais, como veremos em outros exemplos, as soluções com λ > 0 ou λ = 0 podem ser válidas. Assim, a solução para essas condições de contorno é Note que a condição X(0) = 0 implica em Assim a solução fica A = 0

11 Impondo, agora, a condição X(L) = 0, vemos que a constante λ só pode assumir os seguintes valores: chamados de autovalores do problema. A constante B não é fixada por essas condições. A princípio, essa constante pode ser diferente para cada valor dos. Assim, escrevemos a solução como Resta, agora, obter a solução para T(t).

12 Voltando à equação da onda na corda e lembrando que devemos usar a mesma constante λ = obtida para a solução Assim Note que usamos a notação como na parte. Se não soubéssemos o sinal de λ deveríamos proceder como na parte de e obter três soluções, uma para cada sinal de λ.

13 Porém, como já sabemos que λ < 0, devido ao uso das condições de contorno X(0)=0 e X(L)=0, temos que a solução para pode ser escrita como onde e são constantes arbitrárias. Assim a solução da equação da onda na corda obtida pelo método de separação de variáveis é

14 ou seja, onde constantes arbitrárias., e definimos as novas e Essas constantes arbitrárias podem ser fixadas com o uso de condições iniciais. Antes disso, vamos notar que esta solução representa os modos de vibração da corda.

15 Cada modo vibra com uma frequência igual à Voltando às condições iniciais, queremos que nossas soluções satisfaçam

16 Note que, fazendo t = 0 nessas soluções encontramos Por outro lado, derivando as soluções em relação à t e fazendo t = 0, achamos Portanto, as configurações iniciais de posição e velocidade seriam sempre do tipo sen(x) o que seria uma restrição forte demais.

17 Para contornar essa dificuldade vamos invocar o Princípio da Superposição e escrever a solução geral como onde somamos todos os (infinitos) modos. Dessa forma, a condição implica em que é uma série de Fourier de senos (devido a escolha das condições de contorno)

18 Analogamente, a condição implica em que também é uma série de Fourier. Assim, essa solução pode ter a forma de qualquer função que possa ser escrita como séries de Fourier, ou seja uma classe bastante abrangente de funções. OBS.: Os coeficientes são determinados por, enquanto os são determinados por