Método de Eliminação de Gauss. Eduardo Camponogara

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1 Sistemas de Equações Lineares Método de Eliminação de Gauss Eduardo Camponogara Departamento de Automação e Sistemas Universidade Federal de Santa Catarina DAS-5103: Cálculo Numérico para Controle e Automação 1/34

2 Sumário Fundamentos Exemplo 1 Exemplo 2 Exemplo 3 2/34

3 Fundamentos Sumário Fundamentos Exemplo 1 Exemplo 2 Exemplo 3 3/34

4 Fundamentos Método de Eliminação de Gauss Método direto mais conhecido e mais usado para resolução de um sistema denso, de pequeno e médio porte Um sistema é considerado de pequeno porte se contém até 30 variáveis É considerado de médio porte se contém até 50 variáveis É dito ser de grande porte se contém mais de 50 variáveis. 4/34

5 Fundamentos Método de Eliminação de Gauss Método O método consiste na aplicação sucessiva de propriedades básicas de álgebra linear. 1) Combinações lineares: adição de uma linha com um múltiplo de outra linha, para substituir uma das linhas consideradas. 2) Troca de linhas 3) Multiplicação de uma linha por uma constante 5/34

6 Fundamentos Método de Eliminação de Gauss Observação Se a matriz B é obtida a partir de uma matriz A por meio de combinações lineares de linhas, dizemos que A e B são equivalentes. Se A é quadrada então det(a) = det(b). 6/34

7 Fundamentos Método de Eliminação de Gauss: Algoritmo Básico Algoritmo básico de Gauss apresenta os seguintes passos: 1) Triangularização: consiste em transformar a matriz A numa matriz triangular superior, mediante perturbações e combinações lineares de linhas. 2) Retrossubstituição: consiste no cálculo dos componentes do vetor x, a partir da solução imediata do último componente de x, e então substituímos regressivamente nas equações anteriores. 7/34

8 Exemplo 1 Sumário Fundamentos Exemplo 1 Exemplo 2 Exemplo 3 8/34

9 Exemplo 1 Método de Eliminação de Gauss: Exemplo 1 Problema Tomemos como exemplo o sistema de equações lineares dado abaixo 3x 1 + 2x 2 + x 4 = 3 9x 1 + 8x 2 3x 3 + 4x 4 = 6 6x 1 + 4x 2 8x 3 = 16 3x 1 8x 2 + 3x 3 + 4x 4 = 18 (1) o qual pode ser escrito na forma matricial como segue A = e y = /34

10 Exemplo 1 Método de Eliminação de Gauss: Exemplo 1 Triangularização A primeira fase consiste da triangularização de A, cujos passos são ilustrados abaixo. 0) Obtendo a matriz aumentada /34

11 Exemplo 1 Método de Eliminação de Gauss: Exemplo 1 Triangularização 1) Primeiro passo: zerando os elementos abaixo do elemento a 11. E 2 9/3E 1 E 3 +6/3E 1 E 4 3/3E /34

12 Exemplo 1 Método de Eliminação de Gauss: Exemplo 1 Triangularização 2) Segundo passo: zerando os elementos abaixo de a 22 E 3 8/2E 2 E 4 +10/2E /34

13 Exemplo 1 Método de Eliminação de Gauss: Exemplo 1 Triangularização 3) Terceiro passo: zerando os elementos abaixo de a 33 E 4 +12/4E /34

14 Exemplo 1 Método de Eliminação de Gauss: Exemplo 1 Solução Obtemos, portanto um sistema equivalente a (1) na forma triangular: 3x 1 + 2x 2 + 0x 3 + x 4 = 3 + 2x 2 3x 3 + x 4 = 3 + 4x 3 2x 4 = 2 2x 4 = 6 14/34

15 Exemplo 1 Método de Eliminação de Gauss: Exemplo 1 Solução Por meio de retrossubstituição, podemos encontrar uma solução para o sistema original (1). Considerando a última equação temos que 2x 4 = 6 x 4 = 3 Substituindo na terceira equação, obtemos: +4x 3 2(3) = 2 x 3 = 2 Substituindo na segunda equação, obtemos: +2x = 3 x 2 = 0 15/34

16 Exemplo 1 Método de Eliminação de Gauss: Exemplo 1 Solução Substituindo na primeira equação, obtemos: 3x 1 +2(0)+0(2)+3 = 3 x 1 = 0 Portanto, uma solução para (1) é: x = x 1 x 2 x 3 x 4 = /34

17 Exemplo 1 Método de Eliminação de Gauss Teorema O método de Gauss produz, em precisão infinita, uma solução exata do sistema Ax = b desde que: 1) A seja não singular, det(a) 0 2) As linhas sejam trocadas sempre que necessário, caso a ii = 0 17/34

18 Exemplo 2 Sumário Fundamentos Exemplo 1 Exemplo 2 Exemplo 3 18/34

19 Exemplo 2 Método de Eliminação de Gauss: Exemplo 2 Problema Aqui vamos considerar o sistema de equações lineares abaixo: 1x 1 + 2x 2 + 3x 3 + x 4 = 1 2x 1 4x 2 5x 3 1x 4 = 0 3x 1 + 8x 2 + 8x 3 + 1x 4 = 2 1x 1 + 2x 2 6x 3 + 4x 4 = 1 (2) 19/34

20 Exemplo 2 Método de Eliminação de Gauss: Exemplo 2 Triangularização Iniciamos a solução pelo método de Gauss com a triangularização do sistema (2). 0) Obtendo a matriz aumentada: /34

21 Exemplo 2 Método de Eliminação de Gauss: Exemplo 2 Triangularização 1) Primeiro passo: zerando os elementos abaixo de a 11 E 2 +2E 1 E 3 3E 1 E 4 +E /34

22 Exemplo 2 Método de Eliminação de Gauss: Exemplo 2 Triangularização 2) Segundo passo: trocando as linhas 2 e 3 E 3 E /34

23 Exemplo 2 Método de Eliminação de Gauss: Exemplo 2 Triangularização 3) Terceiro passo: zerando os elementos abaixo de a 22 E 4 2E /34

24 Exemplo 2 Método de Eliminação de Gauss: Exemplo 2 Triangularização 4) Quarto passo: zerando os elementos abaixo de a 33 E 4 +E /34

25 Exemplo 2 Método de Eliminação de Gauss: Exemplo 2 Retrossubstituição Portanto, através de retrossubstituição podemos verificar que a solução de (2) é: x 4 = 2/5, x 3 = 8/5, x 2 = 7/10, x 1 = 28/5. 25/34

26 Exemplo 3 Sumário Fundamentos Exemplo 1 Exemplo 2 Exemplo 3 26/34

27 Exemplo 3 Método de Eliminação de Gauss: Exemplo 3 Problema Como terceiro exemplo, tomemos o sistema de equações 3x 1 + 2x 2 1x 3 + 2x 4 = 1 3x 1 + 4x 2 + 1x 3 + 1x 4 = 3 6x 1 2x 2 + 4x 3 3x 4 = 5 3x 1 6x 2 3x 3 4x 4 = 2 (3) Os passos da aplicação do método de Gauss na resolução do sistema (3) são descritos no que segue. 27/34

28 Exemplo 3 Método de Eliminação de Gauss: Exemplo 3 Triangularização 0) Obtendo a matriz aumentada: /34

29 Exemplo 3 Método de Eliminação de Gauss: Exemplo 3 Triangularização 1) Primeiro passo: zerando os elementos abaixo de a 11 E 2 E 1 E 3 +2E 1 E 4 +E /34

30 Exemplo 3 Método de Eliminação de Gauss: Exemplo 3 Triangularização 2) Sistema resultante: E 3 E 2 E 4 +2E /34

31 Exemplo 3 Método de Eliminação de Gauss: Exemplo 3 A partir das equações obtidas no terceiro passo, verificamos que o sistema não tem solução, pois: { 2x4 = 5 x 4 = 7 31/34

32 Exemplo 3 Método de Eliminação de Gauss: Exemplo 3 Se o lado direto da terceira equação fosse 14, então as duas últimas equações do sistema reduzido seriam: { 2x4 = 14 x 4 = 7 Usando este valor x 4 = 7 na terceira equação com qualquer valor de x 3, podemos encontrar uma solução para o sistema. Ou seja, o sistema teria um número infinito de soluções. 32/34

33 Exemplo 3 Método de Eliminação de Gauss Teorema Seja A R n n uma matriz e b R n 1 um vetor, então Ax = b pode ser resolvida pelo algoritmo de Gauss com: { n (n 1)(n+1)n O(n3 ) multiplicações ou divisões n(n 1)+ 1 6 (n 1)(2n 1)n O(n3 ) adições ou subtrações 33/34

34 Exemplo 3 Comentários Finais Fim! Obrigado pela presença 34/34

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