Modelagem no Domínio do Tempo. Carlos Alexandre Mello. Carlos Alexandre Mello 1

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1 Carlos Alexandre Mello 1

2 Modelagem no Domínio da Frequência A equação diferencial de um sistema é convertida em função de transferência, gerando um modelo matemático de um sistema que algebricamente relaciona a entrada e a saída Desvantagem: O sistema deve ser linear e invariante no tempo Vantagem: Conseguem estabilidade rapidamente e informação quanto à resposta do transiente Problema: Muitos sistemas não são LTI 2

3 Aproximação Estado-Espaço Método para modelagem, análise e projeto de uma grande variedade de sistemas: Sistemas não lineares, condições iniciais não-nulas, variantes no tempo (como mísseis que podem ter variações nos níveis de combustível a ser usado), sistemas com múltiplas entradas e múltiplas saídas (como um carro que tem direção e velocidade como entrada e saída) Problema: uso não é tão intuitivo 3

4 Passos para Modelagem no Domínio do Tempo 1. Definimos um subconjunto das variáveis do sistema para serem as variáveis de estado 2. Para um sistema de n-ésima ordem, escrevemos n equações diferenciais de primeira ordem simultâneas (equações de estado) 3. Resolvemos as equações diferenciais para t t 0, se conhecemos as condições iniciais para todas as variáveis de estado para t 0 e t t 0 4. Combinamos as variáveis de estado com a entrada do sistema e encontramos todas as outras variáveis para t t 0 (isso gera a equação de saída) 5. Representação estado-espaço: equações de estado + equações de saída 4

5 Exemplo: Rede RL Selecionamos a corrente i(t) para a qual escreveremos e resolveremos equações diferenciais usando transf. de Laplace 1. Escrevemos a equação de laço: 2. Usando a transformada de Laplace agora considerando as condições iniciais temos: 3. Assumindo a entrada v(t) como um degrau unitário cuja transf. é V(s) = 1/s, encontramos I(s): 5

6 Exemplo: Rede RL 3. (cont.) Onde: Logo: 6

7 Exemplo: Rede RL (cont.) 3. (cont.): A função i(t) é um subconjunto de todas as possíveis variáveis de rede que podemos encontrar de sua equação se soubermos sua condição inicial, i(0), e a entrada v(t) Assim, i(t) é uma variável de estado e a equação diferencial inicial: é uma equação de estado 7

8 Exemplo: Rede RL (cont.) 4. Podemos agora resolver para todas as variáveis da rede algebricamente em termos de i(t) e da tensão v(t) Por exemplo A tensão através do resistor é: v R (t) = Ri(t) A tensão através do indutor é: v L (t) = v(t) v R (t) = v(t) Ri(t) A derivada da corrente (a carga) é: di/dt = (1/L)v L (t) = (1/L)[v(t) Ri(t)] Assim, conhecendo a variável de estado i(t) e a entrada v(t), podemos encontrar o valor, ou o estado, de qualquer variável da rede em qualquer tempo t t 0 Com isso, as equações de v R (t), v L (t) e di/dt são equações de saída 5. A Representação Estado-Espaço corresponde à equação de estado e às equações de saída 8

9 Exemplo: Rede RL (cont.) A representação do sistema não é única. Por exemplo, para a mesma rede RL, se fizermos i = v R /R, temos: que pode ser resolvida sabendo que a condição inicial para v R (0) é v R (0) = Ri(0) e sabendo v(t) 9

10 Exemplo: Rede RLC 1. A equação de laço gera: Considerando i(t) = dq/dt, onde q é a carga, temos: 10

11 Exemplo: Rede RLC (cont.) 2. Como o sistema é de 2ª ordem, duas equações diferenciais de 1ª ordem simultâneas são necessárias para as duas variáveis de estado (i(t) e q(t)) 3. De: e sabendo que i = dq/dt i dt = q, temos: 11

12 Exemplo: Rede RLC (cont.) 3. (cont.) As equações: são as Equações de Estado e podem ser resolvidas para as variáveis de estado i(t) e q(t), se soubermos as condições iniciais e a entrada v(t), usando a transf. de Laplace 12

13 Exemplo: Rede RLC (cont.) 4. Usando as duas variáveis de estado, podemos resolver para todas as variáveis da rede. Por exemplo, a voltagem através do indutor (v L (t)) pode ser escrita em termos das variáveis de estado e da entrada como: Equação de saída: v L (t) é uma combinação linear das variáveis de estado, q(t) e i(t), e da entrada, v(t) 13

14 Exemplo: Rede RLC (cont.) 5. A combinação das equações de estado e da equação de saída formam a representação da rede que chamamos de Representação Estado-Espaço Novamente, diferentes representações seriam possíveis dependendo da escolha das variáveis de estado (v R (t) e v C (t) seriam outra possibilidade): Equações de estado para v R (t) e v C (t) como variáveis de estado 14

15 O número de variáveis de estado deve ser, no mínimo, igual à ordem do sistema Se a equação diferencial que descreve o sistema for de ordem 2, então precisamos de, no mínimo, 2 variáveis de estado Podemos escolher mais variáveis de estado do que o mínimo, mas essas variáveis devem ser linearmente independentes Por exemplo, se escolhemos v R (t) como variável, não podemos escolher i(t), já que v R (t) = Ri(t) (são variáveis linearmente dependentes) 15

16 Definições: Uma combinação linear de n variáveis x i, para i=1 até n, é dada pela soma S = k 1 x 1 + k 2 x k n x n, com cada ki sendo uma constante Um conjunto de variáveis é dito linearmente independente se nenhuma das variáveis puder ser escrita como combinação linear das outras Ou seja, k 1 x 1 + k 2 x k n x n = 0, sse, k i = 0, para todo i, com x i 0, para todo x i 16

17 As variáveis de estado devem ser linearmente independentes, ou seja, nenhuma variável pode ser expressa como combinação linear das outras variáveis Do contrário, podemos não ter informação suficiente para resolver para todas as outras variáveis do sistema 17

18 No exemplo anterior, tínhamos: Equações de estado As equações de estado podem ser escritas como: x' = Ax + Bu onde: 18

19 Da mesma forma, a equação de saída: pode ser escrita como: y = Cx + Du onde: 19

20 A combinação de x e y também é chamada de Representação Estado-Espaço da rede Sumarizando, a representação estado-espaço consiste de: (1) Equações diferenciais de primeira ordem simultâneas para as quais as variáveis de estado podem ser resolvidas (2) Equação de saída para a qual todas as outras variáveis do sistema podem ser encontradas Observamos novamente que a representação estadoespaço não é única, dependendo da escolha das variáveis de estado 20

21 Representação Estado-Espaço Geral Definições: Variável de Sistema: Qualquer variável que responde a uma entrada ou condições iniciais em um sistema Variáveis de Estado: O conjunto de variáveis de sistema linearmente independentes tal que os valores das variáveis do conjunto no tempo t 0 junto com funções conhecidas determinam completamente os valores de todas as variáveis do sistema para todo t >= t 0 21

22 Representação Estado-Espaço Geral Definições: Equações de Estado: Um conjunto de n equações diferenciais de primeira ordem simultâneas, onde as n variáveis a serem resolvidas são as variáveis de estado Equação de Saída: Equação que expressa as variáveis de saída como uma combinação linear das variáveis de estado e as entradas 22

23 Representação Estado-Espaço Geral Um sistema é representado no estadoespaço pelo conjunto de equações: x' = Ax + Bu y = Cx + Du (Equação Estado) (Equação Saída) para t t 0 e condições iniciais x(t 0 ), onde: x = vetor estado; y = vetor saída x = derivada do vetor estado em relação ao tempo u = entrada; A = Matriz Sistema; B = Matriz Entrada; C = Matriz Saída; D = Matriz de Transmissão Direta (Feedforward) 23

24 Exemplo: Considere o circuito: Vamos achar a representação estado-espaço, considerando como saída a corrente através do resistor (i R (t)) 24

25 Exemplo: (cont.) Passo 1: Identificar as correntes no circuito Feito na figura anterior Passo 2: Escolhemos as variáveis de estado Como temos um indutor e um capacitor, o sistema será de 2ª ordem, implicando que precisamos de 2 variáveis, pelo menos Como a saída procurada está relacionada com o resistor, seus elementos estarão na equação de saída. Assim, vamos usar como variáveis de estado os elementos do indutor e capacitor. Nesse caso, poderíamos escolher i C, v C, i L, ou v L 25

26 Exemplo: (cont.) Passo 2 (cont.): Lembrando que precisamos de equações diferenciais de primeira ordem, nossa escolha é: Equações de estado Assim, as variáveis de estado são v C e i L. Precisamos agora escrever i C e v L como combinação linear das variáveis de estado e da entrada (v(t)) 26

27 Exemplo: (cont.) Passo 3: Aplicando as leis de circuitos, temos, pela lei de Kirchoff de voltagem e corrente: No nó 1, temos: Na malha externa: 27

28 Exemplo: (cont.) Passo 4: Vamos agora substituir as equações de estado nos resultados anteriores: 28

29 Exemplo: (cont.) Passo 5: Encontrar a equação de saída, considerando a saída, como pedido, i R (t) Assim: Com isso: Representação Estado-Espaço 29

30 Exercício: Encontre a representação estado-espaço para o circuito abaixo. A saída é v 0 (t). 30

31 Exercício (cont.): 1º Passo: Legendar correntes, malhas, etc Nó 1 Nó 2 i c1 i R Malha 1 Malha 2 i L i c2 31

32 Exercício (cont.): 2º Passo: Estabelecer relações derivativas: Equações de estado v C1, v C2 e i L são as variáveis de estado 32

33 Exercício (cont.): 3º Passo: Precisamos escrever i C1, i C2 e v L como combinação linear das variáveis de estado e da entrada Usando as leis de Kirchhoff: Nó 1: Malha 1: Nó 2: 33

34 Exercício (cont.): 4º Passo: Substituindo nas equações de estado: Com equação de saída: 34

35 Exercício (cont.): 5º Passo: Na forma de matriz: 35

36 Convertendo uma Função de Transferência para Estado-Espaço Uma das vantagens de representação estadoespaço é que podemos usá-la para simulação em computador de sistemas físicos Assim, para simular um sistema a partir de uma função de transferência, precisamos primeiro convertê-la para representação estado-espaço Primeiro, selecionamos um conjunto de variáveis de estado, chamadas variáveis de fase, onde cada variável de estado subsequente é definida como a derivada da variável de estado anterior 36

37 Convertendo uma Função de Transferência para Estado-Espaço Considere a seguinte equação diferencial: Uma forma simples de proceder é escolher a saída y(t) e suas (n 1) derivadas como variáveis de estado Escolha das Variáveis de Fase 37

38 Convertendo uma Função de Transferência para Estado-Espaço Seja x i as variáveis de estado, temos então: 38

39 Convertendo uma Função de Transferência para Estado-Espaço Ou na forma de matriz: Forma de variáveis de fase das equações de estado Observe a forma da matriz do sistema quase como uma matriz identidade antes da última linha e essa última linha com o negativo dos coeficientes da equação diferencial escritos na ordem reversa 39

40 Convertendo uma Função de Transferência para Estado-Espaço Finalmente, desde que a solução da equação diferencial é y(t), ou x 1, a equação de saída é: 40

41 Convertendo uma Função de Transferência para Estado-Espaço Resumindo, para converter uma função de transferência para representação estado-espaço na forma de variáveis fase, primeiro convertemos a função de transferência para a forma de equação diferencial por multiplicação cruzada e tomando o inverso da transformada de Laplace, assumindo condições iniciais nulas Então, representamos as equações diferenciais no estado-espaço na forma de varáveis fase Caso 1: Apenas uma constante no numerador da função de transferência... 41

42 Convertendo uma Função de Transferência para Estado-Espaço Exemplo 1: Encontre a representação estado-espaço na forma de variável fase para a função de transferência abaixo: Passo 1: Encontrar a equação diferencial: Função de transferência 42

43 Convertendo uma Função de Transferência para Estado-Espaço Exemplo 1 (cont.): Passo 1 (cont.): Fazendo a multiplicação cruzada dos dois lados: A equação diferencial correspondente é encontrada tomando a transformada inversa de Laplace, assumindo nulas as condições iniciais: 43

44 Convertendo uma Função de Transferência para Estado-Espaço Exemplo 1 (cont.): Passo 2: Selecionar as variáveis de estado. Escolhendo as variáveis como as derivadas sucessivas, temos: x 1 = c x 2 = c x 3 = c Diferenciando ambos os lados: x 1 = c = x 2 x 2 = c = x 3 x 3 = c = -24x 1 26x 2 9x r y = c = x 1 44

45 Convertendo uma Função de Transferência para Estado-Espaço Exemplo 1 (cont.): Passo 2 (cont.): Na forma de matriz: 45

46 Convertendo uma Função de Transferência para Estado-Espaço Caso 2: Um polinômio no numerador da função de transferência Numerador e denominador podem ser separados e colocados em cascata... 46

47 Convertendo uma Função de Transferência para Estado-Espaço Numerador e denominador podem ser separados e colocados em cascata... Denominador Numerador Variáveis internas: X 2 (s), X 3 (s) Estando em cascata, os dois são multiplicados gerando a função de transferência original 47

48 Convertendo uma Função de Transferência para Estado-Espaço O primeiro bloco é tratado como no exemplo anterior, gerando a representação variável fase com saída x 1 (outras variáveis de estado são internas a ele apenas X 2 (s) e X 3 (s)). O segundo bloco tem função de transf: Y(s)=C(s)=(b 2 s 2 + b 1 s + b 0 )X 1 (s) cuja transf. inversa de Laplace gera: y(t) = b 2 x 1 + b 1 x 1 + b 0 x 1 y(t) = b 0 x 1 + b 1 x 2 + b 2 x 3 48

49 Convertendo uma Função de Transferência para Estado-Espaço Exemplo 2: Encontre a representação estadoespaço para a função de transferência abaixo: 49

50 Convertendo uma Função de Transferência para Estado-Espaço Exemplo 2 (cont.): Passo 1: Como mostrado na figura anterior, o passo 1 é separar o sistema em dois blocos em cascata. O primeiro bloco contém o denominador e o segundo bloco, o numerador Passo 2: Encontrar as equações para o bloco contendo o denominador. Neste exemplo, apenas para simplificar, é o mesmo denominador do exemplo anterior, mas com 1 e não 24 no numerador. Assim, a representação será a mesma a menos do termo multiplicando a saída r 50

51 Convertendo uma Função de Transferência para Estado-Espaço Exemplo 2 (cont.): Passo 2 (cont.): Passo 3: Introduz o segundo bloco que contém o numerador. Pelo segundo bloco: Pela transf. inversa de Laplace 51

52 Convertendo uma Função de Transferência para Estado-Espaço Exemplo 2 (cont.): Passo 3 (cont.): Mas: x 1 = x 1 x 1 = x 2 x 1 = x 3 Assim: y = c(t) = b 2 x 3 + b 1 x 2 + b 0 x 1 = x 3 + x 2 + 2x 1 Com isso, o segundo bloco simplesmente coleta derivadas que foram calculadas no primeiro bloco 52

53 Convertendo uma Função de Transferência para Estado-Espaço Exercício: Encontre as equações de estado e a equação de saída para a representação em variável fase da função de transferência: R(s) C(s) 53

54 Convertendo uma Função de Transferência para Estado-Espaço Exercício (cont.): Passo 1: Separar a função: R(s) X 1 (s) C(s) Passo 2: Equações do bloco do denominador: 54

55 Convertendo uma Função de Transferência para Estado-Espaço Exercício (cont.): Passo 2 (cont.): x 1 = x 1 x 2 = x 1 Diferenciando os dois lados: x 1 = x 1 = x 2 x 2 = x 1 = -7x 1 9x 1 + r = -7x 2 9x 1 + r 55

56 Convertendo uma Função de Transferência para Estado-Espaço Exercício (cont.): Passo 3: Introdução do segundo bloco que contém o numerador. Pelo segundo bloco: C(s) = (2s + 1)X 1 (s) Pela Transformada Inversa de Laplace: c = 2x 1 + x 1 y = c = 2x 1 + x 1 = 2x 2 + x 1 56

57 Convertendo uma Função de Transferência para Estado-Espaço Exercício (cont.): Solução Final: Equações de Estado e Equação de Saída 57

58 Convertendo uma Função de Transferência para Estado-Espaço Exercício (cont.): No MatLab: 58

59 Convertendo de Estado-Espaço para Função de Transferência Dadas as equações de estado e a equação de saída: x = Ax + Bu y = Cx + Du calcule a transformada de Laplace considerando nulas as condições iniciais: sx(s) = AX(s) + BU(s) Y(s) = CX(s) + DU(s) Resolvendo para X(s), temos: (si A)X(s) = BU(s) X(s) = (si A) -1 BU(s) onde I é a matriz identidade 59

60 Convertendo de Estado-Espaço para Função de Transferência Assim, como: Y(s) = CX(s) + DU(s) e X(s) = (si A) -1 BU(s) então: Y(s) = CX(s) + DU(s) = Y(s) = C(sI A) -1 BU(s) + DU(s) = [C(sI A) -1 B + D]U(s) Matriz função de transferência, pois relaciona a entrada U(s) com a saída Y(s). 60

61 Convertendo de Estado-Espaço para Função de Transferência Se U(s) = U(s) e Y(s) = Y(s), escalares, então temos a função de transferência 61

62 Convertendo de Estado-Espaço para Função de Transferência Exemplo 1: Dado o sistema definido na forma abaixo, ache a função de transferência, T(s) = Y(s)/U(s), onde U(s) é a entrada e Y(s) é a saída do sistema 62

63 Convertendo de Estado-Espaço para Função de Transferência Exemplo 1 (cont.): É preciso encontrar (si A) -1 : 63

64 Convertendo de Estado-Espaço para Função de Transferência Exemplo 1 (cont.): T(s) = C(sI A) -1 B + D, onde: T(s)= 64

65 Convertendo de Estado-Espaço para Função de Transferência Exemplo 1 (cont.): No MatLab (numerador): 65

66 Convertendo de Estado-Espaço para Função de Transferência Exemplo 1 (cont.): No MatLab (solução completa): 66

67 Convertendo de Estado-Espaço para Função de Transferência Relembrando: 67

68 Convertendo de Estado-Espaço para Função de Transferência Exercício 1: Converta a equação de estado e a de saída para uma função de transferência: A = B = C = D = 0 68

69 Convertendo de Estado-Espaço para Função de Transferência Exercício 1 (cont.): É preciso encontrar (si A) -1 : T(s) = C(sI A) -1 B + D: 69

70 Convertendo de Estado-Espaço para Função de Transferência Exercício 1 (cont.): No MatLab 70

71 Exercícios Sugeridos (Nise) Cap. 3, Problemas: 1, 2, 3, 9, 11, 14 No MatLab: 10, 12, 15 71

72 A Seguir... Resposta no Tempo 72

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