2 - Modelos em Controlo por Computador

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1 Modelação, Identificação e Controlo Digital 2-Modelos em Controlo por Computador Modelos em Controlo por Computador Objectivo: Introduzir a classe de modelos digitais que são empregues nesta disciplina para a representação de sistemas e projecto de controladores Muito do material é já conhecido pelo que se fará apenas uma revisão rápida

2 Modelação, Identificação e Controlo Digital 2-Modelos em Controlo por Computador 2 Modelos Discretos de SLIT s Bibliografia: Astrom e Wittenmark, CCS, 3rd Ed., Cap. 2. (2.2,2.6,2.7,2.8,2.9) SLITs - Sistemas Lineares e Invariantes no tempo (discreto) u(k) SLIT y(k) Linearidade: Invariância no tempo:

3 Modelação, Identificação e Controlo Digital 2-Modelos em Controlo por Computador 3 Descrição de SLITS s por eqs de diferenças linear de coeficientes constantes: Ordem da Equação Coeficientes da Equação Mostre que: A equação de diferenças linear, de coeficientes constantes descreve um sistema linear e invariante no tempo A solução da equação de diferenças com n condições iniciais especificadas (y(n-1), y(n-2),, y(0)) existe e é única

4 Modelação, Identificação e Controlo Digital 2-Modelos em Controlo por Computador 4 Descrição de SLITs por equações de diferenças com as amostras atrasadas Equação de diferenças escrita com as amostras avançadas: Equação de diferenças escrita com as amostras atrasadas: Passa-se de uma para outra atrasando ou adiantando o tempo n passos.

5 Modelação, Identificação e Controlo Digital 2-Modelos em Controlo por Computador 5 Causalidade do sistema Um sistema diz-se causal se y(k) depende apenas das entradas e saídas até ao instante k. Sistema descrito por equação de diferenças linear: Este sistema é causal se

6 Modelação, Identificação e Controlo Digital 2-Modelos em Controlo por Computador 6 Atraso do Sistema Equação de diferenças escrita com as amostras atrasadas: Atraso do sistema Entradas aplicadas em k só influenciam a saída a partir de k+(n-m). De aqui em diante, consideram-se sempre sistemas causais. Para estes o atraso do sistema, d, é não negativo:

7 Modelação, Identificação e Controlo Digital 2-Modelos em Controlo por Computador 7 Função de transferência discreta u(k) SLIT y(k) Assume-se o sistema modelado pela equação de diferenças Tome-se transformada Z com condições iniciais nulas para obter a função de transferência:

8 Modelação, Identificação e Controlo Digital 2-Modelos em Controlo por Computador 8 Operador avanço É possível uma descrição compacta e facilmente manipulável de SLITs discretos usando o operador avanço Sucessão avançada Sucessão + Operador avanço

9 Modelação, Identificação e Controlo Digital 2-Modelos em Controlo por Computador 9 Operador de transferência do sistema (avanço) Substituindo + por, e assim sucessivamente: Com y(k) e u(k) em evidência, obtém-se um operador que descreve o sistema:

10 Modelação, Identificação e Controlo Digital 2-Modelos em Controlo por Computador Operador de transferência do sistema (avanço) B(q) A(q) O operador de avanço não altera a amplitude dos sinais - transforma sequências limitadas (majoradas e minoradas) em sequências limitadas (ao contrário dos operadores diferenciais dos sistemas contínuos). Por isso pode ser manipulado algebricamente com grande liberdade.

11 Modelação, Identificação e Controlo Digital 2-Modelos em Controlo por Computador 11 Operador Avanço vs Transformada Z Um sistema com condições iniciais não nulas não pode ser representado pela transformada Z, mas pode ser representado por operadores. Um sistema com coeficientes variáveis não pode ser representado pela transformada Z, mas pode ser representado por operadores. Álgebra dos operadores é aplicada a sequências discretas enquanto a transformada Z é aplicada a funções complexas de variável complexa. Termos comuns no numerador e denominador da FT podem ser cancelados (álgebra de numeros complexos), mas com operadores isto não é permitido. Sob condições iniciais nulas e sem cancelamentos de termos, a FT e operador de transferência são descrições equivalentes de um sistema.

12 Modelação, Identificação e Controlo Digital 2-Modelos em Controlo por Computador 12 Exemplo Considerar o sistema representado pela eq. de diferenças: y(k+1)+ a y(k) u(k+1)+a u(k) Este sistema tem transformada Z: + + No entanto, o sistema não é a identidade porque com condições iniciais não nulas, a saída não é idêntica à entrada: +

13 Modelação, Identificação e Controlo Digital 2-Modelos em Controlo por Computador 13 Operador atraso Analogamente, pode-se usar o operador atraso: Operador atraso Sucessão atrasada Sucessão A representação no operador avanço é mais adequada para o estudo da estabilidade, determinação de polos, zeros e ordem do sistema. A representação no operador atraso é mais adequada para a implementação dos algoritmos.

14 Modelação, Identificação e Controlo Digital 2-Modelos em Controlo por Computador 14 Operador de transferência do sistema (atraso) Substituindo por, e assim sucessivamente: Pondo y(k) e u(k) em evidência, obtem-se o operador que descreve o sistema:

15 Modelação, Identificação e Controlo Digital 2-Modelos em Controlo por Computador 15 Polinómio recíproco de : Polinómio recíproco, r ordem do polinómio A(q) Atenção: Em geral, o recíproco do recíproco não é a identidade! Operador de transferência do sistema em termos do operador atraso e do polinómio recíproco

16 Modelação, Identificação e Controlo Digital 2-Modelos em Controlo por Computador 16 Polos e Zeros São zeros do sistema os valores z 0 tal que: São polos do sistema os valores z p tal que: Exercício: Calcular os polos e os zeros do sistema Notas: O número de zeros em infinito representa o excesso polos-zeros (d). Polos na origem representam atrasos puros.

17 Modelação, Identificação e Controlo Digital 2-Modelos em Controlo por Computador 17 Estabilidade Estabilidade BIBO (Bounded Input Bounded Output): Um sistema linear e invariante no tempo é estável se dado um sinal de entrada limitado, a saída também é limitada: < < Teste prático: Dada a função de transferência de um SLIT causal, o sistema é estável se todos os seus polos têm módulo inferior a 1. Calcular e avaliar as raízes da equação característica do sistema: + + +

18 Modelação, Identificação e Controlo Digital 2-Modelos em Controlo por Computador 18 Critério de Jury coeficientes do polinómio característico cálculos α α α Um SLIT causal é estável se, para positivo, todos os,são positivos. Se nenhum dos é nulo, então o número de negativos é o número de raízes do polinómio característico com módulo superior a 1 (instáveis).

19 Modelação, Identificação e Controlo Digital 2-Modelos em Controlo por Computador 19 Exercícios Seja um sistema descrito pela seguinte equação às diferenças: 1 - Calcule: a) Operadores de transferência do sistema (avanço e atraso). b) Polos e Zeros c) Causalidade e Estabilidade 2 - Obtenha a resposta do sistema ao escalão em Simulink. Comente. 3 Escreva em pseudo-código a implementação computacional do sistema dado.