4.10 Solução das Equações de Estado através da Transformada de Laplace Considere a equação de estado (4.92)

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1 ADL Solução das Equações de Estado através da Transformada de Laplace Considere a equação de estado (4.92) A transformada de Laplace fornece: (4.93) (4.94) A fim de separar X(s), substitua sx(s) por six(s), onde I é uma matriz identidade n X n. Combinando todos os termos em X(s). obtemos (4.95) Resolvendo para X(s) Aplicando a transformada de Laplace à equação de saída, resulta (4.96) (4.97) Solução por transformada de Laplace; autovalores e pólos Problema Dado o sistema representado no espaço de estados pelas Eqs. (4.99) (4.99) faça o seguinte: a. Resolva a equação de estado precedente e obtenha a saída para urna dada entrada exponencial. b. Obtenha os autovalores e os pólos do sistema. Solução a. Resolveremos o problema determinando as partes componentes da Eq. (4.96) e em seguida fazendo a substituição na Eq. (4.97). Primeiramente, obtemos A e B por comparação da Eq. (4.99a) com a Eq. (4.92). Como

2 (4.100) (4.101) (4.102) Como U(s) a transformada de Laplace de e -t, é 1/(s + 1), X(s) pode ser calculado. Reescrevendo a Eq. (4.96) como (4.103) e usando B e x(0) com base nas Eqs. (4.99a) e (4.99c), respectivamente, obtemos (4.104) A equação de saída é determinada a partir da Eq. (4.99b). Executando as adições indicadas, resulta (4.105) ou (4.106)

3 onde o pólo em 1 cancelou um zero em 1. Aplicando a transformada de Laplace inversa, (4.107) 4.11 Solução das Equações de Estado no Domínio do Tempo Admita, primeiramente, a equação de estado homogênea da forma (4.109) Como se deseja calcular x. admitamos uma solução por série, exatamente como fizemos nas equações diferenciais escalares elementares. Assim, Substituindo na equação diferencial, obtemos (4.110) Igualando os coeficientes semelhantes resulta (4.111) (4.112) Substituindo estes valores naeq. (4.110) resulta (4.113) Mas, da Eq. (4.110) Portanto, (4-114) (4.115) Seja (4.116)

4 Onde e At é simplesmente uma notação para a matriz formada pelo membro da direita da Eq. (4.116). Usamos esta definição porque o membro da direita da Eq. (4.116) lembra a expansão em série de potências de e at, ou seja (4.117) Usando a Eq. (4.115), temos (4.118) Damos um nome especial à matriz e At,ela se chama matriz de transição de estados,. Assim, e (4.119) (4.120) Da Eq. (4.120), (4.121) Assim, a primeira propriedade da matriz é (4.122) onde 1 é a matriz identidade. Além disso, derivando a Eq. (4.120) e igualando-a à Eq. (4.109), resulta (4.123) a qual, em t =0, fornece (4.124) Portanto, a segunda propriedade da matriz é: (4.125) Em resumo, a solução do sistema homogêneo, ou não forçado, é onde (4.126) (4.127) Resolvamos agora o problema forçado, ou não-homogêneo. Dada a equação de estado forçada rearranje e multiplique ambos os lados por e At x(t): (4.129) (4.130) Percebendo claramente que o membro da esquerda é igual à derivada do produto e At x(t), obtemos Integrando ambos os lados, vem (4.131) (4.132) uma vez que e At calculada em t = 0 é a matriz identidade. Resolvendo a Eq. (4.132):

5 (4.133) A integral na Eq. (4.133) é chamada integral de convolução. O primeiro termo do membro à direita da equação é a resposta devida ao vetor de estado inicial. Observe também que ele é o único termo que depende apenas do vetor de estado inicia! e não da entrada. Chamamos esta parte de resposta à entrada zero. O segundo termo, a integral de convolução, não depende do vetor de estado inicial. Chamamos esta parte de resposta no estado zero, uma vez que corresponde à resposta total se o vetor de estado inicial for zero. O primeiro termo da Eq. (4.96), a transformada de Laplace da resposta de sistema não forçado, é a transformada da Eq. (126): (4.134) Portanto, (si A) -1 é a transformada de Laplace da matriz de transição de estados, (t). Já vimos que o denominador de (si A) -1 é um polinômio em s cujas raízes são os pólos do sistema. Este polinômio é obtido da equação det(si A) = 0. Como (4.135) cada termo de (t) deve ser a soma de exponenciais geradas pelos pólos do sistema. Para Casa: Estudar exemplos 4.12 e 4.13 (incluídos abaixo)

6 Exemplo 4.12 Solução no domínio do tempo Problema Para a equação de estado e o vetor de estado inicial mostrados nas Eqs. (4.136), onde u(t) é um degrau unitário, determine a matriz de transição de estados e em seguida calcule x(t). (4.136a) (4.136b) Solução Como a equação de estado está na forma obtenha os autovalores usando det(si - A) = 0. Em conseqüência, s 2 + 6s + 8 = 0, de onde s 1 = -2 e s 2 = -4. Como cada termo da matriz de transição é a soma de respostas geradas pelos pólos (autovalores), supomos que a matriz de transição de estados seja da forma (4.137) (4.138) A fim de obter os valores das constantes, vamos usar as propriedades da matriz de transição de estados. Como (4.139) (4.140) e uma vez que (4.141) então (4.142) As constantes são calculadas usando quatro vezes duas equações simultâneas. Por exemplo, a Eq. (140a) pode ser resolvida simultaneamente com a Eq. (142a) para fornecer os valores de K 1 e de K 2. Procedendo de modo semelhante, podemos determinar todas as outras constantes. Portanto, (4.143)

7 Além do mais, (4.144) Em conseqüência, o primeiro termo da Eq. (4.133) é (4.145) O último termo da Eq. (4.133) é (4.146) Observe, como tinha sido anunciado, que a Eq. (4.146), a resposta no estado zero, contém não somente a resp.forçada, 1/8, mas também termos exponenciais que são parte do que se chamou anteriormente de resposta natural. Contudo, os coeficientes A e B não são dependentes das condições iniciais. O resultado final é encontrado somando-se as Eqs. (4.145) e (4.146). Portanto, (4.147) Exemplo 4.13 Matriz de transição de estados através da transformada de Laplace Problema Encontre a matriz de transição de estados do Exemplo 4.12, usando (si A)} -1. Solução Usamos o fato de que (t) é a transformada de Laplace inversa de (si A) -1. Assim, obtemos (si A) como: de onde (4.149) Expandindo cada um dos termos da matriz em frações parciais, vem (4.150) Finalmente, aplicando a transformada de Laplace inversa a cada um dos termos, obtemos (4.151)