Resumo. Sinais e Sistemas Transformada de Laplace. Resposta ao Sinal Exponencial. Transformada de Laplace

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1 Resumo Sinais e Sistemas Transformada de aplace lco@ist.utl.pt Instituto Superior Técnico Definição da transformada de aplace. Região de convergência. Propriedades da transformada de aplace. Sistemas caracterizados por equações diferenciais. Estabilidade e causalidade. Avaliação geométrica da CTFT a partir do mapa de pólos e zeros. Diagramas de Bode. Sinais e Sistemas p./57 Sinais e Sistemas p.2/57 Resposta ao Sinal Exponencial Transformada de aplace Vimos a resposta de um sistema contínuo, linear e invariante no tempo ao sinal exponencial complexo: t, x(t)=e jωt y(t)=h( jω)e jωt A transformada de aplace bi-lateral define-se como: s, X(s)= + x(t)e st dt Podemos generalizar para qualquer sinal exponencial: t, x(t)=e st y(t)= H(s)e st Em que H(s) se relaciona com a resposta impulsiva: s, H(s)= + h(t)e st dt ou seja: x(t) X(s) Sinais e Sistemas p.3/57 Sinais e Sistemas p.4/57

2 Transformada de Fourier A transformada de Fourier: ω, X( jω)= + x(t)e jωt dt É um caso particular da transformada de Fourier para s= jω: X(s) s= jω = X( jω) Calcular a transformada de aplace do sinal: t, x(t)=e at u(t) em que a, a>0eu(t) é a função escalão unitário. s {s Re(s)> a}, X(s)= s+a Sinais e Sistemas p.5/57 Sinais e Sistemas p.6/57 Região de Convergência Calcular a transformada de aplace do sinal: t, x(t)= e at u( t) em que a, a>0eu(t) é a função escalão unitário. A região de convergência (ROC) da transformada de aplace consiste nos valores de s=σ+ jω para os quais o integral da definição converge. Plano s Im s {s Re(s)< a}, X(s)= s+a a Re Sinais e Sistemas p.7/57 Sinais e Sistemas p.8/57

3 Pólos e Zeros Calcular a transformada de aplace do sinal: t, x(t)=e 2t u(t)+e t cos(3t)u(t) s {s Re(s)> }, X(s)= 2s 2 + 5s+2 (s 2 + 2s+0)(s+2) Nos exemplos anteriores, a transformada de aplace é racional, ou seja é um quociente de polinómios em s : X(s)= N(s) D(s) Chamam-se zeros de X(s) às raízes do polinómio do numerador. Chamam-se pólos de X(s) às raízes do polinómio do denominador. À representação gráfica dos pólos e zeros no plano s, chama-se mapa de pólos e zeros de X(s). Sinais e Sistemas p.9/57 Sinais e Sistemas p.0/57 Pólos e Zeros no Infinito Transformada de Fourier Se a ordem do polinómio do denominador exceder a do numerador: Ordem(D(s))=Ordem(N(s))+k a transformada X(s) tem k zeros no infinito. Se a ordem do polinómio do numerador exceder a do denominador: Ordem(N(s))=Ordem(D(s))+k a transformada X(s) tem k pólos no infinito. Se a região de convergência (ROC) da transformada de Fourier não incluir o eixo imaginário (Re(s)=0ou s= jω), a transformada de Fourier não converge. x(t)=e t u(t) X(s)= s+, Re(s)> x(t) tem transformada de Fourier x(t)= e t u( t) X(s)= s+, Re(s)< x(t) não tem transformada de Fourier Sinais e Sistemas p./57 Sinais e Sistemas p.2/57

4 Propriedades da ROC Propriedade : a ROC é composta por faixas paralelas ao eixo imaginário. Propriedade 2: para transformadas de aplace racionais, a ROC não contém pólos. Propriedade 3: se x(t) for de duração finita e absolutamente integrável, a ROC da sua transformada é todo o plano s. Calcular a transformada de aplace do sinal: t, x(t)= s, X(s)= { e at, 0<t<T 0, caso contrário { e (s+a)t, s a s+a T, s= a Sinais e Sistemas p.3/57 Sinais e Sistemas p.4/57 Propriedades da ROC Propriedades da ROC Propriedade 4: se x(t) for um sinal lateral direito e se a linha Re(s)=σ 0 pertencer à ROC, então todos os valores de s tal que Re(s)>σ 0 também pertencem à ROC. Propriedade 5: se x(t) for um sinal lateral esquerdo e se a linha Re(s)=σ 0 pertencer à ROC, então todos os valores de s tal que Re(s)<σ 0 também pertencem à ROC. Propriedade 6: se x(t) for um sinal bi-lateral e se a linha Re(s)=σ 0 pertencer à ROC, então a ROC consistirá numa faixa que inclui a linha Re(s)=σ 0. Propriedade 7: se a transformada de aplace for racional, então a sua ROC ou é limitada por pólos, ou se estende até ao infinito. Propriedade 8: se a transformada de aplace for racional, então se x(t) for lateral direito a ROC será a região à direita do pólo mais à direita, se x(t) for lateral esquerdo a ROC será a região à esquerda do pólo mais à esquerda. Sinais e Sistemas p.5/57 Sinais e Sistemas p.6/57

5 Transformada de aplace Inversa Determinar o número de sinais que podem ser associadas à transformada de aplace: s, X(s)= (s+)(s+2) Podemos associar um sinal bi-lateral, um lateral esquerdo e um lateral direito. No caso geral a inversão da transformada de aplace exige o recurso a um integral de circulação. No entanto, se a transformada for uma função racional, pode ser expandida na forma: X(s)= m i= A s+a i Em função da região de convergência, o sinal x(t) será uma soma de exponenciais na forma A i e a it u(t) ou A i e ait u( t). Sinais e Sistemas p.7/57 Sinais e Sistemas p.8/57 Solução Considere a equação de uma transformada de aplace: s X(s)= (s+)(s+2) Determine os sinais correspondentes à sua transformada inversa considerando as seguintes regiões de convergência:. Re(s)> 2. Re(s)< <Re(s)< x (t) x 2 (t) x 3 (t) = e t u(t) e 2t u(t) = e t u( t)+e 2t u( t) = e t u( t) e 2t u(t) Sinais e Sistemas p.9/57 Sinais e Sistemas p.20/57

6 inearidade Deslocamento Temporal ax (t)+bx 2 (t) ax (s)+bax 2 (s), ROC R R 2 x(t t 0 ) e st0 X(s), ROC=R A transformada de aplace é uma operação linear. Sinais e Sistemas p.2/57 Sinais e Sistemas p.22/57 Deslocamento no Domínio S Escalamento Temporal e s0t x(t) X(s s 0 ), ROC=R+Re(s 0 ) A ROC também é deslocada x(at) a X( s a ), ROC= R a Sinais e Sistemas p.23/57 Sinais e Sistemas p.24/57

7 Conjugado Convolução x(t) X (s ), ROC=R Os pólos e os zeros aparecem em posições conjugadas. x (t) x 2 (t) X (s)x 2 (s), ROC R R 2 A ROC pode ser maior se no produto houver cancelamento de pólos com zeros. Sinais e Sistemas p.25/57 Sinais e Sistemas p.26/57 Diferenciação no Tempo Diferenciação no Domínio S dx(t) dt sx(s), ROC R dx(s) tx(t) ds, ROC=R Sinais e Sistemas p.27/57 Sinais e Sistemas p.28/57

8 Determinar a transformada de aplace de: Determinar a transformada de aplace inversa de: X(s)= t, x(t)=te at u(t) (s+a) 2, ROC=Re(s)> a s Re(s)>, X(s)= 2s2 + 5s+5 (s+) 2 (s+2) t, x(t)=[2te t e t + 3e 2t ]u(t) Sinais e Sistemas p.29/57 Sinais e Sistemas p.30/57 Integração no Tempo Valor Inicial e Final t x(τ)dτ X(s), ROC R {Re(s)>0} s Se x(t)=0para t<0ese x(t) não tiver impulsos ou singularidades de ordem superior na origem: teorema do valor inicial: teorema do valor final: x(0 + )= lim s sx(s) lim x(t)=lim sx(s) t s 0 Sinais e Sistemas p.3/57 Sinais e Sistemas p.32/57

9 Função de Transferência Utilize o teorema do valor inicial para verificar se as seguintes funções constituem um par de aplace: t, x(t)=e 2t u(t)+e t cos(3t)u(t) s Re(s)>, X(s)= 2s 2 + 5s+2 (s 2 + 2s+0)(s+2) As transformadas de aplace da entrada e da saída de um sistema linear e invariante no tempo relacionam-se por: s, Y(s)=H(s)X(s) A H(s) chama-se função de transferência e é a transformada de aplace da resposta impulsiva do sistema. x(0 + )=2 lim 2s 2 + 5s+2 s (s 2 + 2s+0)(s+2) = 2 Sinais e Sistemas p.33/57 Sinais e Sistemas p.34/57 Pares de Transformadas de aplace Pares de Transformadas de aplace δ(t) δ(t t 0 ), s e st0, s u(t) s, Re(s)>0 u( t) s, Re(s)<0 tu(t) s2, Re(s)>0 tu( t) s2, Re(s)<0 e at u(t) s+a, Re(s)> a e at u( t) s+a, Re(s)< a te at u(t) (s+a) 2, Re(s)> a te at u( t) (s+a) 2, Re(s)< a Sinais e Sistemas p.35/57 Sinais e Sistemas p.36/57

10 Pares de Transformadas de aplace Causalidade s cos(ω 0 t)u(t), Re(s)>0 s 2 +ω 2 0 ω 0 sin(ω 0 t)u(t), Re(s)>0 s 2 +ω 2 0 e at s+a cos(ω 0 t)u(t), Re(s)> a (s+a) 2 +ω 2 0 e at ω 0 sin(ω 0 t)u(t), Re(s)> a (s+a) 2 +ω 2 0 A reposta impulsiva de um SIT causal é um sinal lateral direito Se a função de transferência é racional admite a factorização em fracções simples. A transformada inversa das fracções simples envolve a função u(t). Num SIT com função de transferência racional, a causalidade do sistema é equivalente à sua ROC ser o meio-plano à direita do pólo mais à direita. Sinais e Sistemas p.37/57 Sinais e Sistemas p.38/57 Determine a região de convergência da função de transferência do sistema com a seguinte resposta ao impulso: Determine a região de convergência da função de transferência do sistema com a seguinte resposta ao impulso: t, h(t)=e t u(t) t, h(t)=e t H(s)= s+, s {s Re(s)> } A função de transferência é racional e a ROC é a região à direita do pólo mais à direita: o sistema é causal. H(s)= 2 s 2, s {s <Re(s)<} A função de transferência é racional e a ROC não é a região à direita do pólo mais à direita: o sistema não é causal. Sinais e Sistemas p.39/57 Sinais e Sistemas p.40/57

11 Estabilidade Considere um sistema linear e invariante no tempo com a seguinte função de transferência: H(s)= es s+, s {s Re(s)> } Determine a resposta ao impulso do sistema e verifique se é causal. t, h(t)=e (t+) u(t+) O sistema não é causal apesar da ROC ser a região à direita do pólo mais à direita: a função de transferência não é racional. Um sistema é estável se a sua resposta ao impulso for absolutamente integrável. Nesse caso sua a transformada de Fourier converge. Para a transformada de Fourier convergir, a ROC da transformada de aplace tem de incluir o eixo imaginário (s = jω). Um SIT é estável se e só se a ROC da função de transferência H(s) incluir o eixo imaginário. Sinais e Sistemas p.4/57 Sinais e Sistemas p.42/57 Causalidade e Estabilidade Considere um sistema estável linear e invariante no tempo com a seguinte função de transferência: H(s)= s (s+)(s 2) Determine a resposta ao impulso do sistema. Apesar de não ser dada a região de convergência, é dito que o sistema é estável, pelo esta inclui o eixo imaginário: Um sistema causal com função de transferência H(s) racional é estável se e só se todos os pólos de H(s) estiverem no semi-plano esquerdo (todos os pólos têm parte real negativa). {s <Re(s)<2} t, h(t)= 2 3 e t u(t) 3 e2t u( t) Sinais e Sistemas p.43/57 Sinais e Sistemas p.44/57

12 Equações Diferenciais Determine a região de convergência da função de transferência do sistema com a seguinte resposta ao impulso: t, h(t)=e 2t u(t) Comente a causalidade e estabilidade do sistema. H(s)= s 2, s {s Re(s)>2} Muitos SITs podem ser caracterizados por uma equação diferencial de coeficientes constantes: N k=0 a k d k y(t) dt k = M k=0 b k d k x(t) dt k Aplicando a propriedade da diferenciação: H(s)= Y(s) M X(s) = k=0 b k s k N k=0 a ks k O sistema é causal mas é instável porque tem um pólo no semi-plano direito. Sinais e Sistemas p.45/57 Sinais e Sistemas p.46/57 Considere um sistema linear e invariante no tempo em que a entrada x(t) e a saída y(t) se relacionam pela equação diferencial: t, dy(t) dt + 3y(t)= x(t) Verifique que a equação diferencial não especifica por completo o sistema. H(s)= s+3 Sem mais informação não conseguimos determinar a região de convergência. Se o sistema for causal: H(s)= s+3, s {s Re(s)> 3} a resposta ao impulso será: t, h(t)=e 3t u(t) Sinais e Sistemas p.47/57 Sinais e Sistemas p.48/57

13 Representação da Amplitude da TF Considere que se conhecem os seguintes factos acerca de um SIT:. o sistema é causal; 2. a função de transferência é racional e tem dois pólos em s= 2 e s=4; 3. se x(t)=então y(t)=0; 4. a resposta impulsiva em t=0 + vale 4. Determine a sua função de transferência. A propriedade da transformada de Fourier da convolução aplicada a um sistema linear e invariante no tempo: Y( jω)=h( jω)x( jω) Como é muitas vezes mais simples fazer somas em vez de multiplicações, a amplitude da transformada de Fourier representa-se muitas vezes na forma logarítmica: 20 log 0 ( Y( jω) )=20 log 0 ( H( jω) )+20 log 0 ( X( jω) ) H(s)= 4s (s+2)(s 4), Re(s)>4 Esta escala de amplitudes refere-se à medida décibel (db). Sinais e Sistemas p.49/57 Sinais e Sistemas p.50/57 Décibel (db) Escala de Frequências ogarítmica H( jω) db = 20 log 0 ( H( jω) ) 0 db correspondem à resposta em frequência com amplitude. +20 db corresponde a um ganho de 0 vezes. 20 db corresponde a uma atenuação de 0,. 6 db corresponde a uma atenuação aproximada 0,5. +6 db corresponde a um ganho aproximada de 2. A representação da escala de frequências numa escala logarítmica na forma log 0 (ω) ou log 0 ( f ) é comum em sistema contínuos. Esta representação permite uma visualização mais compacta de uma gama de frequências do que a representação linear. A escala logarítmica de frequências permite uma aproximação assimptótica de sistemas contínuos, lineares e invariantes definidos por uma equação diferencial. Aos gráficos de H( jω) db e H( jω) numa escala de frequências logarítmica dá-se o nome de diagramas de Bode. Sinais e Sistemas p.5/57 Sinais e Sistemas p.52/57

14 Determinação Geométrica da CTFT Avaliação vectorial As transformada de aplace racionais podem ser representadas na forma: Fazendo s= jω: X(s)= M ΠR i= (s β i) Π P i= (s α i) X( jω) = M ΠR i= jω β i Π P i= jω α i R P X( jω) = ( jω β i ) ( jω α i ) i= i= jω β i é o módulo do vector desde o zeroβ i ao ponto s= jω; jω α i é o módulo do vector desde o póloα i ao ponto s= jω; ( jω β i ) é ângulo que o vector desde o zeroβ i ao ponto s= jω faz com o eixo real; ( jω α i ) é o ângulo que o vector desde o póloα i ao ponto s= jω faz com o eixo real. Sinais e Sistemas p.53/57 Sinais e Sistemas p.54/57 Sistema de a Ordem Esboçar a transformada de Fourier correspondente ao sinal com transformafa de aplace: X(s)= s+, Re(s)> X( jω) 2 = ω 2 +() 2 X( jω) = tan (ω) A transformada de aplace: Pólo: H(s)= h(t)= τ e t/τ u(t) sτ+, Re(s)> τ s= τ Sinais e Sistemas p.55/57 Sinais e Sistemas p.56/57

15 Conclusões A transformada de aplace pode ser vista como uma generalização da transformada de Fourier. Os sistemas e os sinais com transformada de aplace racional, podem ser caracterizados pelo seu mapa de pólos e zeros. A localização dos pólos e da região de convergência permitem determinar características como a causalidade e a estabilidade. A partir do mapa de pólos e zeros permite obter geometricamente a transformada de Fourier à parte um factor de escala. Sinais e Sistemas p.57/57