Circuitos Elétricos Circuitos de Segunda Ordem Parte 1

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1 Circuitos Elétricos Circuitos de Segunda Ordem Parte 1 Alessandro L. Koerich Engenharia de Computação Pontifícia Universidade Católica do Paraná (PUCPR)

2 Introdução Circuitos que contem dois elementos armazenadores de energia. São chamados de circuitos de segunda ordem, pois, suas respostas são descritas por equações diferencias que contem derivadas de 2 o grau.

3 Condição Inicial e Final Encontrar os valores iniciais e finais para: v, i, dv/dt, di/dt v(0), i(0), dv/dt, di/dt, v( ), i( ) Lembrete Usar sempre a convenção de sinais dos elementos passivos para v no capacitor e i no indutor. A tensão do capacitor não muda abruptamente A corrente no indutor não muda abruptamente

4 Exemplos: Condição Inicial e Final

5 Analise de um circuito RLC-Série sem fonte resposta natural 0 = 1 = (0) = Aplicando a LTK: =0

6 Diferenciando em relação a t: + + =0 Nosso objetivo é resolver a equação diferencial de segunda ordem acima. Para isso precisamos de duas condições iniciais: () ou () Com as duas condições iniciais podemos resolver a equação diferencial de segunda ordem.

7 Sabemos que dos circuitos de primeira ordem que a solução é da forma exponencial, então, fazendo: onde A e s são constantes a serem determinadas. Substituindo, temos: ou

8 como é a solução que assumimos, somente a expressão entre parenteses pode ser zero. Esta equação é chamada de equação característica, pois suas raízes controlam a característica de i. As duas raízes são:

9 Uma representação mais compacta das raízes: onde: 2 2 As raízes s 1 e s 2 são chamadas de frequencias naturais, medidas em Nepers/s (Np/s). ω 0 é chamada de frequencia de ressonancia, expressa em rad/s. α é o fator de amortecimento

10 Podemos expressar a equação da solução em termos de α e ω 0 como: 2 Os dois valores de s indicam que existem duas soluções possiveis para i, ambas da forma: Uma solução completa necessita de uma combinação linear de i 1 e i 2. Assim, a resposta natural de um circuito RLC-Série é: 1 2 onde as constantes A 1 e A 2 são determinadas a partir dos valores iniciais de i(0) e di(0)/dt.

11 Pode-se observar que existem quatro casos possíveis de combinações para α e ω 0 : 1. Se α>ω 0 temos o caso superamortecido. As raízes da equação característica do circuito são diferentes e reais. 2. Se α = ω 0 temos o caso criticamente amortecido As raízes da equação característica do circuito são iguais e reais. 3. Se α <ω 0 temos o caso subamortecido As raízes são complexas conjugas. 4. Se α = 0 e ω d = ω 0 temos o caso sem amortecimento ou oscilatório puro. As raízes são puramente complexas

12 Caso superamortecido (α >ω 0 ). α>ω 0 implica >4. Quando isso acontece, tanto s 1 quanto s 2 são negativas e reais. A resposta é: = que cai e tende a zero a medida que t aumenta.

13 Caso criticamente amortecido (α = ω 0 ). quando α = ω 0 implica =4 e: 1 = 2 = = 2 A resposta é: = ( )

14 Caso subamortecido (α < ω 0 ). Para α < ω 0 temos <4 e as raízes são: 2 2 onde = 1 e = 2 que é chamada de frequencia de amortecimento. Tanto ω 0 quanto ω d são frequencias naturais. Enquanto ω 0 é chamada de frequencia natural sem amortecimento, ω d é chamada frequencia natural amortecida.

15 A resposta natural é: = 1 ( ) + 2 ( ) = ( ) usando as identidades de Euler: temos: = + = = [ 1 ( + ) + 2 ( )] = [( ) + ( 1 2 ) ] substituindo as constantes (A 1 +A 2 )ej(a 1 +A 2 ) por constantes B 1 e B 2 temos:

16 substituindo as constantes (A 1 +A 2 )ej(a 1 +A 2 ) por constantes B 1 e B 2 temos: = ( ) Com a presença das funções seno e cosseno na resposta, a resposta natural para este caso será exponencialmente amortecida e oscilatória. A resposta tem uma constante de tempo 1 e um período =2.

17 Uma vez determinada a corrente i(t), outros valores podem ser encontrados. Por exemplo: Tensão no resistor: = Tensão no indutor: =/

18 Particularidades de um circuito RLC: 1. O comportamento é caracterizado por amortecimento, onde a energia inicial armazenada é gradualmente dissipada devido a presença de R. O fator de amortecimento α determina a taxa na qual a resposta é amortecida. Se R =0,entãoα = 0 e temos um circuito LC com 1 como frequencia natural sem amortecimento. 2. Resposta oscilatória é possivel devido a presença de L e C que permite que a energia seja trocada entre ambos. 3. É dificil diferenciar as formas de onda das respostas superamortecidas e criticamente amortecida.

19 Circuito RLC-Paralelo Sem Fonte Analise de um circuito RLC-Paralelo sem fonte resposta natural 0 = 0 = 1 () (0) = Aplicando a LCK no nó superior: =0

20 Circuito RLC-Paralelo Sem Fonte Diferenciando em relação a t e dividindo por C, temos: =0 Obtemos a equação característica substituindo a primeira derivada por s e a segunda por s 2 :

21 Circuito RLC-Paralelo Sem Fonte Esta equação é chamada de equação característica, pois suas raízes controlam a característica de i. As duas raízes são: ou 2 2

22 Circuito RLC-Paralelo Sem Fonte onde: ω 0 é chamada de frequencia de ressonancia, expressa em rad/s. α é o fator de amortecimento Novamente, temos quatro soluções possíveis, dependendo da relação entre ω 0 e α.

23 Circuito RLC-Paralelo Sem Fonte Caso superamortecido (α >ω 0 ). α>ω 0 implica >4 2. Quando isso acontece, tanto s 1 quanto s 2 são negativas e reais. A resposta é: = Caso criticamente amortecido (α = ω 0 ). α = ω 0 implica =4 2. As raízes são reais e iguais: = ( )

24 Circuito RLC-Paralelo Sem Fonte Caso subamortecido (α < ω 0 ). Para α < ω 0 temos <4 2 e as raízes são complexas: 2 2 onde = 1 e = 2 que é chamada de frequencia de amortecimento. A resposta é: = ( )

25 Circuito RLC-Paralelo Sem Fonte As constantes A 1 e A 2 podem ser determinados a partir das condições iniciais. Necessitamos v(0) e dv(0)/dt. O primeiro obtemos de: (0) = Obtemos o segundo termo de: ou (0) (0) =0 = ( )

26 Circuito RLC-Paralelo Sem Fonte As formas de onda são similares as do circuito RLC- Série. Uma vez determinada a tensão v(t), outros valores podem ser encontrados. Por exemplo: Corrente no resistor: = Tensão no capacitor: =/