Circuitos Elétricos Senoides e Fasores

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1 Circuitos Elétricos Senoides e Fasores Alessandro L. Koerich Engenharia de Computação Pontifícia Universidade Católica do Paraná (PUCPR)

2 Introdução Corrente contínua x corrente alternada. Ver War of Currentes Análise de circuitos onde a fonte de tensão ou corrente varia no tempo. Em particular, nosso interesse é em fontes variantes no tempo de forma senoidal. Uma senoide é um sinal que tem a forma de uma função seno ou coseno.

3 Introdução Uma corrente senoidal é normalmente chamda de corrente alternada (ca) (alternating current ac). A corrente é revertida em intervalos de tempo regulares e tem, alternadamente, valores positivos e negativos.

4 Senóides Considere a tensão senoidal = onde V m = amplitude da senóide ω = frequência angular em radianos/s ωt = argumento da senóide A senóide se repete a cada T segundos, logo T é chamado de período da senóide. Temos a relação: = 2

5 Senóides Como v(t) se repete a cada T segundos: Uma função periódica é aquele que satisfaz para todo t e para todos inteiros n. Vamos considerar agora uma expressão mais geral para a senoide: onde é o argumento e é a fase.

6 Senóides Considerando duas senóides: ocorre primeiro tempo. Portanto 2 está na frente de 1 por ϕ ou 1 está atrasada de 2 por ϕ.

7 Senóides Se 0, 1 e 2 estão fora de fase. Se =0, 1 e 2 estão em fase. Uma senoide pode ser expressa tanto na forma de seno e cosseno. Podemos usar as seguintes identidades trigonométricas: ± = cos ± cos ± = cos cos sen Com estas identidades ± 180 ± 180 ± 90 ± 90 = = = ± =

8 Senóides Para adicionar duas senoides de mesma frequência: onde 2 2

9 Fasores Senoides podem ser expressar em termos de fasores, que são convenientes para trabalhar com funções seno e cosseno. Fasor é um número complexo que representa a amplitude e fase de uma senoide. Um número complexo z pode ser escrito na forma retangular como: onde ; x é a parte real de z; y é a parte imaginária de z.

10 Fasores O número complexo z pode ser escrito na forma polar como: = = onde r é a magnitude de z e ϕ é a fase de z. z pode ser representado em três formas: retangular: = + polar: = exponencial: = Se conhecemos x e y, a relação entre a forma polar e retangular é: = =

11 Fasores Se conhecemos r e ϕ, podemos obter x e y: Então, z pode ser escrito como:

12 Fasores Operações: OBS: notar que =

13 Fasores A idéia da representação por fasores é baseada na identidade de Euler: ± O que mostra que podemos tratar e como as partes real e imaginária de. Podemos escrever: Dada uma senoide, podemos expressá-la por:

14 Fasores ou então onde = Re( ) = Re( ) = = V é portanto a representação fasorial da senoide v(t).

15 Fasores Suprimindo o fator tempo, transformamos a senoide do dominio do tempo para o dominio do fasor: Note que fator foi suprimido e a frequencia não aparece no fasor, pois é constante, porém a resposta depende dela, por isso, o domínio fasor é também conhecido como domínio da frequencia.

16 Fasores

17 Fasores Das equações anteriores temos: então: = Re = + = + = =Re ω =Re Isso mostra que: Do mesmo modo:

18 Fasores As equações anteriores são úteis para encontrar a solução em regime permanente, sem precisar conhecer as condições iniciais das variáveis envolvidas. As diferenças entre v(t) e V são: 1. v(t) é a representação instantânea ou no domínio do tempo, enquanto V é a representação fasor ou no domínio da frequencia. 2. v(t) é dependente do tempo, enquanto V não é. 3. v(t) é sempre real sem termo complexo, enquanto V é geralmente complexo. Atenção! A análise de fasores somente se aplica quando a frequência é constante e é a mesma para dois ou mais sinais senoidais.

19 Fasores e Elementos de Circuitos Transformar a relação tensão-corrente do domínio do tempo para o domínio da frequência. Novamente, assumimos a convenção de sinais para os elementos passivos. Para o resistor, assumindo que a corrente através dele é, a tensão sobre ele será: = = + = Mas a representação fasor da corrente é =, então: =

20 Fasores e Elementos de Circuitos Relação tensão-corrente para o RESISTOR no domínio do tempo e da frequência. Diagrama de fasores para o RESISTOR:

21 Fasores e Elementos de Circuitos Para o indutor, assumindo que a corrente através dele é, a tensão sobre ele será: = = + = o Sendo a representação fasor: = ( ) = = +90 o Mas a representação fasor da corrente é = e =, então: =

22 Fasores e Elementos de Circuitos Relação tensão-corrente para o INDUTOR no domínio do tempo e da frequência. Diagrama de fasores para o INDUTOR:

23 Fasores e Elementos de Circuitos Para o capacitor, assumindo que a tensão sobre ele é, a corrente sobre ele será: = Seguindo os mesmos passos anteriores, temos a representação fasor: = =

24 Fasores e Elementos de Circuitos Relação tensão-corrente para o CAPACITOR no domínio do tempo e da frequência. Diagrama de fasores para o CAPACITOR:

25 Fasores e Elementos de Circuitos Resumo das relações tensão-corrente:

26 Impedância e Admitância A partir da relação tensão-corrente para os três elementos passivos: temos: = = = = = = Podemos então obter a lei de Ohm na forma fasor para qualquer tipo de elemento, como: = ou = onde Z é uma quantidade dependente da frequencia conhecida como impedância, medida em ohms (Ω).

27 Impedância e Admitância A impedância Z de um circuito é a relação entre a tensão fasor V e a corrente fasor I, medida em ohms (Ω). Da tabela, temos que para =0( =0, ) e para (, =0), assim:

28 Impedância e Admitância Sendo uma quantidade complexa, a impedância pode ser expressa na forma retangular: = + onde =Re( )é a resistência e =Im( ) é a reatância. Observe que a reatância pode ser positiva (reatância indutiva) ou negativa (reatância capacitiva), pois: então: = = + (reatância indutiva corrente atrasada em relação a tensão) = (reatância capacitiva corrente adiantada em relação a tensão) A impedância Z pode também ser escrita na forma polar: =

29 Impedância e Admitância onde: = + = e: = + = = = As vezes é conveniente utilizar o reciproco da impedância, chamada de admitância.

30 Impedância e Admitância A admitância Y é reciproca à impedância, medida em siemens (S). = 1 = e pode ser escrita: = + onde = Re( ) é a condutância e = Im( ) é a susceptância. Relacionando Y e Z: + = 1 + temos os termos real e imaginário: = + = +

31 Leis de Kirchhoff no Domínio da Frequência Para analisar circuitos no domínio da frequência devemos expressar as Leis de Kirchhoff no domínio da frequência: No regime permanente senoidal: =0 cos ( + )+ cos ( + )+ + cos ( + )=0 Re( )+Re( )+ +Re( )=0 Se =, então: Como 0, então: Re[( ) ]=0 Re[( ) ]= =0 uu seja, a LTK se mantém para fasores.

32 Leis de Kirchhoff no Domínio da Frequência Podemos adotar um procedimento similar para mostrar que a LCK se mantém para fasores: =0 Se I 1, I 2,, I n são a forma fasor das senoides i 1, i 2,, i n, então: =0 que é a LCK no domínio da frequência.

33 Combinação de Impedâncias Em série: = =0 Em paralelo: = = =0

34 Combinação de Impedâncias Transformações Delta-Y e Y-Delta:

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