Universidade Federal do Rio de Janeiro. Princípios de Instrumentação Biomédica. Módulo 4

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1 Universidade Federal do Rio de Janeiro Princípios de Instrumentação Biomédica Módulo 4 Faraday Lenz Henry Weber Maxwell Oersted

2 Conteúdo 4 - Capacitores e Indutores Capacitores Capacitor linear e invariante com o tempo Modelo Thévenin e Norton Energia acumulada no capacitor Associação de capacitores Associação Série Associação Paralela Indutores Indutor linear e invariante Modelo de Thévenin e Norton Indutor não linear Energia armazenada no indutor Associação de indutores Associação Série Associação Paralela Lei dos nós e das malhas para equacionar circuitos RLC Exercícios...18

3 4 Capacitores e Indutores Capacitores e indutores são elementos passivos, como os resistores, porém ao invés de dissipar energia estes elementos são capazes de absorver e fornecer energia. Isto ocorre porque a energia absorvida fica armazenada na forma de campo elétrico ou magnético. Capacitores e indutores podem ser lineares ou não lineares, variantes ou invariantes e também podem ser associados como as resistências. A eles também se estendem todos os conceitos de análise considerados anteriormente. 4.1 Capacitores Capacitores são elementos capazes de armazenar energia sob a forma de campo elétrico. O símbolo do capacitor pode ser visto na figura abaixo. Alguns capacitores, por motivos meramente construtivos, podem ser polarizados e, nestes casos, utiliza-se um símbolo ligeiramente diferente onde uma das barras aparece curva ou na forma de um retângulo que pode estar pintado. Princípios de Instrumentação Biomédica COB 781 1

4 Os capacitores são formados por duas superfícies condutoras separadas por um isolante de tal forma que não há contato elétrico entre os dois terminais do capacitor. Estas superfícies, entretanto ficam muito próximas uma da outra de forma que cargas elétricas que se deslocam para uma das superfícies repelem cargas da outra superfície permitindo a circulação de corrente. Observe que a resistência entre os dois terminais do capacitor é infinita porém há circulação de corrente e ela respeita a lei das correntes de Kirchhoff, mesmo assim há uma diferença líquida de cargas entre os dois terminais do capacitor de forma que surge sobre seus terminais uma diferença de tensão que permanece no capacitor depois que ele é desconectado do circuito. Esta característica definida pela razão entre cargas no capacitor e tensão sobre seus terminais chama-se capacitância: C= q t, onde C é a capacitância (Farad F) v t 4.2 Capacitor linear e invariante com o tempo Um capacitor linear e invariante no tempo é definido como q t =c v t de tal forma que dq t =C dv t dt dt e i=c dv dt, (uma relação linear) ou v= 1 t C i t ' dt ' v 0, (uma relação linear apenas se v 0 =0 ) 0 Princípios de Instrumentação Biomédica COB 781 2

5 Observa-se que a equação de v só pode ser obtida se for conhecido o valor de v 0, ou seja, a condição inicial da integral e do capacitor. Por esta razão todas as equações que envolvam capacitor só podem ser resolvidas se, tanto o valor de C como de v 0 forem conhecidos (mesmo que se utilize a equação com diferencial, como veremos mais a frente). Além disto para que os circuitos envolvendo capacitores sejam lineares é necessário que v 0 seja nulo ou seja as condições iniciais sejam nulas. Esta situação é chamada de estado zero. Se v 0 não for nulo podemos representar o capacitor não linear por um modelo que emprega um capacitor descarregado em série com uma fonte de tensão conforme indicado na figura abaixo. Observe que esta associação (capacitor-fonte) é um equivalente ao capacitor carregado. Adicionalmente observa-se que a corrente no capacitor depende de uma derivada ao passo que a tensão depende de uma integral. Isto significa que a corrente no capacitor pode variar instantaneamente. Já a tensão sobre o capacitor só pode variar instantaneamente se i(t) for infinita como uma função impulso. Alguns autores utilizam o termo inércia de tensão para indicar que a tensão no capacitor não pode variar instantaneamente. Destas observações decorre que, em circuitos de corrente contínua (CC) e chaveados (com ondas de tensão ou corrente pulsadas), o capacitor irá se comportar como um curto circuito para transições rápidas (como degraus e impulsos) e como circuito aberto para corrente contínua. Entre o chaveamento e o estabelecimento de uma corrente contínua constante há um período transitório onde o capacitor se carrega e não pode ser considerado como nenhuma das duas situações acima. Exemplo: No circuito abaixo a chave ch1 fecha em t=0. Calcular a corrente e a tensão no capacitor para t=0 + e t=. Princípios de Instrumentação Biomédica COB 781 3

6 t=0 +, (capacitor é um curto circuito) =0 i C1 = v 1 =10A t=, (capacitor é um circuito aberto) i C1 =0 = v 1 R 2 R 2 =7,5V Modelo Thévenin e Norton Conforme apresentado na secção anterior um modelo para capacitor carregado é obtido pela associação série de um capacitor descarregado com uma fonte de tensão formando um equivalente Thévenin. Naturalmente este modelo Thévenin pode ser transformado em um modelo Norton equivalente como apresentado na figura abaixo Para o equivalente Thévenin Princípios de Instrumentação Biomédica COB 781 4

7 v= 1 C i dt vs i=c d v vs =C dv dt dt C dvs dt Para o equivalente Norton v= 1 C i is dt= 1 C i dt 1 C is dt i=c dv dt is Desta forma, para que as equações de v e i sejam iguais nos dois modelos temos que vs t = 1 t C is t ' dt e 0 is t =C dvs dt 4.3 Energia acumulada no capacitor A energia pode ser obtida pela integral da potência ao longo do tempo. Num capacitor a energia não é dissipada mas sim armazenada na forma de campo elétrico. Assim sendo a energia armazenada em um capacitor é igual a energia fornecida a ele por uma fonte. t w t 0, t = v t ' i t ' dt ' t 0 q t w t 0, t = v q 1 dq 1 (área entre o eixo q e a curva) q t 0 q t w t = v q 1 dq 1. 0 Princípios de Instrumentação Biomédica COB 781 5

8 Para um capacitor linear invariante q t w t = q 1 C dq 1 0 w t = 1 2 q2 t C w t = 1 2 C v2 Um capacitor passivo é aquele que apresenta energia armazenada maior ou igual a zero. Assim um capacitor linear invariante é passivo se sua capacitância é não negativa e ativo se sua capacitância é negativa. 4.4 Associação de capacitores Capacitores ligados em série ou paralelo podem ser substituídos por um capacitor equivalente tal que a relação entre v e i nos terminais da associação seja igual a relação entre v e i no equivalente. Princípios de Instrumentação Biomédica COB 781 6

9 4.4.1 Associação Série Pela LTK e LCK v= v C2 v= 1 C 1 i t dt 1 C 2 i t dt v= 1 C 1 1 C 2 i t dt v= 1 C EQ i t dt onde 1 C EQ = 1 1 C 1 C 2. Genericamente 1 = C EQ 1 C n Associação Paralela Utilizando a LTK e a LCK Princípios de Instrumentação Biomédica COB 781 7

10 i=i C1 i C2 i=c 1 dv dt C dv 2 dt i= C 1 C 2 dv dt i=c EQ dv dt onde C EQ = C 1 C 2 Genericamente C EQ = C n 4.5 Indutores Indutores são elementos armazenadores de energia na forma de campo magnético. O símbolo do indutor é apresentado na figura abaixo. Algumas vezes o símbolo do indutor apresenta alguma marcação como um circulo próximo a um de seus terminais ou vem acompanhado de outro indutor. Estes símbolos pertencem a indutores acoplados que serão estudados separadamente em outros capítulos. Princípios de Instrumentação Biomédica COB 781 8

11 O indutor é formado por um fio enrolado de tal forma a concentrar o campo magnético produzido quando o condutor é percorrido por corrente elétrica. O resultado é que a corrente que percorre o indutor torna-se dependente do fluxo magnético gerado. A característica de indutância é dada pela razão entre fluxo magnético e corrente L= t i t onde é fluxo magnético (weber W) e L é indutância (Henry H). 4.6 Indutor linear e invariante O indutor linear e invariante apresenta a seguinte característica t =L i t. Pela lei da indução de Faraday temos que v t = d dt. Esta lei, associada aos sentidos estabelecidos para corrente e tensão estão em acordo com a lei de Lenz que estabelece que a força eletromotriz induzida por uma variação de fluxo tem polaridade tal que se opõe à causa desta variação. Supondo que a corrente aumente, a Princípios de Instrumentação Biomédica COB 781 9

12 derivada do fluxo e a tensão sobre o indutor também aumentarão. Neste caso a polaridade da tensão é tal que tende a impedir novos aumentos da corrente. Utilizando as duas relações acima é possível determinar uma forma mais útil para caracterizar o indutor em termos de tensão e corrente em seus terminais. di t v t =L dt (uma relação linear) ou i t = 1 t L v t ' dt ' i 0 (uma relação linear apenas se i 0 =0 ) 0 Assim como ocorre com o capacitor o indutor também só pode ser perfeitamente caracterizado se conhecermos sua indutância L e a condição inicial i 0, ou seja, a corrente que circulava por ele antes da análise começar. O indutor também só pode ser considerado linear se a sua condição inicial for nula e caso não seja, pode ser modelado por um indutor descarregado em paralelo com uma fonte de corrente, como mostrado na figura abaixo. Observa-se que a corrente no indutor é obtida por uma integral e que a tensão é obtida por uma derivada. Isto significa que a tensão no indutor pode mudar instantaneamente ao passo que a corrente só pode mudar instantaneamente se a tensão sobre o indutor assumir valores infinitos (função impulso). Alguns autores denominam este efeito de inércia de corrente. Também resulta, desta observação, que em circuitos de corrente contínua ou pulsados o indutor se comporta como um circuito aberto para transições rápidas (degraus e impulsos) e como um curto circuito para corrente contínua (quando não há mais variações de tensão ou corrente). Entre o chaveamento e o estabelecimento de uma corrente contínua Princípios de Instrumentação Biomédica COB

13 constante há um período transitório onde o indutor se carrega e não pode ser considerado como nenhuma das situações acima. Exemplo: Calcular as tensões e correntes no indutor para t=0 + e t=. Para t=0 + v L1 =v 1 =10V =0A Para t= v L1 =0V = v 1 =10A Modelo de Thévenin e Norton O modelo que representa o indutor carregado, apresentado acima, é semelhante ao modelo de Norton o que significa que ele também poderia ser representado por um modelo Thévenin equivalente. Os dois modelos estão apresentados na figura abaixo Princípios de Instrumentação Biomédica COB

14 Para que ambos os modelos sejam equivalentes é necessário que vs t =L dis t dt e is t = 1 t L vs t ' dt ' Indutor não linear Muitos indutores físicos têm característica não linear. Somente para uma faixa de valores de corrente em torno da origem o indutor é linear, para correntes de valor mais elevado o fluxo satura (apresenta pouca variação para uma mesma variação de corrente). Biologicamente este efeito também pode ocorrer com elementos que se comportam como resistência ou capacitância. Um dos efeitos não lineares mais comuns se chama histerese e é apresentada no gráfico da figura abaixo. Quando a corrente aumenta o fluxo aumenta por uma curva 1 porém quando a corrente diminui o fluxo diminui por uma curva 2 diferente da primeira. Este comportamento é ilustrado na figura abaixo. 4.8 Energia armazenada no indutor A energia pode ser obtida pela integral da potência ao longo do tempo. O indutor, da mesma forma que o capacitor é capaz de armazenar energia ao invés de dissipá-la. Esta Princípios de Instrumentação Biomédica COB

15 energia fica armazenada no campo magnético criado entorno do indutor. Assim sendo a energia armazenada em um indutor é igual a energia fornecida a ele por uma fonte. t w t 0, t = v t ' i t ' dt ' t 0 t w t 0, t = i 1 d 1 (área entre o eixo e a curva) t 0 t w t = i 1 d 1 0 A área entre as duas curvas 1 e 2 no gráfico da histerese representa perda de energia gasta para magnetizar o indutor. Quando maior a curva de histerese maior as perdas no indutor. Para um indutor linear e invariante t w t = 1 0 L d 1 w t = t L w t = 1 2 L i2 t Um indutor passivo é aquele que apresenta energia armazenada maior ou igual a zero. Assim um indutor linear invariante é passivo se sua indutância é não negativa e ativo se sua indutância é negativa. 4.9 Associação de indutores Indutores ligados em série ou em paralelo também podem ser substituídos por um indutor equivalente do ponto de vista da tensão e da corrente nos terminais da associação. Princípios de Instrumentação Biomédica COB

16 4.9.1 Associação Série Usando a LTK e LCK v=v L1 v L2 v L =L 1 di dt L di 2 dt v= L 1 L 2 di dt v= L EQ di dt onde L EQ =L 1 L 2. Genericamente L EQ = L n Associação Paralela Usando a LCK e a LTK Princípios de Instrumentação Biomédica COB

17 i= i L2 i= 1 L 1 v t dt 1 L 2 v t dt i= 1 L 1 1 L 2 v t dt i= 1 L EQ v t dt onde 1 L EQ = 1 L 1 1 L 2 Genericamente 1 = L EQ 1 L n 4.10 Lei dos nós e das malhas para equacionar circuitos RLC As leis de Kirchhoff são válidas para circuitos com capacitores, indutores e resistores que incluam fontes dependentes ou não. Por esta razão as sistematizações apresentadas para a LCK e LTK também são válidas. No circuito abaixo iremos equacionar as tensões nós. para o nó A (na fonte de corrente) Princípios de Instrumentação Biomédica COB

18 C 1 dv A dt v A 1 L 1 v A v B dt I 0 =I1 para o nó B (no resistor R 2 ) 1 L 1 v B v A dt I 0 v B R 2 =0 a condição inicial do problema é v A 0 =V 0 Com estas equações já temos o sistema de equações diferenciais que resolvem o problema. Se a solução particular é a tensão sobre o resistor R 2 então podemos obter esta equação somando as duas equações C 1 dv A dt v A v B R 2 =I1 e a tensão v A pode ser obtida derivando a segunda equação duas vezes 1 L 1 v B 1 L 1 v A 1 R 2 dv B dt =0 assim v A =v B L 1 dv B R 2 dt dv A dt = dv B dt L 1 R 2 d 2 v B dt 2 substituindo v A temos L 1 C 1 d 2 v B dt 2 R 2 C 1 L 1 dv B dt 1 R 2 v B=R 2 I1 as condições iniciais são Princípios de Instrumentação Biomédica COB

19 v A 0 =V 0 =R 2 I1 e dv B 0 = R 2 [v dt L A 0 v B 0 ]= R 2 [V 1 L 0 R 2 I1] 1 O método de análise de malhas também pode ser utilizado. Neste caso a fonte de corrente em paralela com um resistor pode ser substituída pelo seu equivalente Thevenin. para a primeira malha i 1 V 0 1 t i C 1 i 2 dt '=V1 1 0 para a segunda malha L 1 di L2 dt R i V 1 t C 1 0 a condição inicial do problema é i 2 i 1 dt '=0 i 2 0 =I 0 As equações acima garantem o sistema capaz de resolver o problema. Se estivermos interessados em uma resposta particular como a tensão sobre R 2 então podemos manipular as equações para obter a resposta desejada. Para isso podemos somar as duas equações acima i 1 L 1 di 2 dt R 2 i 2 =V1 Princípios de Instrumentação Biomédica COB

20 i 1 = L 1 di 2 dt R 2 i 2 V1 Derivando a segunda equação obtemos L 1 d 2 i 2 dt 2 R 2 di 2 dt i 2 C 1 i 1 C 1 =0 e substituindo i 1 L 1 C 1 d 2 i 2 dt R 2 C 2 1 L 1 1 R di 2 dt 1 2 R i 2= V1 i 2 0 =I 0 di 2 0 = 1 V dt L 0 R 2 I 0 1 L 1 C 1 d 2 v 2 dt 2 R 2 C 1 L 1 dv 2 dt 1 R 2 v 2=R 2 I1 v 2 0 =R 2 I 0 dv 2 0 dt = R 2 L 1 V 0 R 2 I Exercícios 1) Os circuitos das figuras abaixo estão operando em regime permanente, quando em t=0s, a chave S1 fecha. Determinar as correntes e tensões nos capacitores e indutores para os instantes imediatamente antes e depois do fechamento da chave e para tempo infinito: i L (0 ), i L (0 + ), i C (0 ), i C (0 + ), i L ( ), i C ( ), v C (0 ), v C (0 + ), v C ( ), v L (0 ), v L (0 + ), v L ( ), di L (0 )/dt, di L (0 + )/dt, dv C (0 )/dt, dv C (0 + )/dt. a) Considere Is1(t) uma fonte constante e independente e o capacitor descarregado. Princípios de Instrumentação Biomédica COB

21 Considerando a corrente fluindo da esquerda para a direita: 0 - =0V, i C1 0 - =0A, d 0+ dt C = 0 -, i C1 0 + = Is1 G G 1 G 1, d 0+ 1 dt C 1 =Is1, i C1 =0A b) Considerando a corrente fluindo da esquerda para a direita: 0 - =0A, v L1 0 - =0V, d 0- = v L1 0- dt L =0A, v L1 0 + = I1, d 0+ = v L1 0+ dt L 1 =I1, v L1 =0V. c) Considere V1(t) uma fonte constante e o capacitor descarregado. Princípios de Instrumentação Biomédica COB

22 Considerando a corrente fluindo da esquerda para a direita: 0 - = V1, v R L1 0 - =0V, d 0- = v L1 0-1 dt L = V1, v R L1 0 + =V1, d 0+ = v L dt L 1 = V1, v L1 =0V. 0 - =0V, i C1 0 - =0A, d 0+ dt C =0V, i C1 0 + = V1, d 0+ dt C 1 =V1, i C1 =0A. d) V1(t) é uma fonte constante e independente. Considerando a corrente fluindo da esquerda para a direita e de cima para baixo: 0 - = V1, v R L1 0 - =0V, d 0- = v L1 0-1 dt L 1 Princípios de Instrumentação Biomédica COB

23 0 + = V1, v R L1 0 + =0V, d 0+ = v L dt L 1 = V1, v L1 =0V. 0 - =V1, i C1 0 - =0A, d 0+ dt C =V1, i C1 0 + = V1, d 0+ R 2 dt C 1 =0V, i C1 =0A. e) V1(t) é uma fonte constante e independente Fazendo um Thévenin sem incluir C 1 nem o ramo de R 2. Em circuito aberto: v CA =v 2 = R 3 i 1 = R 3 V1 2 v 2, logo v CA = R3 V1 2 R 3 Em curto circuito: i CC =I =i 1 = V1 V B1 = V1. 1 V TH =v CA, R TH = v CA I CC 0 - =V TH, i C1 0 - =0A, d 0+ dt C 1 Princípios de Instrumentação Biomédica COB

24 0 + =V TH, i C1 0 + = V TH R 2, d 0+ dt C 1 V TH = R R TH R 2, i C1 =0A. 2 f) V1 t =u t Como Vo t = t, i C1 será determinado da direita para a esquerda. 0 - =0V, i C1 0 - =0A, d 0+ dt C =0V, i C1 0 + = i R2 = V1, d 0+ R 2 dt C 1 = V1 R 2, i C1 =0A. g) V1 t =u t Princípios de Instrumentação Biomédica COB

25 0 - =0V, i C1 0 - =0A, d 0+ dt C =0V, i C1 0 + = V1, d 0+ dt C 1 =V1, i C1 =0A. 2) Determine ( ), (0 + ), ( ), (0 + ) Considerando a corrente fluindo da esquerda para a direita e de cima para baixo: 0 + =0A, =I1 v C2 0 + =0V, v C2 = I1 R 2. 3) Para o circuito abaixo determine v C (0 ), v C (0 + ), i C (0 ), i C (0 + ), v C ( ), i C ( ). Calculando o Thévenin do circuito sem o capacitor: R TH = R 2 // R 3 onde // indica em paralelo com Princípios de Instrumentação Biomédica COB

26 I1 I2 V TH t = G G 1 G SERIE R 3 SERIE onde G SERIE = G 2 G 3 G 2 G 3 v C 0 - =V TH 0 -, i C 0 - =0A v C 0 + =V TH 0 -, i C 0 + = V TH 0+ V TH 0 - R TH v C =V TH 0 +, i C =0A. 4) Supondo v 1 (t) e i 1 (t) fontes independentes e iguais a um degrau unitário de tensão e corrente respectivamente, determine a tensão sobre a fonte i 1 (t) e as expressões para v L2 (t) e iv(t). v L2 = L 2 t v i1 v 1 v L2 v R2 =0 v i1 =u t L 2 t i1 R 2 i v i1 i C1 =0 i v =i1 1 L u t dt C t Princípios de Instrumentação Biomédica COB

27 5) Na figura abaixo o circuito se apresenta em regime permanente (todas as tensões e correntes são constantes) quando, em t=0 a chave S1 troca de posição. Calcule (0 ), (0 + ), i C1 (0 ), i C1 (0 + ), ( ), i C1 ( ), (0 ), (0 + ), ( ), v L1 (0 ), v L1 (0 + ), v L1 ( ), d (0 )/dt, d (0 + )/dt, d (0 )/dt, d (0 + )/dt. Considerando a corrente fluindo da esquerda para a direita e de cima para baixo: 0 - = V2, v R L1 0 - =0V, d 0- = v L1 0-2 dt L = V2, v R L1 0 + =0V, d 0+ = v L dt L 1 = V1, v R L1 =0V = V2 R R 2, i C1 0 - =0A, d 0+ 2 dt C = V2 R R 2, i C1 0 + = V1 0+ i 2 R L1 0 +, d 0+ 1 dt C 1 = V1 R R 2, i C1 =0A. 2 Princípios de Instrumentação Biomédica COB

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