Identificação e Controle Adaptativo

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1 Identificação e Controle Adaptativo Prof. Antonio A. R. Coelho 1 Universidade Federal de Santa Catarina, UFSC Grupo de Pesquisa em Tecnologias de Controle Aplicado, GPqTCA Departamento de Automação e Sistemas, DAS CEP , Florianópolis, SC, Brasil

2 Ementa de Identificação 2 Introdução. Noções básicas de identificação. Modelos de processos de ordem reduzida e complexos. Métodos clássicos para modelagem de processos. Identificação de sistemas via equação a diferenças. Identificação de sistemas via relé.

3 Cap. 1 - Introdução 3 Sistema. Elementos de um sistema de controle. Modelagem e identificação. Descrição de sistemas: modelos contínuos. Exemplos de modelagem por leis da física. Descrição de sistemas: modelos discretos: exemplos de modelagem discreta. exemplos de modelagem por análise experimental.

4 Conceito de sistema O conceito de sistema pode ser definido como: Um conjunto de objetos agrupados por alguma interação ou interdependência, de modo que existam relações de causa e efeito nos fenômenos que ocorrem com os elementos desse conjunto. 4

5 Classificação dos sistemas dinâmicos Quanto à variável temporal, um sistema pode ser de tempo contínuo ou de tempo discreto. 5dy(t)/dt + y(t) = u(t) y(k) = -0.9y(k-1) + 0.1u(k-1) 5

6 Classificação dos sistemas dinâmicos Quanto ao tipo de modelo, pode ser linear ou nãolinear. Quanto aos parâmetros do modelo, pode ser de parâmetros fixos ou variante no tempo. Quanto ao número de entradas e saídas: SISO, SIMO, MISO, MIMO. 6

7 Sistema em controle Em controle de processos denota-se sistema como um objeto ou uma coleção de objetos que realiza um certo objetivo e cujas propriedades pretende-se estudar. Perturbação Planta Referência Filtro + Σ _ Erro Controle Ação de controle Atuador Processo Saída Sensor(es) 7

8 Porquê controlar os sistemas? manter os processos industrias dentro de seus pontos operacionais mais eficientes. prevenir condições instáveis no processo que podem por em perigo pessoas e/ou equipamentos. mostrar dados aos operadores da planta, para que possam manter o processo seguro e eficiente. Motivos são vinculados a: qualidade, economia, segurança. 8

9 Sistema 9 Exemplos de sistemas: papel e celulose. solar e de potência. servomecanismo de posição. biológico e econômico. manipulador robótico. Reator. coluna de destilação. trocador de calor. laminação e cerâmica.

10 Principais elementos de um sistema de controle Relação de causa e efeito. 10

11 Problemas de controle (i) Análise: Conhecido entrada: u(.) sistema: h(.) Obter a saída: y(.) 11

12 Problemas de controle (ii) Projeto: Conhecido sistema: h(.) saída desejada: y(.) Obter a entrada, u(.), para gerar a saída. 12

13 Problemas de controle (iii) Identificação: 13 Conhecido entrada: u(.) saída: y(.) Obter o sistema: h(.) onde y(.) é a saída do sistema real (medida) ŷ(.) é a saída estimada.

14 Modelo matemático Definição: O modelo matemático de um sistema é definido como um conjunto de equações usado para representar um sistema físico Dicionário do IEEE. Nenhum modelo matemático de um sistema físico é exato. 14

15 Modelagem e identificação Objetivo: prever o futuro de um modo científico. não é mágica! 15

16 Modelagem e identificação Entende-se por modelagem e identificação a determinação do modelo matemático de um sistema representando os seus aspectos essenciais de forma adequada para uma utilização particular: Diagnóstico. Supervisão. Otimização. Controle. 16

17 Modelagem e identificação Sistema Leis da Física Identificação de sistemas 17 Modelo

18 Modelagem e identificação Análise física-matemática: Baseia-se nas leis da Física que caracterizam um sistema particular como as leis de conservação de massa, energia e momento. Análise experimental: Baseia-se nas medidas ou observações do sistema. 18

19 Princípios para construção de um modelo matemático Para fins de controle de processos não pretende-se encontrar um modelo matemático exato, mas um modelo adequado para uma determinada aplicação. Na prática utiliza-se a hipótese básica para elaboração de modelos de que processos reais, em geral, não necessitam obrigatoriamente de modelos complexos. 19

20 PROCESSO Princípios para construção de um modelo matemático Método de Identificação MODELO O modelo de um sistema é uma equação matemática utilizada para responder questões sobre o sistema sem a realização de experimentações (através de um modelo pode-se calcular ou decidir como o sistema comporta-se sob determinadas condições operacionais). 20 A utilização do modelo para simulação do sistema constitui-se um procedimento de baixo custo e seguro para experimentar o sistema. Entretanto, a validade (adequação) dos resultados de simulação depende completamente da qualidade do modelo matemático do sistema.

21 Propósitos para construção de um modelo matemático Previsão: Tentativa de prever os estados futuros de sistema (comportamento dinâmico). Está limitada à precisão do modelo e aos efeitos das perturbações atuantes no sistema. 21

22 Propósitos para construção de um modelo matemático Análise e projeto de sistemas de controle: 22 na sintonia de controladores clássicos. na síntese de algoritmos de controle adaptativos e preditivos. na estimação do estado de variáveis nãomensuráveis, por exemplo a estimação da velocidade a partir da posição é uma medida indireta.

23 Propósitos para construção de um modelo matemático Supervisão: Utiliza a simulação, com base no modelo matemático, para avaliação das características operacionais do sistema, para o projeto de engenharia ou para o treinamento de operadores. Muitas vezes é também utilizado na detecção de erros e diagnóstico. 23

24 Propósitos para construção de um modelo matemático Otimização: Empregado na tomada de decisões nos mais variados campos: no escalonamento. na manutenção. na economia em sistemas industriais (maximizar produção, minimizar custos, etc.). 24 A otimização de sistemas necessita de modelos matemáticos precisos.

25 Modelos determinísticos x modelos estocásticos Denomina-se de modelo determinístico um modelo que trabalha com relações exatas entre as variáveis medidas e são expressas sem incerteza. Um modelo é estocástico se o modelo pode trabalhar também com conceitos de incerteza e probabilidade. Um modelo matemático estocástico contém quantidades que descritas por variáveis estocásticas. 25

26 Modelos contínuos x modelos discretos Um modelo matemático que descreve a relação entre sinais de tempo contínuo é denominado de contínuo no tempo (equação diferencial). Na prática os sinais de interesse são freqüentemente obtidos na forma discreta, resultante de medidas de tempo discreto (equação a diferenças). 26

27 Descrição de sistemas: modelos contínuos A representação de sistemas pode ser realizada usando: função de transferência. resposta impulsiva. equações de estados. 27 A seguir, apresenta-se de forma resumida as três abordagens utilizadas para descrever sistemas dinâmicos contínuos.

28 Função de transferência contínua A função de transferência contínua éa relação entre a transformada de Laplace da saída, Y(s), pela transformada de Laplace da entrada, U(s). Hs () = Ys () Us () 28

29 Função de transferência contínua A relação H(s) éuma razão de dois polinômios em s: Hs () = Bs () As () m n j j j= 0 i = 0 Bs () = bs ; As () = as i i 29

30 Resposta impulsiva contínua 30 Num sistema linear invariante no tempo os sinais de entrada e saída são relacionados pela integral de convolução: yt () = ht ( τ) u( τ) dτ h(t) é a resposta impulsiva do sistema. A resposta impulsiva está relacionada com a função de transferência por: L -1 é a transformada inversa de Laplace. t 0 [ ] ht () L Hs () = 1

31 Equação de estados contínua A função de transferência está relacionada com a representação de estados contínua por: ( ) Hs ()= csi A b A é a matriz do sistema (nxn), b é o vetor de entrada (nx1) e c éo vetor de saída (1xn). As equações de estados são: 1 x ( t) = Ax() t + bu() t yt () = cxt () 31 x(t) o vetor de estados (nx1), u(t) a entrada e y(t) a saída.

32 Exemplo de modelagem por leis da Física Representação matemática de um sistema elétrico: Lei da tensão de Kirchhoff descreve a dinâmica do sistema elétrico. ut () Rit () L di () = + t dt + 1 C itdt () it C dy () () = t dt 32 R: resistência; L: indutância, C: capacitância, u(t): tensão de entrada; y(t): tensão de saída.

33 Exemplo de modelagem por leis da Física Representação matemática de um sistema mecânico: Aplica-se a segunda lei de Newton no sistema massa-molaamortecedor. ft Kxt B dx () t dt M dx () () = () + + t dt K: constante da mola, B: coeficiente de atrito, M: massa, f(t): força (entrada), x(t): deslocamento (saída).

34 Representações matemáticas em termos de transformada de Laplace Funções de transferência Ys () Us () = 1 2 LCs + RCs+ 1 Xs () Fs () = 1 2 Ms + Bs+ K 34

35 Exemplo numérico Seja o sistema massa-mola-amortecedor: Xs () Fs () = 1 2 Ms + Bs+ K 35 Admitir os parâmetros físicos do sistema: M = 2 kg, B = 4 Nseg/m, K = 12 N/m.

36 Característica temporal do sistema massa-mola-amortecedor (Matlab) % Dinâmica do sistema massa-mola-amortecedor M=2; % Definir parâmetros B=4; K=12; num=[1]; % Definir polinômios den=[m B K]; printsys(num,den,'s'); step(num,den); % Avaliar resposta roots(den); 36

37 Característica temporal do sistema massa-mola-amortecedor (Matlab) Step Response Amplitude Time (sec.)

38 Função de transferência As funções de transferência obtidas com as parametrizações físicas em termos dos parâmetros R, L, C ou M, K, B são casos especiais dos modelos entrada-saída. Em geral, os modelos avaliados, nestes casos, são denominados Modelos Paramétricos e representam uma dada estrutura onde os parâmetros são algumas vezes desconhecidos e devem ser estimados. 38 Para avaliar os parâmetros (valores numéricos) através da modelagem por leis da física necessita-se conhecer as condições internas e externas bem como o conhecimento físico do sistema.

39 Representação matemática de um motor DC controlado por armadura J dw () t dt + Bw() t = T () t m T () t = K i() t m a e () t = K w() t a b L di () t dt + Ri() t + e () t = v() t a 39

40 Representação matemática de um motor DC controlado por armadura Função de transferência Ws () K = a Vs () ( Js+ B)( Ls+ R) + K K a b 40

41 Representação matemática do sistemas mono-tanque Para avaliar as características operacionais obtém-se uma equação diferencial não-linear para o sistema. Considere o sistema mono-tanque (processo de nível): 41 A é a área do tanque (m 2 ), a é a área do tubo de saída (m 2 ), h é o nível do líquido no tanque (m), u é a vazão de entrada (m 3 /s), q é a vazão de saída (m 3 /s).

42 Representação matemática do sistemas mono-tanque Deseja-se calcular um modelo relacionando as variáveis de entrada (u) e saída (h). A lei de Bernoulli descreve a relação entre a velocidade de vazão da saída (m/s) e o nível do líquido no tanque: vt () = 2ght () g é a aceleração da gravidade. 42

43 Representação matemática do sistemas mono-tanque A equação relacionando o vazão da saída (q) e a velocidade de vazão da saída (v) é qt () = av() t O volume de líquido no tanque, em um instante t, é calculado por: 3 Ah(), t ( m ) 43

44 Representação matemática do sistemas mono-tanque e modifica-se de acordo com a diferença entre o fluxo de entrada e saída (denominado de balanço de massa), conforme apresentado na equação dah() t dt = qt () + ut () Com as equações de v(t) e q(t) obtém-se a equação diferencial não-linear para o nível do líquido, ou seja, 44 dh() t dt a g = 2 1 ht () + A A ut ()

45 Representação matemática do sistemas mono-tanque Pelo conhecimento da dimensão dos diferentes elementos que compõem o sistema mono-tanque pode-se avaliar a dinâmica e determinar o nível h(t) quando o fluxo de entrada u(t) é conhecido. O fluxo de saída é calculado por qt () = a 2g ht () 45

46 Descrição de sistemas: modelos discretos A seguir, apresenta-se de forma resumida as três abordagens utilizadas para descrever sistemas discretos. Também é possível através das transformações retangular ou trapezoidal determinar os correspondentes modelos contínuos e discretos. 46

47 Função de transferência discreta A função de transferência discreta éa relação entre a transformada-z da saída, Y(z), pela transformada-z da entrada, U(z). Hz ( ) = Yz ( ) Uz ( ) 47

48 Função de transferência discreta A relação H(z) é uma razão de dois polinômios em z. Hz ( ) = B d ( z) A d ( z) B d (z) = m j= 0 b d j z j ; A d (z) = n i= 0 a d i z i 48

49 Resposta impulsiva discreta A resposta impulsiva está relacionada com a função de transferência. [ ] ht () Z Hz () = 1 Z -1 é a transformada-z inversa e t éo tempo discreto. 49

50 Resposta impulsiva discreta As amostras da resposta impulsiva, h(t), estão relacionadas com as amostras da resposta ao degrau, s(t). h(t) = 1 T s [ s(t) s(t 1) ] s(t) = t i= 0 h(i) 50

51 Equações de estado discreta A função de transferência está relacionada com a representação de estados discreta, no caso monovariável: ( d) -1 Hz ()= czi- A b d 51 A d : matriz do sistema (nxn), b d : vetor de entrada (nx1), c : vetor de saída (1xn).

52 Equações de estado discreta As equações de estados na forma discreta: x(t+ 1) = A d x(t) + b d u(t) y(t) = cx(t) 52 x(t) : vetor de estados (nx1), u(t) : entrada, y(t) : saída. ( medidas especificadas a cada período de amostragem)

53 Equações discreta Selecionar um período de amostragem, T s, para cada aplicação particular, de acordo com uma das seguintes relações: T T 95 = T = τ / 10 s s T 95 é o tempo que a resposta do sistema leva para alcançar 95% do valor final e τ é a constante de tempo dominante do sistema.

54 Exemplos de modelagem discreta Seja o circuito RC onde y(t) é a tensão de saída e u(t) é a tensão de entrada. 54

55 Exemplos de modelagem discreta A equação diferencial linear de primeira ordem que representa a dinâmica do sistema é dada por: RC dy t dt () + yt () = ut () Seja a aproximação numérica da derivada: 55 dy() t yt () yt ( 1) dt T s

56 Exemplo de modelagem discreta Obtém-se a função de transferência discreta para o circuito RC de acordo com: Yz ( ) Tz = s Uz ( ) ( RC + T ) z RC s 56 Selecionando uma entrada para o circuito RC e conhecendo-se os valores de R, C e Ts, as operações de carregamento e descarregamento no capacitor podem ser avaliadas.

57 Exemplo de modelagem por análise experimental Processo discreto de primeira ordem: Considere o processo caracterizado pela seguinte equação a diferenças: yt ( + 1) = θ yt () + ut () 57 : parâmetro desconhecido e y(t) = 0 ( t < 0). θ

58 Exemplo de modelagem por análise experimental Admita o seguinte modelo para estimação: ŷ (t+ 1) = θˆy(t) + u(t) 58 θˆ ŷ ( t+ 1) : estimativa de θ : previsão da saída no instante (t+1) baseado no parâmetro estimado θˆ

59 Exemplo de modelagem por análise experimental Seja a função custo dos mínimos quadrados dada por: J(t) = 1 2 t k= 0 e 2 (k) e(t) = y(t) ŷ(t) 59 Substituindo as equações em e(t): e ŷ (t+ 1) = θˆy(t) + u(t) yt ( + 1) = θ yt ( ) + ut ( )

60 Exemplo de modelagem por análise experimental Obtém-se o erro de estimação em função das medidas de entrada e saída (atual e anteriores) do processo de acordo com: e(t) = θ y(t 1) θˆy(t 1) = y(t) u(t 1) θˆy(t 1) 60

61 Exemplo de modelagem por análise experimental Supor para um certo sistema que não é conhecido o parâmetro θ, mas as medidas de entrada e saída no intervalo de tempo da experimentação, 0 t N. Obtém-se o estimador dos mínimos quadrados pela diferenciação de J(t) em relação a θˆ, resultando: 61 ˆθ(t) = t 1 k= 0 y(k) [ y(k + 1) u(k) ] t 1 k= 0 y 2 (k)

62 Exemplo de modelagem por análise experimental 62 Matlab: % Estimador do parâmetro da planta da equação (1.28) y(1)=0; u(1)=0; soma1=0; soma2=0; for i=2:30 % Obter medidas u(i)=1; y(i)=0.9*y(i-1)+u(i-1); end for k=1:30 % Estimar parâmetro soma1=soma1+y(k)*(y(k+1)-u(k)); soma2=soma2+y(k)^2; teta(k)=soma1/soma2; end t=1:30 plot(t,teta(t));

63 Sistema de controle digital (discreto) Controle digital flexibilidade na realização do controlador (programa de cálculo). possibilidade de controle dinâmico associado a decisão lógica. multiplexagem no tempo (servindo diversas malhas de controle). 63

64 64 Sistemas de controle digital (discreto)

65 Sistemas de controle digital (discreto) i) amostragem. ii) quantificação resolução do conversor A/D. iii) equações a diferença (equações adaptadas ao cálculo por computador). iv) processamento numérico com precisão de cálculo finita. v) tempo de conversão + tempo de cálculo (no controle analógico é praticamente instantâneo). 65

66 66 Estabilidade

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