Transformada de Laplace. Parte 3

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1 Transformada de Laplace Parte 3

2 Elementos de circuito no domínio da frequência O resistor no domínio da frequência Pela lei de OHM : v= Ri A transformada da equação acima é V(s) = R I(s) O indutor no domínio da frequência v= L di/dt Aplicando Laplace: V= L[sI i(0 - )] = sli LI 0 sl é uma impedância de sl Ohms e LI 0 é uma fonte de tensão em volts-segundos.

3 Modelo alternativo: I = (V+LI 0 )/sl = V/sL + I 0 /s

4 O capacitor no domínio da frequência i = Cdv/dt Aplicando Laplace: I=C[sV v(0 - )] = scv CV 0, sc é uma admitância siemens e 1/sC é a impedância em Ohms.

5 Modelo alternativo V = (1/sC) I + V 0 /s

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7 Análise de circuitos no domínio da frequência Tem-se que se a energia armazenada inicial for zero no domínio da frequência: V(s) = Z(s) I(s) em que Z refere-se a impedância do elemento no domínio da frequência. As leis de Kirchhoff aplicam-se a correntes e tensões em s. As regras de associação de impedâncias (admitâncias) em s são as mesmas em t.

8 Aplicações Resposta natural de um RC Tendo o circuito RC no tempo abaixo: Levando para o domínio s, temos:

9 A soma das tensões ao longo da malha é: Tendo I: A transformada inversa é:

10 Logo: Pode-se determinar a tensão antes da corrente. Apenas utilizar o modelo alternativo ( circuito equivalente alternativo)

11 Resposta ao degrau de um RLC Tendo o RLC abaixo: O circuito equivalente em s:

12 Temos que: I L = V/sL As somas das corrente que saem do nó superior leva à: Temos:

13 Logo: Substituindo os valores numéricos temos:

14 Aplicando o teorema do valor final, temos: Utilizando frações parciais:

15 Logo:

16 Resposta ao degrau de um circuito de múltiplas malhas Tendo o circuito abaixo: Em s temos:

17 As duas equações de correntes de malha são:

18 Utilizando Cramer para calcular I 1 e I 2, obtemos:

19 As correntes são: Expandindo em frações parciais: Em t:

20 Os valores iniciais e finais das correntes são: i 1 (0) = i 2 (0) = 0 i 1 ( ) = 15 A i 2 ( ) = 7 A

21 Utilizando Thévenin Tendo o circuito abaixo, a energia armazenada é zero: Em s:

22 A tensão de Thévenin: A impedância de Thévenin:

23 Logo:

24 Em frações parciais: Logo: Pela expressão temos que i C (0) = 6 A. E é igual se calculamos pelo circuito original: 480/80 = 6 A A tensão no capacitor em s é: V C = I C /sc = / (s+5000) 2 Logo: v C (t) = t e -5000t u(t)

25 Resposta transitória de RLC paralelo Tomando o mesmo circuito RLC anterior, porém colocando uma fonte de corrente senoidal: I g = I m cosωt A I m = 24 ma e ω = rad/s No domínio s: A tensão:

26 A corrente no indutor: Substituindo os valores numéricos: ω = 40000, α = e β = 24000

27 Em frações parciais: Os valores dos coeficientes:

28 Logo:

29 Teorema da superposição no domínio da frequência Tendo o circuito abaixo: determinar v 2 Em s:

30 Para determinação de V 2 por superposição, calculamos a componente de V 2 devido à ação individual de cada fonte e somamos depois os componentes. Primeiramente calculamos a componente devido a fonte de tensão:

31 Introduzimos a notação: Logo: Temos:

32 Devido à fonte de corrente I g. Temos:

33 Devido à energia inicial no indutor. Temos:

34 Devido à energia inicial no capacitor.

35 A expressão de V 2

36 Função de Transferência É a razão, no domínio da frequência, entre a transformada de Laplace da saída (resposta) e a transformada de Laplace da entrada (fonte). No cálculo da função de transferência, restringimos o estudo a circuitos nos quais todas as condições iniciais são nulas. No caso de múltiplas fontes independentes,podemos determinar a função de transferência para cada fonte e usar a propriedade de superposição para determinar a resposta para todas as fontes.

37 Para o circuito abaixo: Se a corrente for definida como resposta: Se a tensão no capacitor for definida como saída:

38 Exemplo1 Tendo o circuito abaixo. O sinal de resposta é a tensão no capacitor.calcule a função de transferência e calcule os polos e zeros. Em s:

39 Somando as correntes que saem no nó superior: (V 0 V g )/ V 0 /(250+0,05s) + V 0 s/10 6 = 0 Temos: Portanto:

40 Os polos e os zeros: p 1 = j 4000 p 2 = j4000 z = Os polos devem estar na metade esquerda do plano s para que a resposta a um sinal limitado seja finita (estabilidade). Os termos gerados pelos polos de H(s) dão origem à componente transitória da resposta global. Os termos gerados pelos polos de X(s) à componente de regime permanente.

41 Exemplo2 O circuito do exemplo anterior é alimentado por uma fonte de tensão cujo valor aumenta linearmente com o tempo, ou seja, v g =50tu(t). a) Determine v 0 b) Identifique a componente transitória da resposta c) Identifique a componente de regime permanente da resposta d) Fazer o gráfico de v 0 Solução: a) Do exemplo anterior temos:

42 A transformada da entrada é 50/s 2, logo a expressão da saída é: Por frações parciais: Avaliando os coeficientes temos:

43 A expressão no domínio do tempo para v 0 : b) A componente transitória é: Observar que esse termo é gerado pelo polos da função de transferência. c) A componente de regime permanente Gerado pelo polo de segunda ordem K/s 2.

44 d)o gráfico de v 0

45 Observações sobre H(s) em análise de circuitos H(s) está relacionada com a resposta de um circuito Se a entrada estiver a segundos retardada Logo a resposta: Se Logo, atrasar a entrada de a segundos, a resposta é atrasada de a segundos (invariância no tempo).

46 Se a entrada for um impulso unitário x(t) = δ(t), então X(s) = 1 e Y(s) = H(s) Daí: y(t) = h(t) Isso implica que a transformada inversa da função de transferência é igual à resposta do circuito ao impulso unitário. Logo, a resposta ao impulso unitário, contém informação suficiente para calcular a resposta para qualquer fonte que alimente o circuito. A integral de convolução é usada para calcular a resposta de um circuito a uma fonte arbitrária.

47 A integral de convolução f(t) = f 1 X f 2 = t t f1 ) 0 0 ( λ) f2( t λ) dλ = f1( t λ) f2( λ dλ F(s)= F 1 (s)f 2 (s)

48 Exemplo 3 H(s) = Vs(s)/Vf(s) =10/(s+5) A entrada é uma função degrau Vf = 1/s. Usar convolução para determinar a tensão de saída vs(t).

49 Exemplo 3 Temos que h(t) é 10e -5t ;Vf(t) é u(t) e Vs(s) = H(s)Vf(s) Por convolução: = = = t t t t t t u e d e e d e t u t vs ) 5( ) ( ] 2[1 10 ) ( 10 ) ( λ λ λ λ

50 Função impulso em análise de circuitos Operações de chaveamento Vamos usar um circuito capacitivo para ilustrar como uma função impulso pode ser criada com uma operação de chaveamento Em t: Em s:

51 Analisando o circuito em s temos: C e é o capacitor equivalente Em t: A expressão acima mostra que se R decresce, a corrente inicial cresce e cte de tempo decresce, i tende a uma função impulso.

52 Veja o gráfico mostrando a influência do R na resposta I. Em termos expressão se R tende para zero temos: Em t:

53 Fontes impulsivas Uma fonte impulsiva que alimenta um circuito fornece uma quantidade finita de energia ao sistema instantaneamente. O circuito RL abaixo é alimentado por uma fonte impulsiva de tensão. Em s temos:

54 A expressão de corrente em s é: Logo: em t