Modelagem de Sistemas Dinâmicos. Eduardo Camponogara

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1 Equações Diferenciais Ordinárias Modelagem de Sistemas Dinâmicos Eduardo Camponogara Departamento de Automação e Sistemas Universidade Federal de Santa Catarina DAS-5103: Cálculo Numérico para Controle e Automação 1/49

2 Sumário Introdução 2/49

3 Introdução Sumário Introdução 3/49

4 Introdução Equações Diferenciais Ordinárias Fenômenos físicos frequentemente envolvem relações entre uma variável independente x e uma variável dependente y. Tais relação não são fáceis ou mesmo possíveis de serem descritas como uma função da variável independente: y = f(x) Às vezes podemos estabelecer a relação entre y e x através de seus valores e as derivadas da função desconhecida dy/dx. Em circuitos elétricos, por exemplo, desejamos encontrar a voltagem como uma função do tempo, v(t), que pode ser escrita como uma relação das derivadas de v no tempo e as propriedades do circuito. 4/49

5 Introdução Equações Diferenciais Ordinárias Uma relação expressa como uma função da variável independente x, da variável dependente y e suas derivadas y (x), y (x),... é dita equação diferencial. Uma relação que envolve derivadas até ordem n é dita equação diferencial ordinária (EDO), podendo ser colocada na forma matemática: f(x,y(x),y (x),...,y (n) (x)) = 0 5/49

6 Introdução Equações Diferenciais Ordinárias Agenda Faremos uma breve introdução à modelagem de fenômenos físicos através de equações diferenciais. Desenvolveremos métodos para encontrar soluções numéricas para equações e sistemas de equações diferenciais ordinárias. 6/49

7 Introdução Equações Diferenciais Ordinárias Quando o tempo é a variável independente No caso da variável independente ser o tempo t, o sistema de equações diferenciais ordinárias toma a forma: ẋ 1 = f 1 (x 1,...,x n ) ẋ 2 = f 2 (x 1,...,x n ). ẋ n = f n (x 1,...,x n ) Mais especificamente, estaremos interessados no problema de encontrar a trajetória x(t), t [0,T], a partir de um estado inicial x(0) R n onde x(t) = (x 1 (t),...,x n (t)).. 7/49

8 Sumário Introdução 8/49

9 Exemplos Objetivando ilustrar a modelagem com equações diferencias, desenvolveremos a seguir modelos de sistemas dinâmicos: Circuito RC Suspensão de automóvel 9/49

10 Circuito RC Circuito RC O circuito RC é composto de uma fonte de tensão, v i (t), em série com um resistor R e um capacitor C. + + R v i (t) i(t) + C v c (t) 10/49

11 Circuito RC Circuito RC A corrente no capacitor é proporcional à taxa de variação da tensão através do capacitor, matematicamente: i(t) = C dv c(t), (1) dt sendo a capacitância C a constante de proporcionalidade. Pela lei de Kirchoff, a soma das quedas dos potenciais ao longo da malha deve ser nula, o que leva à expressão: v i (t) Ri(t) v c (t) = 0 (2) 11/49

12 Circuito RC Circuito RC Substituindo i(t) em (2) pela relação (1), surge uma equação diferencial de primeira ordem: v i (t) RC dv c(t) v c (t) = 0 = dv c(t) = 1 dt dt RC v c(t)+ 1 RC v i(t) (3) 12/49

13 Circuito RC Circuito RC Solução anaĺıtica Considere o caso simples onde v i (t) = 0 para todo t e v c (0) = v o c (descarga do capacitor). Então, a solução anaĺıtica de (3) pode ser obtida: dv c (t) dt = 1 RC v c(t) dv c(t) v c (t) = dt RC onde k é uma constante. T t=0 dv c (t) v c (t) = lnv c (t) = t RC T t=0 dt RC +k (4) 13/49

14 Circuito RC Circuito RC Portanto, a partir de (4), deduzimos que a tensão no capacitor decresce exponencialmente na taxa inversa de RC: v c (t) = e t RC +k = e k e t RC = v o c e t RC (5) Para um circuito RC onde R = 2 Ω, C = 0.1 F e v c (0) = 2 V, a curva de tensão no capacitor em função do tempo pode ser observada na figura abaixo. A curva caracteriza a descarga da energia do capacitor que, por sua vez, é dissipada pelo resistor. 14/49

15 Circuito RC Circuito RC Vc (V) Tempo (s) Figura: Curva de descarga do capacitor em um circuito RC 15/49

16 O circuito RLC consiste de uma fonte de tensão v i (t) em série com um resistor R, um indutor L e um capacitor C, de acordo com o diagrama abaixo + + R + L v i (t) i(t) + C v c (t) 16/49

17 A soma das quedas dos potenciais ao longo da malha deve ser nulo: v i (t) Ri(t) L di(t) v c (t) = 0 (6) dt A queda de tensão no indutor é proporcional à taxa de variação da corrente, sendo L a constante de proporcionalidade. 17/49

18 A corrente através do capacitor é proporcional à taxa de variação da queda de tensão no capacitor, obtemos assim o sistema de equações diferenciais de 1 a ordem: v i (t) = Ri(t)+L di(t) dt i(t) = C dv c(t) dt +v c (t) (7) (8) 18/49

19 O sistema acima pode ser colocado na forma matricial: ] ] [ ] [ i(t) 1/L = + v c (t) 0 [ di(t)/dt dv c (t)/dt [ R/L 1/L 1/C 0 ] v i (t) Alternativamente, o sistema de primeira ordem (9) pode ser colocado como uma equação diferencial de segunda ordem, bastando para isto substituir (8) em (7): v i (t) = LC d2 v c (t) dt 2 +RC dv c(t) dt (9) +v c (t) (10) 19/49

20 Aqui ilustramos como se transforma uma EDO de ordem n em um sistema EDO de primeira ordem com n equações. Definindo x como variável de estado: [ ] [ x1 (t) v x(t) = = c (t) x 2 (t) dv c (t)/dt e estabelecendo u(t) como a entrada e y(t) como a saída, teremos: u(t) = v i (t), y(t) = v c (t) Note que a entrada é a tensão v i (t), enquanto a saída (o que é observado) é a queda de tensão no capacitor. ] 20/49

21 Podemos expressar a EDO (10) de 2 a ordem em um sistema EDO de 1 a ordem: [ ] [ ] [ ] [ ] ẋ1 (t) 0 1 x1 (t) 0 = + u(t) ẋ 2 (t) 1/LC R/L x 2 (t) 1/LC y(t) = [ 1 0 ][ ] x 1 (t) (11) x 2 (t) 21/49

22 Solução Anaĺıtica As equações diferenciais do circuito RLC, conforme (11), fazem parte dos sistemas de equações diferenciais lineares: ẋ = Ax +Bu (12) para: A R n n, x R n, B R n m, e u R m. Assumindo u = Kx, podemos assumir que (12) é da forma: ẋ = Ax (13) 22/49

23 Solução Anaĺıtica Uma solução anaĺıtica para: pode ser obtida. ẋ = Ax (14) Note que ẋ = ax tem solução é trivial da forma x(t) = e at. Para o caso geral, definimos a função exponencial de matriz como: e At = I +At + 1 2! A2 t ! A3 t = (At) k k=0 k! (15) 23/49

24 Solução Anaĺıtica Então, x(t) = e At x 0 é a solução de (13) com x(0) = x 0. Basta verificar que: d [ e At ] x 0 = d [ I +At + 1 dt dt 2! A2 t ] 3! A3 t x 0 [ = 0+A+A 2 t + 1 2! A3 t ] 3! A4 t [ = A I +At + 1 2! A2 t ] 3! A3 t = Ae At x 0 (16) x 0 x 0 24/49

25 Solução Anaĺıtica Estabilidade de um sistema pode ser entendida como a convergência do estado x(t) para um ponto de equiĺıbrio x. Dizemos que o sistema (13) é estável se: lim x(t) = x t Sob quais condições o sistema caracterizado pela equação ẋ = ax é estável? 25/49

26 Solução Anaĺıtica Sob quais condições o sistema caracterizado pela equação ẋ = ax é estável? Estabilidade é garantida a partir de qualquer ponto inicial x 0 = x(0) quando a < 0. Isto equivale a dizer que lim t e at x 0 = 0. 26/49

27 Solução Anaĺıtica O que podemos dizer sobre a convergência de um sistema multivariável caracterizado pelo sistema EDO ẋ = Ax? Convergência pode ser garantida quando e At é convergente. Em outras palavras, quando a série I +At +A 2 t 2 /2!+A 3 t 3 /3!+... é convergente, o que ocorre quando todos os autovalores de A tem parte real negativa. 27/49

28 Ilustração A figura abaixo ilustra a resposta do circuito RLC para uma entrada nula, u(t) = 0, com: R = 2 Ω; C = 0.1 F; L = 0.4 H; vc (0) = 2 V; e vc (0) = 10 V/s. O circuito é estável como pode ser verificado calculando os autovalores de A, a saber 2 4j, os quais tem parte real negativa. Isto garante convergência a partir de qualquer estado inicial. 28/49

29 3 2 Vc (V) Tempo (s) 10 5 dvc/dt (V/s) Tempo (s) Figura: Resposta do circuito RLC a entrada u(t) = 0. 29/49

30 Supensão de automóvel (simplificada) Suspensão de automóvel (simplificada) Representação A suspensão de uma roda de veículo pode ser representada, de forma simplificada, por: uma massa M (Kg) suportada pela roda; um conjunto de molas representado pela mola ideal com constante K (N/m) e um amortecedor representado pelo sistema de absorção B (Ns/m). 30/49

31 Supensão de automóvel (simplificada) Suspensão de automóvel (simplificada) y f F M M x B K F B F K Figura: Suspensão de automóvel simplificada 31/49

32 Supensão de automóvel (simplificada) Suspensão de automóvel (simplificada) Representação Conforme eixos coordenados, o sistema está em repouso na posição y = 0 e velocidade ẏ = 0. A suspensão é submetida a uma força externa f(t) dependente do terreno e da carga do veículo. As forças e respectivas direções de referência estão indicadas na figura. 32/49

33 Supensão de automóvel (simplificada) Suspensão de automóvel (simplificada) Representação De acordo com a lei de Newton, a soma das forças que atuam no sistema deve igualar a massa vezes a aceleração: n F i = Ma, i=1 ou seja, f F M F K F B = Md 2 y(t)/dt 2 33/49

34 Supensão de automóvel (simplificada) Suspensão de automóvel (simplificada) Representação Formalmente: f(t) Mg Ky(t) B dy(t) dt d 2 y(t) dt 2 + B dy(t) M dt = M d2 y(t) dt 2 (17) + K M y(t) = g + 1 f(t) (18) M 34/49

35 Supensão de automóvel (simplificada) Suspensão de automóvel (simplificada) Representação Da mesma forma que no circuito RLC, vamos definir o estado do sistema como x(t), sendo este dado por: [ x1 (t) x 2 (t) ] [ = y(t) dy(t)/dt ] (19) 35/49

36 Supensão de automóvel (simplificada) Suspensão de automóvel (simplificada) Representação Procedendo à mudança de variável, substituímos x(t) no lugar de y(t) e dy(t)/dt em (17) (18), obtendo: [ x1 (t) x 2 (t) ] [ = y(t) dy(t)/dt ] [ ẋ1 (t) ẋ 2 (t) ] = [ ẏ(t) ÿ(t) ] (20) 36/49

37 Supensão de automóvel (simplificada) Suspensão de automóvel (simplificada) Representação As equações acima nos levam a: [ ẋ1 (t) ẋ 2 (t) ] = = [ [ B dy(t) M x 2 (t) dt K M y(t) g + 1 M f(t) x 2 (t) B M x 2(t) K M x 1(t) g + 1 M f(t) ] ] (21) 37/49

38 Supensão de automóvel (simplificada) Suspensão de automóvel (simplificada) Representação Separando as influências do estado e externas, o sistema (21) assume a forma: [ ẋ1 ẋ 2 ] [ 0 1 = K/M B/M y = [ 1 0 ][ ] x 1 x 2 ][ x1 x 2 ] [ + 0 1/M ] [ 0 u + 1 onde u = f(t) é a entrada (força externa), x(t) é o estado e y = x 1 (t) é a saída (posição). ] g 38/49

39 Sistema de Massas Acopladas Sistema de Massas Acopladas y 1 y 2 F K K M 1 M 2 f(t) F B B Figura: Sistema de duas massas acopladas 39/49

40 Sistema de Massas Acopladas Sistema de Massas Acopladas Hipóteses A força exercida pela mola é nula quando os blocos estão separados de uma distância y, F K = 0. A força exercida pelo amortecedor é nula se a variação de velocidade da massa M 1 em relação à M 2 é nula, F B = 0. Aplicando a 2 a lei de Newton, a soma das forças aplicadas em cada massa iguala a massa vezes a aceleração. 40/49

41 Sistema de Massas Acopladas Sistema de Massas Acopladas Hipóteses Aplicando a 2 a lei de Newton: M 1 ÿ 1 (t) = F K +F B = K [y 2 (t) y 1 (t) y ]+B[ẏ 2 (t) ẏ 1 (t)] (22) M 2 ÿ 2 (t) = f(t) F K F B = f(t) K [y 2 (t) y 1 (t) y ] B[ẏ 2 (t) ẏ 1 (t)] 41/49

42 Sistema de Massas Acopladas Sistema de Massas Acopladas Deixando o vetor x(t) definir as variáveis de estado como: x 1 (t) x 2 (t) x 3 (t) x 4 (t) = y 1 (t) ẏ 1 (t) y 2 (t) ẏ 2 (t) podemos representar o sistema EDO de segunda ordem (22) como um sistema EDO de primeira ordem, ẋ = Ax +Bu, com o estado dado pelo vetor x. 42/49

43 Sistema de Massas Acopladas Sistema de Massas Acopladas ẋ 1 (t) ẋ 2 (t) ẋ 3 (t) ẋ 4 (t) = K M 1 B M 1 K M K M 2 + B B M 1 M 2 K M 2 B M K y M K y 1 M 2 M 2 u x 1 (t) x 2 (t) x 3 (t) x 4 (t) com u(t) = f(t). 43/49

44 Motor de Corrente Contínua Motor de Corrente Contínua R a L a + v a i a v b + T Θ J,D Figura: Motor de corrente contínua (CC) controlado pela armadura 44/49

45 Motor de Corrente Contínua Motor de Corrente Contínua Modelo v a (t) é a tensão aplicada à armadura, que está em série com o resistor R a, o indutor L a da armadura e a tensão v b (t) induzida pela corrente i a (t). A corrente da armadura gera um torque T(t) = k m i a (t) proporcional à magnitude da corrente. O torque gerado movimenta a carga e o movimento rotacional produz a tensão v b (t) (força eletromotriz). O sistema ilustra a conversão de energia elétrica em energia mecânica. 45/49

46 Motor de Corrente Contínua Motor de Corrente Contínua Modelo Sendo J o coeficiente de inércia da carga e D o coeficiente viscoso da mesma, temos pela 2 a lei de Newton que: T(t) = k m i a (t) = J d2 Θ(t) dt 2 v b (t) = k b w(t) dθ(t) = k b dt onde w(t) é a velocidade angular. +D dθ(t) dt (23) (24) 46/49

47 Motor de Corrente Contínua Motor de Corrente Contínua Modelo Equacionando o circuito da armadura, obtemos: di a (t) v a (t) = R a i a (t)+l a dt di a (t) = R a i a (t)+l a dt +v b (t) +k b dθ(t) dt (25) 47/49

48 Motor de Corrente Contínua Motor de Corrente Contínua Modelo Agora, escolhendo x(t) = [ i a (t) Θ(t) dθ(t)/dt ] T e u(t) = va (t), podemos colocar as equações (23) (25) na forma: ẋ 1 (t) R a /L a 0 k b /L a ẋ 2 (t) = ẋ 3 (t) k m /J 0 D/J x 1 (t) x 2 (t) x 3 (t) + 1/L a 0 0 u(t) 48/49

49 Motor de Corrente Contínua Solução de Equações Diferenciais Ordinárias Fim! Obrigado pela presença 49/49