Circuitos Elétricos Circuitos Magneticamente Acoplados

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1 Introdução Circuitos Elétricos Circuitos Magneticamente Acoplados Alessandro L. Koerich Engenharia de Computação Pontifícia Universidade Católica do Paraná (PUCPR) Os circuitos que estudamos até o momento são considerados condutivamente acoplados. Um laço afeta o laço vizinho através da condução de corrente. Quando dois laços com ou sem contato se afetam através do campo magnético gerado por um deles, são chamados de magneticamente acoplados. Exemplo: Transformador bobinas magneticamente acopladas para transferir energia de um circuito para outro. Quando dois indutores (ou bobinas) estão próximos, o fluxo magnético causado pela corrente em uma bobina induz tensão na outra bobina. Este fenômeno é chamado de indutância mútua. Para um indutor simples de N espiras, quando uma corrente i flui através dele, um fluxo magnético φ é produzido ao redor dele. De acordo com a lei de Faraday, a tensão induzida no indutor é: = Mas o fluxo φ é produzido pela corrente i, portanto qualquer mudança em φ é causada por uma variação na corrente: ou = = A indutância L do indutor é dada por: = Esta indutância é chamada de auto-indutância, pois relaciona a tensão induzida em uma bobina por uma corrente variante no tempo na mesma bobina.

2 Considerando agora duas bobinas com auto-indutâncias L 1 e L 2 que estão próximas. A bobina 1 tem N 1 voltas e a bobina 2 tem N 2 voltas. Assumimos que a bobina 2 não transporta corrente. Apesar das duas bobinas estarem fisicamente separadas, elas estão magneticamente acopladas. Como o fluxo total φ 1 percorre a bobina 1, a tensão induzida na bobina 1: = O fluxo magnético φ 1 originário na bobina 1 tem dois componentes: o componente φ 11 percorre somente a bobina 1 e o componente φ 12 percorre ambas as bobinas. Portanto: Somente o fluxo φ 12 percorre a bobina 2, logo a tensão induzida na bobina 2: = = + Novamente, como os fluxos são causados pela corrente i 1 fluindo na bobina 1: = = onde = / é a auto-indutância da bobina 1. Da mesma maneira: Supondo agora que a corrente i 2 flui na bobina 2, enquanto a bobina 1 não transporta corrente. = + onde: = = = Como o fluxo total φ 2 percorre a bobina 2, a tensão induzida na bobina 2: M 21 é a indutância mútua da bobina 2 com respeito a bobina 1. O índice 21 indicaqueaindutânciarelacionaatensãoinduzidanabobina2àcorrentena bobina 1. Assim, a tensão mútua em circuito aberto (ou tensão induzida) sobre a bobina 2 é: = = = = onde = / é a auto-indutância da bobina 2.

3 Da mesma maneira: onde: = = = = M 12 é a indutância mútua da bobina 1 com respeito a bobina 2. O índice 12 indica que a indutância relaciona a tensão induzida na bobina 1 à corrente na bobina 2. Assim, a tensão mútua em circuito aberto (ou tensão induzida) sobre a bobina 1é: = Veremos que: = = M é a indutância mútua entre duas bobinas. É medida em henrys (H). Note que o acoplamento mútuo existe somente se as bobinas estiverem próximas e os circuitos forem alimentados por fontes variantes no tempo. é a capacidade de um indutor induzir uma tensão sobre um indutor vizinho, medida em henrys (H). Convenção do ponto para a análise de circuitos: A polaridade da indutância mútua depende dos aspectos construtivos. A convenção de pontos eliminada a necessidade de descrever os aspectos construtivos em circuitos Um ponto é colocado no circuito em um dos terminais de cada um dos indutores acoplados magneticamente. Indica a direção do fluxo magnético se a corrente entra pelo terminal marcado com o ponto. A convenção dos pontos diz o seguinte: Se uma corrente entra pelo terminal com o ponto de uma bobina, a polaridade de referência da tensão mútua na segunda bobina é positiva no terminal com o ponto da segunda bobina. ou Se uma corrente sai pelo terminal com o ponto de uma bobina, a polaridade de referencia da tensão mútua na segunda bobina é negativa no terminal com o ponto da segunda bobina. Assim, a polaridade de referencia de um tensão mútua depende da direção de referencia da corrente induzida e os pontos nas bobinas acopladas.

4 A aplicação da convenção de pontos pode ser ilustrada pelas figuras ao lado: A convenção de pontos, para indutores conectados em série, pontos se somando, a indutância total será: = + +2 Para indutores conectados em série, com pontos opostos, a indutância total será: = + 2 Análise de Circuitos Envolvendo Indutâncias Mútuas Análise de Circuitos Envolvendo Indutâncias Mútuas Aplicando a LTK na malha1: = + + Aplicando a LTK na malha 2: = + + Passando para o domínio da frequência: = + + = + + Aplicando a LTK na malha 1: = + + Aplicando a LTK na malha 2: 0= + + As equações acima podem ser resolvidas da maneira usual para encontrar as correntes. Note que assumiremos sempre que a indutância mútua e a posição dos pontos são fornecidas.

5 Energia em Circuitos Acoplados Energia em Circuitos Acoplados A energia armazenada em um indutor: = 1 2 A energia armazenada em dois indutores acoplados magneticamente, assumindo que a corrente entra nos terminais com ponto em ambos indutores: O limite superior para a indutância mútua M: Ou seja, a média geométrica das auto-indutâncias dos indutores. O coeficiente de acoplamento, mostra o quanto a indutância mútua se aproxima de seu limite superior: = Se uma corrente entra pelo terminal com o ponto em um indutor e sai pelo terminal com ponto no outro indutor: = = onde 0 1. O coeficiente de acoplamento é a fração do fluxo total emanando de um indutor que conecta ao outro indutor: = = + = = + Energia em Circuitos Acoplados Transformador Linear Se todo o fluxo produzido por um indutor atinge outro, então k = 1 e temos uma acoplamento 100% ou perfeitamente acoplados. Para k < 0,5 temos indutores fracamente acoplados. Para k > 0,5 temos indutores fortemente acoplados. O coeficiente de acoplamento é uma medida do acoplamento magnético entre dois indutores; 0 1. É um dispositivo magnético que utiliza o fenômeno da indutância mutua. Um transformador é geralmente um dispositivo de quatro terminais compreendendo dois ou mais bobinas acopladas magneticamente. A bobina conectada diretamente a uma fonte de tensão é chamado de enrolamento primário. A bobina conectada a carga é chamada de enrolamento secundário. As resistências representam as perdas nas bobinas.

6 Transformador Linear Transformador Linear Um transformador é considerado linear se as bobinas são enroladas em um material magnético linear (permeabilidade magnética constante), como baquelite, ar, plástico e madeira. Para obtermos a impedância de entrada, aplicamos a LTK nas duas malhas, e temos: = = O primeiro termo ( + ) é a impedância primária. O segundo termo é devido ao acoplamento entre os enrolamentos primário e secundário e é chamada de impedância refletida ao primário: = + + Para simplificar a análise é possível substituir o acoplamento magnético por um circuito equivalente T (ou Y) ou Π (ou Δ) que não contém a indutância mútua: Circuito equivalente T: =, =, = Circuito equivalente Π: =, =, = Um transformador ideal é aquele com acoplamento perfeito (k = 1). Consiste em duas bobinas com um número grande de voltas em um núcleo comum de alta permeabilidade. Devido a esta alta permeabilidade do núcleo, o fluxo liga todas as voltas de ambas as bobinas, resultando portanto em um acoplamento perfeito. Um transformador é dito ser ideal se: As bobinas tiveram reatâncias bastante elevadas (L 1, L 2, M ); O coeficiente de acoplamneto é unitário (k=1); Os enrolamentos primário e secundário não possuem perdas (R 1 = R 2 = 0). Transformadores com núcleo de ferro são uma aproximação de transformadores ideais. De acordo com a Lei de Faraday, as tensões sobre os enrolamentos primário e secundário são respectivamente: = =

7 Dividindo as equações anteriores temos: = = onde n é a razão de voltas ou razão de transformação. Usando fasores, temos: = = Pelo princípio da conservação da energia, temos: = Na forma fasor, temos: = = Mostrando que as correntes primária e secundária estão relacionadas à razão de voltas de maneira inversa que as tensões, então: = = 1 = = 1 Quando n=1, chamamos o transformador de transformador de isolamento. Se n>1 temos um transformador elevador, pois a tensão aumenta do primário para o secundário (V 2 >V 1 ). Se n<1 temos um transformador abaixador, pois a tensão decresce do primário para o secundário (V 2 <V 1 ). Quanto a polaridade das tensões e direção das correntes, temos: 1. Se V 1 e V 2 são ambas positivas ou ambas negativas nos terminais com ponto, use +n. Caso contrário use n. 2. Se tanto I 1 quanto I 2 entram ou ambas saem dos terminais com ponto, use n. Caso contrário use +n.

8 A potência complexa no enrolamento primário é: = = ( ) = = Uma prática comum na análise de circuitos é eliminar o transformador, refletindo as impedâncias e fontes de um lado do transformador para o outro. Não há perda de potência. O transformador ideal não absorve potência. A impedância de entrada vista pela fonte: = = 1 Mas como =, então: = Refletindo o lado secundário para o primário: Obtemos o equivalente de Thevenin do circuito a direita dos terminais a- b. Obtemos V Th como a tensão de circuito aberto nos terminais a-b. Obtemos Z Th removendo a fonte tensão no enrolamento secundário e inserindo uma fonte unitária nos terminais a-b. Tendo V Th e Z Th adicionamos o equivalente de Thevenin à esquerda de a-b. Refletindo o lado secundário para o primário: A regra geral para eliminar o transformador e refletir o circuito secundário para o lado do primário é: dividir a impedância secundária por n 2, dividir a tensão secundária por n e multiplicar a corrente secundária por n. Para refletir o lado primário do circuito para o lado secundário: A regra para eliminar o transformador e refletir o circuito primário para o lado secundário é: multiplicar a impedância primária por n 2, multiplicar a tensão primária por n e dividir a corrente primária por n. = =