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1 5 Circuitos Equivalentes 5.1 Circuitos Equivalentes Nos capítulos anteriores já se apresentaram diversos exemplos de circuitos equivalentes, por exemplo, resistências em série e em paralelo ou a chamada transformação de fontes (equivalência) entre um circuito com fonte de tensão em série com uma resistência e um circuito com fonte de corrente em paralelo com uma resistência, Figura 5.1. Quando se simplificam circuitos é preciso garantir que as simplificações vão conduzindo a circuitos equivalentes. R eq = R 1 + R 2 R eq = R 1R 2 R 1 +R 2 i s = G 1 v s Figura 5.1: Exemplos de circuitos equivalentes A Figura 5.2 apresenta a forma como se podem definir formalmente circuitos equivalentes. 99

2 100 Curso de Electrónica Industrial Circuito C 1 Circuito C 2 {u k },{ j k } Tensões e correntes nos terminais { u } { } k, j k de ligação Figura 5.2: Definição de circuitos equivalentes E em que condições os subcircuitos N 1 e N 2 são equivalentes? N 1 e N 2 sãoequivalentes(dopontodevistadoquesepassaem M)seesóseasequações matemáticasquerelacionamastensõeseascorrentesnosterminaisexterioresde N 1 são iguais às equações matemáticas que relacionam as tensões e as correntes nos terminais exterioresde N 2,ouseja, {u k }, { u k} { jk }, { j k}. Exemplo 1: Observe os circuitos e conclua se são ou não equivalentes? u 1 = R 1 j 1 + R 2 j 1 u 1 = (R 1 + R 2 ) j 1 u 1 = (R 1 + R 2 ) j 1 Como as equações matemáticas que relacionam as tensões e as correntes aos terminais de N 1 e N 2 sãoiguais,oscircuitossãoequivalentes.

3 Circuitos Equivalentes 101 Exemplo2: Emquecondiçõessãoequivalentesoscircuitos N 1 e N 2? A equivalência tem que ser verificada qualquer que seja o circuito M. Em particular, o circuito M pode ser uma resistência, com valor R, que pode tomar qualquer valor. Circulandonamalha KLCnonóa R s i+v = v s i + R 1 p v = i s v = v s R s i v = R p i s R p i Para estabelecer as condições em que os circuitos são equivalentes consideram-se duas situações: Circuito-aberto Curto-circuito i = 0 i = 0 v = v s v = R p i s i s = R 1 p v s v = 0 v = 0 i = R 1 s v s i = i s = R 1 s v s R p = R s Exemplo 3: Outro exemplo de circuitos equivalentes, cuja justificação deixamos como desafioaoleitor,éorepresentadonafiguraseguinte. Defactoseseverificarque G k G j G k j = G 1 + G 2 + G 3 entãopodeprovar-sequeastensõesecorrentesnosterminaisexterioresde N 1 oude N 2 se relacionam através das mesmas equações: v 1 = G 1 + G 3 G 1 G 3 i G 3 i 2 v 2 = 1 G 3 i 1 + G 2 + G 3 G 2 G 3 i 2

4 102 Curso de Electrónica Industrial oquesignificaquerealmente N 1 e N 2 sãodoissubcircuitosequivalentes. subcircuitos 5.2 Transformação de Fontes É agora importante sistematizar a noção da transformação de fontes. Por exemplo, se o circuito só tiver fontes de corrente, então é fácil usar o método dos nós. Por sua vez, se o circuito só tiver fontes de tensão, então é fácil usar o método das malhas. Mas se num circuito aparecerem os dois tipos de fontes, então já é mais complicado decidir. Neste caso, a transformação de fontes poderá permitir uniformizar o tipo de fontes no circuito, Figura 5.3. Figura 5.3: Transformação de fontes num circuito ligado a uma resistência R A equivalência tem que ser válida para qualquer valor de R. Apresentam-se de seguida as deduções que permitem comparar os dois circuitos, onde i e v ab representam as grandezas para o circuito com fonte de corrente, enquanto que i e v ab se referem ao circuito com fonte de tensão. Curto-circuito, R = 0Ω { i = 1 R s v s i = i s i s = 1 R s v s Circuito aberto, R = { vab = v s v ab = R pi s v s = R p i s Dadas as duas conclusões que se extraem para R = 0 e para R =, obtém-se a seguinte relação entre os valores das resistências R p e R s que assegura a equivalência, em conjunto com o facto de i s = v s /R s, Figura 5.4.

5 Circuitos Equivalentes 103 { vs = R p i s i = 1 R s v s R p = R s É importante realçar que a uma fonte de tensão com sentido de cima para baixo corresponde uma fonte de corrente com sentido de baixo para cima. Se a polaridade da fonte de tensão for trocada, troca o sentido da fonte de corrente. Figura 5.4: Transformação de fontes Neste contexto, surge a seguinte questão: será que, na prática, é realista considerarmos uma resistência em série com uma fonte ideal de tensão? A reposta é afirmativa, pois, na realidade, a tensão dos terminais de uma bateria diminui quando aumenta a corrente que lhe é solicitada, o que é compatível com um modelo deste tipo. Como se utiliza a transformação de fontes para simplificação de um circuito? Através da simplificação da análise. Por exemplo, para se utilizar o método dos nós, uma fonte independente de tensão pode-se transformar numa fonte independente de corrente. Qualovalordacorrente inocircuitodafiguraseguinte? Ométododasmalhasconduzatrêsequações,enquantoqueométododosnósconduz a quatro equações. Se aplicarmos a transformação de fontes pela ordem apropriada, da direita para a esquerda neste caso, obtemos a seguinte simplificação:

6 104 Curso de Electrónica Industrial É agora simples obter a corrente: i = 13.2V 16Ω 5.3 Transferência de Fontes Existe uma vantagem do método de transformação de fontes que se relaciona com a escrita de equações relativas aos métodos dos nós e malhas. Verificámos que, por exemplo, no método dos nós, a escrita de KCL torna-se simples quando apenas estão presentes fontes de corrente. Geralmente, a equivalência de fontes que estudámos na secção anterior fornece-nos um modo de obter um circuito equivalente cujas equações, usando os métodos dos nós ou malhas, sejam simples de escrever. No entanto, quando as fontes de tensão que queremos transformar não têm uma resistência em série, ou quando as fontes de corrente não têm uma resistência em paralelo, existe uma técnica que poderá ser muito útil. Na Figura 5.5 apresenta-se um exemplo onde a fonte de tensão e 1 não tem nenhuma resistência em série. Para ultrapassar esta dificuldade começa-se por juntar uma fonte independente de tensão e 1 adicional ao nó 2, que na realidade é fisicamente o mesmo nó que 1, Figura 5.6.

7 Circuitos Equivalentes 105 Figura 5.5: Circuito ao qual se aplica a transferência de fontes de tensão Após fixar o potencial do nó 2 igual ao nó 1, através deste procedimento, já se pode eliminar o condutor que une os nós 1 e 2, obtendo-se o circuito final apresentado na parte direita da Figura 5.6. À esquerda, e 1 desdobra-se em duas fontes. À direita, cada uma das fontes é empurrada através dos nós para se obter o equivalente. Figura 5.6: Transferência de fontes de tensão Com esta transferência da fonte e 1, todas as fontes já têm uma resistência em série, mas houve um aumento do número de fontes. Assim, em vez de uma, fica-se com duas fontes independentes de tensão. O aumento do número de fontes foi o preço a pagar pela facilidade resultante de se poder agora aplicar a transformação de fontes para simplificação do circuito. A transferência da fonte independente de tensão realizada pode ser vista como o movimentode empurrarafontedetensãoatravésdeumnó,figura5.7. De um modo semelhante, pode-se dar o caso de uma fonte de corrente que não tem nenhuma resistência em paralelo. Na Figura 5.8 apresenta-se um exemplo deste tipo de circuitos. A fonte de corrente i s não tem uma resistência em paralelo que possa servir para uso na transformação em fonte de tensão. Neste caso, desdobra-se a fonte de corrente i s em duas,

8 106 Curso de Electrónica Industrial Figura 5.7: Transferência de fontes: empurrar uma fonte através de um nó Figura 5.8: Circuito ao qual se aplica a transferência de fontes de corrente de valor idêntico, e ligadas de tal modo que não se alterem as correntes nos nós a, b e c. No nó b, a corrente que entra, proveniente das fontes, é igual à que sai. As técnicas de associação de resistências e fontes, transformação de fontes e transferência de fontes permitem-nos, quando usadas em conjunto e com algum engenho, simplificar os circuitos tendo em vista um objectivo que, em geral, é o cálculo de correntes ou tensões do circuito. Figura 5.9: Circuito equivalente após a transferência de fontes de corrente 5.4 Circuitos Equivalentes de Thévenin e de Norton Há situações, na análise de um circuito, em que interessa concentrar a atenção no que acontece num par específico de terminais. Uma forma muito utilizada para substituir uma parte linear de um circuito por um circuito equivalente mais simples é a obtenção dos chamados equivalentes de Thévenin e de Norton. Por exemplo, no circuito da Figura 5.10, apenas nos

9 Circuitos Equivalentes 107 interessa determinar a tensão e a corrente nos terminais da torradeira. Não há interesse em saber qual o efeito que a ligação da torradeira tem nos circuitos de distribuição de energia. Sistemas de distribuição de energia Figura 5.10: Motivação para a utilização dos equivalentes de Thévenin e de Norton Os circuitos equivalentes de Thévenin e Norton facilitam esta análise e têm aplicação em qualquer circuito linear (resistivo ou não resistivo) Circuito equivalente de Thévenin O circuito da Figura 5.11 pode-se decompor em duas partes, A e B, que podem conter fontes independentes de tensão e de corrente, para além de elementos resistivos, capacitivos e indutivos. No entanto, não contêm fontes dependentes de variáveis que pertencem apenas ao outro subcircuito. Admitindo que A é linear e que se pretende analisar o circuito B a partir dos seus terminais a e b, o objectivo é reduzir uma parte do circuito, neste caso o subcircuito linear A, a uma fonte equivalente e a um único elemento, Figura Figura5.11: Circuitocompostopordoissubcircuitos(AeB). Aélinear Figura 5.12: Subcircuito A Esta forma de representar um circuito equivalente para um circuito de dois terminais que exibe uma corrente i e está sujeito a uma tensão v aos seus terminais é-nos útil para estabelecer o equivalente de Thévenin do circuito A, Figura A partir das expressões da Secção 4.7 para a linearidade e sobreposição, verifica-se que, num circuito linear, qualquer variável se pode exprimir como uma combinação linear das

10 108 Curso de Electrónica Industrial Figura5.13: Definiçãode ievnoequivalentedethévenindocircuito A excitações (fontes independentes). No caso geral dos circuitos resistivos, o circuito A terá no seu interior fontes independentes, para além de resistências e fontes dependentes. Reunindo num só termo, designado por v eq, a combinação para v obtida pelas fontes independentes interiores a A e identificando-se o coeficiente R eq, obtém-se: v = v eq + R eq i, o que nos permite obter, para o circuito A, o esquema equivalente da Figura 5.14, que se designa por equivalente de Thévenin. É bastante simples de obter por ser formado por uma série de dois elementos: uma fonte de tensão e uma resistência. Para que a análise do circuito equivalente de Thévenin fique completa, há que determinar os parâmetros v eq e R eq. Do circuito da Figura 5.14, resulta claramente que v eq é a tensão que se obtém aos terminais a-b quando estes se encontram em aberto, ou seja, v eq = v ca. Circuito aberto (c.a.) i = 0 v eq = v ca Figura5.14: Determinaçãode v eq atravésdosterminaiscomcircuitoaberto Curto-circuito v cc = 0V R eq = v eq i cc R eq = v ca i cc Figura5.15: Determinaçãode R eq apartirdacorrenteemcurto-circuito, i cc,ede v eq A outra situação extrema consiste em curto-circuitar os terminais a-b, através da utilização dum fio condutor perfeito. Neste caso v cc = 0V e pode-se definir a corrente de curto-circuito, i cc, Figura Como v cc = 0V, então

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