Circuitos Elétricos Resposta em Frequência Parte 1

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1 Introdução Circuitos Elétricos Resposta em Frequência Parte 1 Alessandro L. Koerich Engenharia de Computação Pontifícia Universidade Católica do Paraná (PUCPR) Na análise de circuitos CA estudamos como encontrar as tensões e correntes em um circuito com fontes de frequência constante. Se mantivermos a amplitude da senoide constante, mas variarmos a frequência, obtemos a resposta em frequência do circuito. A resposta em frequência de um circuito é a variação de seu comportamento com a mudança na frequência do sinal. A função de transferência () é uma ferramenta analítica útil para encontrar a resposta em frequência de um circuito. Na verdade, a resposta em frequência de um circuito é um gráfico da função de transferência () versus, com variando de =0a =. A função de transferência () de um circuito é a razão dependente da frequência entre um fasor de saída () e um fasor de entrada (). Então: = Como tanto a entrada como a saída podem ser tanto uma tensão ou corrente, temos quatro possibilidades: = ganho de tensão = = ganho de corrente = = impedância de transferência = = admitância de transferência =

2 Como é uma quantidade complexa, possui uma magnitude e uma fase φ, isso é: = Para obter a função de transferência, devemos: 1. Obter o circuito equivalente no domínio da frequência, substituindo resistores, capacitores e indutores pela suas impedâncias, 1 e. 2. Usar qualquer técnica de circuitos para obter a quantidade apropriada. Obtemos a resposta em frequencia do circuito traçando a magnitude e a fase da função de transferência a medida que a frequencia varia. A função de transferência pode ser expressa em termos de seu numerador e denominador : = As raízes de = 0 são chamadas de zeros de e são geralmente representadas por =,,. Do mesmo modo, as raízes de = 0 são os pólos de e são representadas por =,,. Escala Decibel Um zero, sendo uma raiz do polinômio do numerador, é um valor que resulta em um valor zero para a função. Um pólo, sendo uma raiz do polinômio do denominador, é um valor para o qual a função é infinita. Para evitar algebra complexa, é comum trocar temporariamente por s quando operamos e substituimos s por no final. Uma maneira sistemática de obter a resposta em frequencia é usar o. O diagrama de Bode se baseia em logaritmos e decibeis para expressar ganho. Em sistemas de comunicação, ganho é medido em bels. Historicamente, o bel é usado para medir a razão entre dois níveis de potência ou ganho de potência G: = número de bels = O decibel (db) nos oferece uma unidade de menor magnitude, É 1/10 de um bel e é dados por: =10

3 Escala Decibel Alternativamente, o ganho G pode ser expresso em termos razão de tensão ou corrente: =20 =20 A prática tradicional para mostrar a resposta em frequência é traçar a função de transferência em um par de diagramas semilogaritmicos: A magnitude em decibéis é traçada versus o logaritmo da frequência A fase em graus é traçada versus o logaritmo da frequência Estes diagramas semi-logaritmicos da função de transferência são conhecidos como Diagramas de Bode. A função de transferência pode ser escrita como: = = Aplicando o logaritmo natural em ambos os lados: ln =ln+ln =ln+ Então, a parte real de ln é uma função da magnitude enquanto a parte imaginária é a fase. Em um diagrama de Bode da magnitude, o ganho: =20 é traçado em decibéis (db) versus a frequência. Em um diagrama de Bode da fase, φ é traçada em graus versus a frequência. Ambos devem ser traçados em papel semilog.

4 Uma função de transferência pode ser escrita em termos de fatores que tem partes real e imaginária. () = ± que é obtida dividindo os pólos e zeros em (). Na construção do diagrama de Bode, traçamos cada fator separadamente e então adicionamos graficamente. Termo constante: para o ganho, a magnitude é 20 e a fase é 0. Se é negativo, a magnitude permanece 20 mas a fase é ±180. Esta é a chamada forma padrão e podem aparecer diferentes fatores: 1. Um ganho. 2. Um pólo ou zero () na origem. 3. Um pólo 1 1+ ou zero 1+ simples 4. Um pólo ou zero quadrático. Zero na origem: para o zero () na origem, a magnitude é 20 e a fase é 90. A inclinação é de 20 db/década enquanto a fase é constante. Pólo na origem: para o pólo () na origem, a magnitude é 20 e a fase é 90. A inclinação é de 20 db/década enquanto a fase é constante. Zero simples: para um zero simples 1+, a magnitude é e a fase é. Mas: = = 0 ( 0) = ( ) Ou seja, podemos aproximar a magnitude por zero ( uma linha reta com inclinação zero) para valores pequenos de ω e por uma linha reta com inclinação 20 db/década para valores grandes de ω. Em geral, para (), onde N é um inteiro, o diagrama da magnitude terá uma inclinação de 20N db/década, enquanto a fase é 90.

5 A frequência = onde duas linhas assintóticas se encontram é chamada de frequência de quebra. O diagrama aproximado é bem próximo do diagrama real, exceto onde =, sendo o desvio 20 (1 + 1) = dB A fase pode ser expressa como: = 0, = 0 =45, = 90, Na aproximação por linhas retas temos ϕ 0 para 10, ϕ 45 para = e ϕ 90 para 10. O diagrama tem uma inclinação de 45 por década. Pólo simples: o diagrama de Bode para um polo simples 1/ 1+, é similar ao do zero simples, exceto que a frequência de quebra é em =, a magnitude tem uma inclinação de 20 db/década e a fase tem uma inclinação de 45 por década Polo quadrático: para um polo quadrático 1/ 1+2 +, a magnitude é e a fase é (2 ) (1 ). Mas: Note que o diagrama real depende do fator de amortecimento bem como da frequência de quebra. = = ( 0) 40 ( ) Ou seja, podemos aproximar o diagrama da amplitude por duas linhas retas assintóticas: Uma com inclinação 0 para < Uma com inclinação 40 db/década para > sendo a frequência de quebra.

6 A fase pode ser expressa como: = 2 0, = 0 1 = 90, = 180, O diagrama de fase é uma linha reta com inclinação 90 por década, iniciando em 10 e acabando em 10. Zero quadrático: o diagrama de Bode para um zero quadrático 1+2 +, é invertido pois o diagrama de magnitude tem inclinação de 40 db/década enquanto que o diagrama de fase tem uma inclinação de 90 por década

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