2.3- DIAGRAMAS DE BLOCOS E DE FLUXO DE SINAL. FÓRMULA DE MASON DIAGRAMA DE BLOCOS DB

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1 2.3 DIRMS DE BLOOS E DE FLUXO DE SINL. FÓRMUL DE MSON DIRM DE BLOOS DB Os sistemas de controle, geralmente, são constituídos por vários componentes ou partes interligadas. Para mostrar estas interconexões e também destacar os pontos de entrada e de saída dos sinais considerados, usase um tipo de diagrama denominado diagrama de blocos. Estes diagramas são compostos por três componentes: a) BLOO FUNIONL: indica a operação matemática que age sobre o sinal de entrada para produzir o sinal de saída. É importante observar que o bloco funcional é orientado, o que significa que o sentido do fluxo de sinais é bem definido. R(s) BLOO FUNIONL F(s) Figura 2. (s) b) SOMDOR: detector de erro ou ponto de adição: produz como sinal de saída a soma algébrica dos sinais de entrada. R(s) (s) = R(s) B(s) B(s) Figura 2.2 c) PONTO DE JUNÇÃO ou de ramificação: é o ponto onde um sinal é captado para ser levado a outro ponto do diagrama de blocos. X(s) PONTO DE JUNÇÃO Figura 2.3

2 2 onsidere o diagrama ilustrativo abaixo: TERMINOLOI BÁSI R(s) E(s) ONTROLDOR c (s) PLNT (s) (s) B(s) DISPOSITIVOS DIVERSOS H(s) Figura 2.4 ) PLNT OU PROESSO: é o objeto físico a ser controlado. Exemplos: caldeira, motor, nível de um líquido em um reservatório, etc. 2) RELIMENTÇÃO: é a ação do sinal de saída sobre o sinal de entrada ou de referência para gerar o sinal de erro ou de comando. realimentação pode ser positiva ou negativa. realimentação negativa é usada para estabelecer a diferença entre o sinal de referência e o sinal de saída, ou seja, gerar um sinal de erro que irá atuar sobre o sistema visando a atingir os objetivos desejados. realimentação positiva ocorrerá em casos especiais e será vista em outro ponto do programa. R(s) (s) B(s) à RELIMENTÇÃO Figura 2.5 3) SISTEM DE MLH FEHD: é um sistema com realimentação. Neste tipo de sistema o sinal de saída é comparado com o sinal de entrada para gerar o sinal de comando. Exemplo: refrigerador. R(s) E(s) (s) (s) B(s) H(s) Figura 2.6

3 3 4) SISTEM DE MLH BERT: é aquele em que o sinal de saída não interfere no sinal de comando. Isto quer dizer que o sinal de saída não é medido nem realimentado para comparação com o sinal de entrada. Exemplos: lavadora de roupas, sinal de trânsito de tempo fixo. R(s) F(s) (s) Figura 2.7 5) SERVOMENISMO: é um sistema de controle de malha fechada no qual a saída é uma posição mecânica, velocidade ou aceleração. ONSTRUÇÃO DE DIRMS DE BLOOS lgumas vezes desejase construir um diagrama de blocos a partir de um sistema ou um conjunto de equações. omo ilustração considere o circuito elétrico RL série abaixo: e R i L e 0 Figura 2.8 De maneira resumida as etapas para construção de um DB, são : a) escrever as equações que descrevem o comportamento dinâmico do sistema; b) aplicar a Transformada de Laplace a estas equações; c) desenhar o DB correspondente a cada uma delas; d) unir os diversos diagramas obtidos em um único diagrama que será DB desejado. Para este circuito iremos considerar a entrada como sendo a fonte de tensão, e como saída, a tensão no capacitor. Nesta situação temos: a) Equações que descrevem o comportamento do circuito (modelo matemático).

4 4 di i) e Ri L e0 0 dt ii) e0 idt t 0 b) Transformada de Laplace das equações acima: i) Es R.I s sl.i s E s 0 ii) E0 Is Is E s E0 s R sl c) Diagrama de blocos da equação i) : 0 s E(s) R sl I(s) E0 s Figura 2.9 Diagrama de blocos da equação ii) I(s) s E0 s Figura 2.20 d) Unindo os diagramas de blocos teremos: E(s) R sl s E0 s Figura 2.2 O diagrama de blocos acima é então o diagrama de blocos do circuito elétrico. Observe que o sinal de entrada está à esquerda e o sinal de saída à direita do DB.

5 5 REDUÇÃO OU SIMPLIFIÇÃO DE UM DIRM DE BLOOS O que será mostrado a seguir é que um diagrama de blocos mais complexo, ou seja, com um número maior de laços pode ser simplificado ou reorganizado pela combinação de dois ou mais blocos em um só. Isto será feito sob regras que não alterem a dinâmica do sistema original. Veremos que à medida que o diagrama vai sendo simplificado, o número de blocos funcionais vai diminuindo e a complexidade das funções de transferência vai aumentando devido ao aparecimento de novos pólos e zeros. RERS PR REDUÇÃO DE UM DIRM DE BLOOS ) lteração da ordem das parcelas, redução de somadores ou desmembramento: B B B B B Figura 2.22 a B B B B B Figura 2.22 b 2) Blocos em ascata Figura ) Blocos em Paralelo Figura 2.24

6 6 4) Mover um bloco para depois de um somador B B B B B B Figura ) Mover um bloco para antes de um somador B B B B B B Figura ) Mover um bloco para depois de um ponto de junção Figura ) Mover um bloco para antes de um ponto de junção Figura 2.28

7 7 8) Forma anônica de um sistema com realimentação: eliminação do laço de realimentação. onsidere o diagrama de blocos abaixo que é denominado de forma canônica de um DB: R(s) E(s) (s) (s) B(s) H(s) Para este diagrama definimos : Figura 2.29 a) S ( ) função de transferência de canal ou ramo direto b) HS ( ) função de transferência de realimentação c) ( S) H( S) função de transferência de malha aberta FTM B( S) Observe que : ( S) H ( S) E( S) d) ( S) ( S) F( S) função de transferência de malha R( S) ( S) H ( S) fechada ou global FTMF. Vejamos como foi obtida a FTMF : do diagrama de blocos temos : E( S) R( S) B( S) B( S) H( S) ( S) ( S) ( S) E( S) Substituindo em, temos : ( S) ( S)[ R( S) B( S)] Substituindo em, temos : ( S) ( S) R( S) ( S) H( S) ( S) ou ( S) ( S) H( S) ( S) ( S) R( S) ou ( S)[ ( S) H( S)] ( S) R( S)

8 8 Sendo assim chegamos ( S) ( S) FS ( ) : R( S) ( S) H ( S) ; ( Obs. : significa igual por definição ). PROPRIEDDE : Todo diagrama de blocos de um sistema monovariável pode ser reduzido a um único bloco funcional. Veja o exemplo a seguir: Exemplo 2.9 Reduzir o DB abaixo a um único bloco funcional e determinar a função de transferência do sistema: H 2 R 2 3 H Figura 2.30 a Solução: a) movendo o bloco para depois do somador temos : H 2 R 2 3 H Figura 2.30 b b) eliminando o laço : 2 H, temos : H 2 R 2 H 2 3

9 9 c) eliminando o laço superior temos : Figura 2.30 c R 23 H H Figura 2.30 d d) eliminando o laço resultante obtemos finalmente : R 23 H H Figura 2.30 e SISTEMS MULTIVRIÁVEIS s regras para redução de diagrama de blocos podem ser também, em alguns casos, aplicadas em sistemas multivariáveis para simplificar o diagrama original. É importante observar que em um sistema multivariável lidamos com matrizes de transferência e, portanto não é possível reduzir o DB a um único bloco funcional. Veja os exemplos que seguem. Exemplo 2.0 Dado o DB abaixo, determine a matriz de transferência. D(s) R(s) (s) 2 (s) H(s) Figura 2.3

10 0 Exemplo 2. Dado o DB abaixo, determine a matriz de transferência. R (s) (s) (s) R 2 (s) 2 (s) 3 (s) 2 (s) Figura 2.32 DIRM DE FLUXO DE SINL DFS DIRM DE FLUXO DE SINL DFS O diagrama de blocos de um sistema é um tipo de modelo matemático amplamente usado no estudo dos sistemas de controle. Entretanto quando lidamos com sistemas com vários laços ou seja muitas interconexões, a aplicação das regras para simplificação do diagrama pode acabar se transformando em um trabalho complexo. Uma forma alternativa para lidarmos com diagramas de blocos mais complexos é usar o denominado diagrama de fluxo de sinal DFS. Este tipo de diagrama é mais simples e mais adequado ao uso de uma fórmula, ( fórmula de Mason ), que permite determinar a função de transferência de um sistema sem usar as regras de redução de DB já vistas. Um Diagrama de fluxo de Sinal DFS, é então um DB simplificado e é basicamente constituído por : a) NÓ : é a representação gráfica de uma variável ou sinal ; b) RMO : é a representação gráfica de uma operação, às vezes denominada de transmitância. O ramo liga dois nós e é orientado. transmitância corresponde à função de transferência de um bloco funcional. PRINIPIS DEFINIÇÕES : ) aminho ou percurso é uma trajetória constituída por ramos e percorrida nos sentidos indicado; 2) Nó de entrada é aquele que só possui ramos de saída ou eferentes; 3) Nó de saída é aquele que só possui ramos de chegada ou aferentes; 4) Nó misto é aquele que possui ramos de entrada e de saída; 5) aminho direto é uma trajetória que liga um nó de entrada a um nó de saída e não cruza nenhum nó mais de uma vez; 6) anho de um caminho é o produto das transmitâncias ao longo do mesmo;

11 7) Laço é um caminho que termina no mesmo nó em que começou e não cruza nenhum nó mais de uma vez 8) Laços que não se tocam ou disjuntos são os que não tem nenhum nó em comum. EXEMPLO de um diagrama de fluxo de sinal: U (S) S S S S 2 S S Y ( S ) 8 Y 2( S ) 3 No diagrama de fluxo de sinal acima temos : Nós :, 2 e 3 é um caminho; Nós : 3, 4, 5 e 2 é também um caminho; Nós : 4, 5, 2, 3 também é um caminho; Nó : é um nó de entrada, ( um ramo eferente); Nós 7 e 8 : são nós de saída, ( um ramo aferente); Nós : 2, 3, 4, 5 e 6 são nós mistos, ( ramos eferentes e aferentes); Nós :, 2, 3, 4, 5, 6 e 7 é um caminho direto entre o nó, (entrada) e o nó 7, (saída). O ganho deste caminho é : 2 2 S ( S )( S 2) ; Nós :, 2, 6 e 7 é um outro caminho direto entre o nó, (entrada) e o nó 7, (saída); O ganho deste caminho é : 6 ; S Nós :, 2, 3 e 8 é um caminho direto entre o nó, (entrada) e o nó 8, (saída);

12 2 O ganho deste caminho é : 2 ( S )( S 2) ; Nós 2, 3 e 2 : formam um laço, (laço ); Nós 4, 5 e 4 : formam um laço, (laço 2); Nós 2, 3, 4, 5 e 2 : formam um laço, (laço 3); Laço e laço 2 : laços que não se tocam, (laços disjuntos); Laço e laço 3 : têm os nós 2 e 3 como nós comuns; Laço 2 e laço 3 : têm os nós 4 e 5 como nós comuns; FÓRMUL DE MSON ( S. J. Mason ) : fórmula de ganho de Mason tem como objetivo calcular a função de transferência, F (S), entre um nó de entrada e um nó de saída em um diagrama de fluxo de sinal. Sendo assim, para sistemas multivariáveis, será aplicada m x r vezes onde m o número de entradas e r o de saídas. ( S) P i i i F onde: F( S) é a função de transferência considerada é o determinante do sistema é o número de caminhos diretos do diagrama L a L b L c L d L e L f L a blc soma dos ganhos dos diferentes laços do diagrama. L soma dos produtos dos ganhos de todas as possíveis combinações de laços que não se tocam, considerados dois a dois. L d Le Lf soma dos produtos dos ganhos de todas as possíveis combinações de laços que não se tocam, considerados três a três. ( E assim sucessivamente ). P i i ganho do iésimo caminho direto. é o iésimo cofator de. É obtido anulandose na expressão de, as parcelas que têm como fator ou fatores, os laços que tocam o iésimo caminho direto.

13 3 ROTEIRO PR PLIÇÃO D FÓRMUL DE MSON ) onsidere um nó de entrada e um de saída. Identifique os caminhos diretos e calcule os respectivos ganhos. 2) Identifique os laços do diagrama e calcule os respectivos ganhos; 3) alcule a 4) alcule. L, L b L c, L d LeL f,...; 5) Para cada caminho direto, calcule os respectivos cofatores, 2,, 6) alcule F (S) para o nós de entrada e saída considerados : F ( S) P i i i 7) Se o sistema for multivariável determine as demais funções de transferência e escreva a matriz de transferência (S). NOT : Os itens 2, 3 e 4 são calculados uma única vez se o sistema for multivariável. ONSTRUÇÃO DE UM DFS PRTIR DE UM DB. Para construir um diagrama de fluxo de sinal a partir de um diagrama de blocos observe que : ) a entrada e a saída de um bloco funcional transformamse em nós; 2) o bloco funcional transformase em um ramo; 3) somadores e pontos de junção transformamse em nós mistos EXEMPLOS : para cada sistema abaixo pedese construir o correspondente diagrama de fluxo de sinal e usando a fórmula de Mason determine a função de transferência : Exemplo 2.2 U(s) (s) 2 (s) Y(s) Figura 2.35 a Solução : o diagrama de fluxo de sinal correspondente é : U(s) (s) 2 (s) Y(s) Figura 2.35 b

14 4 plicando a fórmula de Mason, teremos : P s. s 2 L s L s 2 2 L L L s s a 2 2 L.L s. s b c 2 L L.L L L L.L a b c 2 2 s s s. s 2 2. s.2 s. i i i 2 2 F s P.P s s s. s logo : Fs s.2 s s s s. s 2 2 Exemplo 2.3 U(s) (s) 2 (s) Y(s) Figura 2.36 a Solução : o diagrama de fluxo de sinal correspondente é : U(s) (s) 2 (s) Y(s) Figura 2.36 b

15 5 plicando a fórmula de Mason, teremos : P s. s 2 L s L s 2 2 L L L s s ; L.L não existe a 2 2 b c a 2 2 L L L s s 2 i i i 2. s. s. Fs P.P s s logo : Fs Exemplo 2.4 sistema multivariável : s.2 s s s 2 H U(s) 2 Y (s) 3 Y 2 (s) Figura 2.37 a Solução : o diagrama de fluxo de sinal correspondente é : H U(s) 2 Y (s) 3 Y 2 (s) Figura 2.37 b

16 6 Observe que este sistema tem entrada e 2 saídas como indicado abaixo : u m = y r = 2 Figura 2.38 fórmula de Mason será então aplicada 2 vezes : s s F s s : s r x m 2 x F2 Utilizando a Fórmula de Mason : I. álculo de Fs : F s Y s Us ) P. 2 2) L.H a 2 3) L L s s b L.L ; etc c não existem 4) La L.H 5). 2 ii 2 i F s P...H.H ; logo : 6). 2 Fs.H

17 7 II. álculo de F2s : F 2 s ) Y 2 s Us P P 2 3 2) ( já calculado ) : L.H 3) ( já calculado ) : La L.H 4) ( já calculado ) : La L.H 5).H 2 i 2 6) F2 s Pi i P P 22 F s...h.h 2 3 ; logo : F 2 s..h.h 3 3 Sendo assim, temos:. 2.H s 3. 3.H.H OBSERVÇÃO: Ys s.h s Y s. 2..U s Y2 s.h 3. 3.H Por simplificação no DB temos:

18 8 U(s) H 2 Y (s) 3 Y 2 (s) Figura 2.39 Vemos facilmente que : F s..h 2..H F2 s 3.H.H 3 3 O que confirma os resultados obtidos via Mason.

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