Introdução aos circuitos seletores de frequências. Sandra Mara Torres Müller

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1 Introdução aos circuitos seletores de frequências Sandra Mara Torres Müller

2 Aqui vamos estudar o efeito da variação da frequência da fonte sobre as variáveis do circuito. Essa análise constitui a resposta em frequência do circuito Os circuitos de seleção de frequência também são chamados de filtros Nenhum filtro é capaz de separar totalmente as frequências desejadas das indesejáveis. O que se faz é atenuar fortemente os sinais indesejáveis e transmitir o que se quer com um mínimo de atenuação.

3 Introdução A FT (Função de Transferência) permite determinar a resposta a um circuito a um sinal senoidal A frequência da fonte é variada sem variar o módulo e a fase Considerando o circuito:

4 Introdução Os sinais que conseguem passar constituem uma faixa de frequência chamada de banda passante. O restante pertence à banda de rejeição. O gráfico da resposta em frequência mostra como a FT varia com a frequência (amplitude e fase)

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6 Introdução O ângulo de fase de um filtro ideal varia linearmente na banda passante e isso evita que o sinal sofra distorções As características de amplitude e de fase são dependentes dos elementos do circuito e dependente entre si Nos filtros passivos, o ganho máximo é 1 O limite entre a banda passante e a banda de rejeição é definido pela frequência de corte

7 Filtro passa-baixas Temos dois exemplos: circuito RL e RC série

8 Circuito RL série (análise qualitativa) v i é a tensão senoidal de frequência variável v o é a tensão em R Z L = jωl Se ω é pequeno, o indutor é um curto, ωl<<r, v o = v i, sinal em fase Se ω é grande, o indutor é um circuito aberto, ωl>>r, v o = 0, fase=90º

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10 Definição da frequência de corte A frequência de corte é aquela para a qual o módulo da função de transferência é igual ao valor máximo dividido por 2 Essa definição vem do fato de que a potência média fornecida a uma carga é dada por Para tensão senoidal temos:

11 Definição da frequência de corte Para ω=ω c, temos: Substituindo na equação da potência, temos:

12 Frequência de corte Ou seja, para ω=ω c, a potência média fornecida é a metade da potência média máxima Dentro da banda passante, a potência média fornecida a uma carga é pelo menos 50% da potência média máxima

13 Circuito RL série (análise quantitativa)

14 Circuito RL série (análise quantitativa)

15 Circuito RL série (análise quantitativa) Para a frequência de corte, ω=ω c, temos: Da qual obtemos:

16 Exemplo 15.1 O sinal de ECG tem frequência na ordem de 1 Hz (72 batidas por minuto). O equipamento tem que funcionar na presença de ruídos de 60 Hz da rede elétrica. Projete um filtro RL passa-baixas para filtrar frequência > 10 Hz. Calcule V o para 1 Hz, 10 Hz e 60 Hz para avaliar o desempenho.

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19 Análise qualitativa Circuito RC série

20 Circuito RC série (análise quantitativa) EXEMPLO 15.2 Para o circuito RC da figura abaixo: Determine o módulo da função de transferência entre a tensão da fonte e a tensão de saída Escreva um equação para a frequência de corte do circuito RC em série Escolha os valores de R e C para que o circuito se comporte como um filtro passa-baixas com uma frequência de corte de 3k Hz

21 Circuito RC série (análise quantitativa) EXEMPLO 15.2 Módulo da FT:

22 Circuito RC série (análise quantitativa) EXEMPLO 15.2 Frequência de corte:

23 Circuito RC série (análise quantitativa) EXEMPLO 15.2 Valores de R e C: Estipulando C=1uF e considerando f c =3k Hz:

24 Filtro passa-baixas Generalizando, para um filtro passa-baixas temos a FT da forma: Onde

25 Filtro passa-altas Alterando-se a posição dos componentes, temos outro tipo de filtro, o filtro passa-altas Circuito RC série: análise qualitativa Se ω é pequeno, o capacitor é um circuito aberto, 1/ωC>>R, v o = 0, fase=90º Se ω é grande, o capacitor é um curto, 1/ωC<<R, v o = v i, sinal em fase

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27 Circuito RC série (analise quantitativa)

28 Circuito RC série (analise quantitativa) Para se determinar a frequência de corte:

29 Exemplo 15.3 Mostre que o circuito RL abaixo se comporta como um filtro passa-altas Determine a FT do circuito Use o resultado anterior para determinar a frequência de corte Escolha valores de R e L para que o filtro passa-altas resultante tenha uma frequência de corte de 15kHz

30 FT: Exemplo 15.3

31 Exemplo 15.3 Frequência de corte:

32 Exemplo 15.3 Valores de R e L Estipulando R = 500 Ω, temos

33 Exemplo 15.4 Examine a influência de um resistor de carga em paralelo com o indutor do filtro passa-altas da figura abaixo Determine a função de transferência Faça um gráfico do módulo da tensão de saída do circuito usando os valores de R e L do exemplo anterior e fazendo R L =R. No mesmo gráfico, mostre também a tensão de saída do filtro não-carregado do exemplo anterior. Suponha uma tensão de entrada de 1 V.

34 FT Exemplo 15.4

35 Gráfico Exemplo 15.4

36 Filtros passa-altas Em geral, os filtros passa-altas tem a FT dada por:

37 Exercício 15.3 Um circuito RL série deve funcionar como filtro passabaixas com uma frequencia de corte de 2k Hz. Sabendo que R=5Ω, determine L; (0,4 H) H(jω) para uma frequência de 50k Hz; (0,04) θ(jω) para uma frequência de 50k Hz; (-87,71º)

38 Filtros passa-bandas Este filtro possui duas frequências de corte, ω c1 e ω c2, onde H(ω c ) =H max / 2 A frequência central, ω 0, é a frequência para a qual a FT é um número real. É conhecida também como frequência de ressonância (frequência natural do circuito) O módulo da FT é máximo quando a frequência é igual à frequência central

39 Filtros passa-bandas Banda passante, β, é a largura da banda de passagem Fator de qualidade, Q=(ω 0 /β), é uma medida da largura da banda passante que não depende da posição absoluta das frequências de corte Dos 5 parâmetros (ω c1, ω c2, ω 0, β e Q) apenas 2 podem ser especificados livremente.

40 Circuito RLC série (análise qualitativa) Quando ω=0, L é um curto e C é um circuito aberto. Então, V o =0 90º Quando ω=, L é um circuito aberto e C é um curto. Então, V o =0-90º jωl = -1/jω c ω 0. Então, V o =V i 0º

41 Circuito RLC série (análise qualitativa)

42 Circuito RLC série (análise quantitativa)

43 Circuito RLC série (análise quantitativa) A frequência central, ω 0, é definida como a frequência para a qual a FT é um número real. Assim, as impedâncias do capacitor e indutor deverão se anular

44 Circuito RLC série (análise quantitativa) Para o cálculo das frequências de corte temos que: Assim, Hmax H( j 0 ) H( j c 1) H( j c2) 2 2

45 Circuito RLC série (análise quantitativa) Provou-se então que a amplitude máxima é 1. Para obter as frequências de corte, temos:

46 Circuito RLC série (análise quantitativa) A solução da equação quadrática do slide anterior fornece quatro valores para a frequência de corte. Apenas dois desses valores são positivos e têm significado físico:

47 Circuito RLC série (análise quantitativa) Podemos afirmar também que a frequência central é a média geométrica das duas frequências de corte:

48 Circuito RLC série (análise quantitativa) Considerando ω c2 > ω c1, podemos calcular a banda passante, β, como:

49 Circuito RLC série (análise quantitativa) O fator de qualidade, Q, é definido como

50 Circuito RLC série (análise quantitativa) Também há outras equações que relacionam os cinco parâmetros de um filtro passa-faixas

51 Exemplo 15.5 O equalizador gráfico é um amplificador de áudio que permite escolher diferentes valores de amplificação para diferentes faixas de frequência. Usando o circuito RLC em série, escolha os valores de R, L e C para construir um filtro de banda de passagem que transmita apenas as frequência entre 1k Hz e 10 Hz. Um circuito deste tipo poderia ser usado em um equalizador gráfico para separar esta faixa de frequências da faixa completa de frequências de áudio (que normalmente vai de 0 a 20k Hz) antes do estágio de amplificação.

52 Exemplo 15.5 Verificando:

53 Exemplo 15.6 Mostre que o circuito RLC da figura abaixo também se comporta como um filtro de banda de passagem obtendo a expressão da FT H(s) Determine a frequência central ω 0 Calcule as frequências de corte ω c1, ω c2, a banda passante β e o fator de qualidade Q Sabendo que o valor do capacitor é 5uF, especifique os valores de R e L para que o filtro tenha uma frequência central de 5k Hz e uma banda passante de 200 Hz

54 FT Exemplo 15.6

55 Exemplo 15.6 Cálculo de ω 0 H(jω) será máximo quando o termo abaixo for zero:

56 Exemplo 15.6 ω c1, ω c2 Novamente obtém-se duas equações do segundo grau, com quatro soluções. Apenas duas são positivas e têm significado

57 Exemplo 15.6 Β e Q Podemos expressar as frequências de corte em função da frequência central e da banda passante

58 Exemplo 15.6

59 Exemplo 15.7 Em todos os filtros de banda de passagem que examinamos até agora, supusemos que a fonte de sinal era ideal, isto é, não possuía impedância interna. Embora esta hipótese muitas vezes seja razoável, existem casos em que ela não se aplica; isto acontece quando o filtro é projetado com valores de R, L e C cuja impedância não é muito maior do que a impedância interna da fonte de sinal. Para investigar o efeito de uma impedância interna da fonte puramente resistiva, R i, sobre as características de um filtro de banda de passagem baseado em um circuito RLC em série: Determine a FT Considere f 0 =1k Hz e β=20 Hz e R i =0, faça o gráfico de H(jω) em função da frequência. Faça o mesmo para R i =R

60 FT: Exemplo 15.7

61 Exemplo 15.7

62 Gráfico Exemplo 15.7

63 Filtro passa-bandas Comparando os valores dos parâmetros característicos do filtro com R i =0 e R i 0, observa-se: As frequências centrais são as mesmas O valor máximo de H(jω) é maior para o filtro com R i =0 A banda passante com R i =0 é menor. Assim, as frequências de corte e os fatores de qualidade dos dois filtros são diferentes A presença de uma resistência interna na fonte não altera a frequência central, mas aumenta a banda passante e diminui o ganho do filtro Esses problemas podem ser diminuídos com o uso de filtros ativos

64 Filtro passa-bandas Em geral, a FT de um filtro passa-bandas é dada por: Considerando uma resistência interna na fonte:

65 Exercício 15.6 Determine os valores de R e L para que o circuito abaixo se comporte com um filtro de banda de passagem com uma frequência central de 12k Hz e um fator de qualidade de 6. Use um capacitor de 0,1uF. L = 1,76 mh e R = 22,1 Ω

66 Filtro rejeita-bandas Circuito RLC série (análise qualitativa) Se ω=0, V o =V s 0º Se ω=, V o =V s 0º Se ω=ω 0, jωl=-j/ωc, V o =0 ±90º

67 Filtro rejeita-bandas Circuito RLC série (análise quantitativa)

68 Filtro rejeita-bandas A frequência central é também definida como a frequência para a qual a soma das impedâncias do capacito e do indutor é zero Observe que H max = H(j0) = H(j )

69 Filtro rejeita-bandas As frequências de corte, a banda rejeitada e o fator de qualidade do filtro de banda de rejeição são definidos exatamente da mesma forma que o filtro passa-bandas

70 Exemplo 15.8 Um filtro de banda de rejeição RLC série tem uma banda rejeitada de 250 Hz e uma frequência central de 750 Hz. O valor do capacitor é 100 nf. Calcule os valores de R, L, ω c1, ω c2, Q

71 Filtro rejeita-bandas Outro circuito que pode funcionar com filtro rejeitabandas é o circuito RLC sérieparalelo De uma forma geral, a FT para os filtros rejeita-bandas é dada por:

72 Exercício Determine os valores dos componentes do circuito RLC série para que ele se comporte como um filtro de banda de rejeição com uma frequência central de 20 khz e um fator de qualidade igual a 5. Suponha que o valor do resistor é 100 Ω. L = 3,98 mh e C = 15,92 nf

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