Circuitos CA I. 1 Resumo da aula anterior. Aula 6. 5 de abril de 2011

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Matheus Henrique Pedroso Cordeiro
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1 Circuitos CA I Aula 6 5 de abril de 20 Resumo da aula anterior Estudamos a teoria formulada por Lammor que permite explicar a existência de diamagnetismo em algumas substancia. Basicamente a teoria supõe que um material é não magnético a soma dos momentos dipolares internos é nulo. Com isso em mente, supõe que dois átomos adjacente (com momentos dipolares em sentidos opostos) sofreram efeitos diferente devido a um campo externo, aquele átomo que tiver o momento magnético orientado na direção do campo sofrerá um aumento na sua rotação angular, enquanto que u outro sofrerá um decréscimo. O interessante é que com os átomos são iguais (só muda neles o sentido da rotação em torno do núcleo) o aumento e diminuição na velocidade angular é igual assim obtemos e, para o outro elétron onde ω = ω 0 + ω L ω 2 = ω 0 ω L ω L = eb () é a frequência de Lammor. Estas frequência de rotação do elétron são importantes para o calculo do momento magnético orbitas, µ = e2 r 2 0B De onde vemos o sinal que diz que o momento magnético resultante é contrario ao campo aplicado. A partir desso podemos calcular a susceptibilidade magnética χ = n e2 r 2 0 Para o caso do paramagnetismo também desenvolvemos uma teoria clássica. A ideia foi supor que existe uma competição entre o campo aplicado (que pretende alinhar os momentos) e a energia térmica (que introduz desordem no sistema). Com base a isso notamos que o momento magnético resultante desta disputa é uma fração proporcional ao coseno do angulo entre o momento magnético e o campo aplicado, num dado momento. Devido a que temos uma distribuição de muitos dipolos, utilizamos a equação de Maxwell-Boltzman para calcular o valor médio desse coseno. O resultado obtido para a magnetização foi com M = nµ ( exp (αw) + exp ( αw) exp (αw) exp ( αw) ) α α = µb kt Para o caso em que kt << µb, a equação para a magnetização se reduz a M = nµ2 B 3kT

Com isso em mente, supõe que dois átomos adjacente (com momentos dipolares em sentidos opostos) sofreram efeitos diferente devido a um campo externo, aquele átomo que tiver o momento magnético

2 e a susceptibilidade a χ = nµ2 3kT equação está que tem a mesma forma que a equação que descreve a lei de Courie. Para o caso dos ferromagnétos mencionamos que suas propriedades inusuais tem origem totalmente quântico, no acoplamento de spin com orientação antiparalela. Essa forte interação é responsáveis de que para esses materiais seja observado curvas de histereses, contudo se a temperatura é aumentada muito ele passam a se comportar como paramagnétos e obedecem a lei de Curie χ = C T T c 2 Circuitos de corrente alternada. Sem duvida é de conhecimento de todos que a FEM que é fornecida pelas companhias de eletricidade é uma FEM diferente de aquela que se pode obter a partir de uma bateria. Esse tipo de FEM se conhece como FEM alternada pois ela oscila de forma senoidal dentro da rede que forma o circuito. Aqui no Brasil a frequência de oscilação dessa corrente é de 60Hz. 2. Circuito Vamos considerar o circuito que está formado por um capacitor ligado em série a um indutor. Apliquemos a lei de Kirchoff ao circuito E = L di + q C derivando está equação em relação a t (2) Figura : Circuito. Essa equação tem a mesma forma que a equação que se obteve para o caso do oscilador bloco-mola. Essa equação é uma equação diferencial de II ordem com coeficientes constante. Similarmente ao que foi feito para o caso do sistema bloco-mola testamos a seguinte solução i = i 0 cos (ωt + φ) (4) substituindo na equação, obtemos ω = = 2πf = 2π T onde ω é a frequência angular, f é a frequência e T é o período. Na equação i 0 é a amplitude de oscilação da corrente e φ é a fase. Exemplo Um capacitor de 2µF e um indutor de 0.5H estão ligado a uma bateria de 2V. Em t = 0 o capacitor está descargado é fechado um disjuntor, estabelecendo assim um circuito completo. (a) Como varia a corrente com o tempo? (b) Encontre a carga do capacitor em função do tempo, (c) Obter uma expressão para a diferença de potencial através do indutor Solução A frequência angular do sistema é L d2 i + dq 2 C = 0 (3) 2 ω =

Essa forte interação é responsáveis de que para esses materiais seja observado curvas de histereses, contudo se a temperatura é aumentada muito ele passam a se comportar como paramagnétos e obedecem

3 = (2 0 6 ) (0.5) = 0 3 rad/s Em t = 0 temos i = q = 0, colocando em 4 i = i 0 cos φ = 0 φ = ± π 2 Como em t = 0 não tem carga, toda a diferença de potencial da bateria aparece no indutor, assim E = L di = i 0 Lω sin φ E i 0 = Lω sin ( ) ± π 2 esperamos que i 0 > 0 então φ = π 2 substituindo o valor de ω dessa forma i 0 = E C L i = E ( Lω cos ωt π ) 2 = E sin (ωt) Lω colocando os valores obtemos i = sin (000t) Para encontrar a carga no capacitor, lembramos que i = dq dq = i Figura 2: Circuito., podemos calcular a carga no capacitor q = E Lω ˆ t 0 sin (ωt) = E Lω [ cos 2 ωt]t 0 = E L [ cos ωt] E C [ cos ωt] assim, a diferença de potencial no capacitor V c = q C = E [ cos ωt] Podemos também calcular a diferença de potencial no indutor V L = L di = E cos ωt Observando o gráfico de V L e V c vemos que a diferença de potencial entre o capacitor e o indutor é de 90, de fato, o capacitor está atra- 3

sin φ E i 0 = Lω sin ( ) ± π 2 esperamos que i 0 > 0 então φ = π 2 substituindo o valor de ω dessa forma i 0 = E C L i = E ( Lω cos ωt π ) 2 = E sin (ωt) Lω colocando os valores obtemos i = 0.

4 sado em relação ao indutor. 2.. Consideração energéticas Multiplicando por i a equação 2 ou seja E i = Li di + iq C Li di + q dq C = 2 Ld2 i 2 + E i = d d 2 q ( ) 2 LI2 + q2 O membro à esquerda é a energia fornecida pela bateria. Como i oscila, então a energia oscila. É interessante observar que se a potencia fornecida pela fonte fosse zero, teríamos que a energia no circuito se conserva e fica oscilando entre L e C. fazemos Para ver isto mais facilmente L di + q C = 0 d 2 q 2 = q igualmente, esta é o mesmo tipo de equação diferencial que a anterior, assim onde ω = e e q = q 0 cos (ωt + φ) i = ωq 0 sin (ωt + φ) di = q 0 cos (ωt + φ) Como q = Q 0 em t = 0 e i = 0, temos Q 0 = q 0 cos φ 0 = ωq 0 sin φ Figura 3: Ciclo da energia no circuito. disto vemos que φ = 0, assim De aqui é fácil ver que q = q 0 cos (ωt) i = ωq 0 sin (ωt) di = q 0 cos (ωt) V C = q C = Q 0 C cos ωt = V 0 cos ωt V L = L di = V 0 cos ωt = V 0 cos (ωt π) Novamente temos um comportamento desfasado em 90. Dentro do circuito temos conservação de energia. Inicialmente temos o capacitor carregado no seu valor máximo. A medida que passa o tempo vai diminuído a corrente no circuito, como resultado disso o fluxo através do indutor diminui, o que resulta numa fem induzida a qual tenta compensar a perda o que resulta no subsequente carregamento do capacitor, mas desta vez polarizado ao contrario. Novamente o capacitor proporciona uma diferença de potencia que resulta numa corrente, mas essa corrente tem sentido oposto a anterior e se repete o ciclo novamente. 4

Como i oscila, então a energia oscila. É interessante observar que se a potencia fornecida pela fonte fosse zero, teríamos que a energia no circuito se conserva e fica oscilando entre L e C.

5 Figura 4: Energia magnética e elétrica como função do tempo. A energia armazenada no campo elétrico está dada por e no indutor U E = q2 = Q2 0 cos2 ωt U B = 2 Li2 = 2 Lω2 Q 2 0 sin 2 ωt como ω 2 = / U B = Q2 0 sin2 ωt U = U E + U B = Q2 que, como dito anteriormente, é constante e armazenada no circuito. O comportamento observado da energia é muito similar ao observado quando foi analisado o problema massa-mola onde podemos comparar a energia potencial armazenada na mola kx 2 /2 com a energia no capacitor q 2 /, em quanto que a energia cinética mv 2 /2 é comparável à energia magnética, Li 2 /2 5

sin2 ωt U = U E + U B = Q2 que, como dito anteriormente, é constante e armazenada no circuito.

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