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2 Introdução Os primeiros filtros construídos eram circuitos LC passivos. Estes filtros funcionam bem em altas frequências mas em baixas frequências (de DC a 100KHz) as bobines são grandes, tem características não ideais e são impossíveis de fabricar em circuito integrado e pouco compatíveis a montagem de circuitos impressos modernos. Neste capítulo são estudados filtros sem bobinas como o filtro activo RC e filtros de condensadores comutados. Os filtros RC activos utilizam amplificadores operacionais juntamente com resistências e condensadores e são fabricados na forma discreta com tecnologia hybrid thick-film e hybrid thin film. Mas estas tecnologias, na produção em larga escala, não atingem os baixos preços de soluções totalmente integradas. Actualmente a solução mais viável para a realização dum filtro totalmente integrado é a técnica de condensadores comutados. p. 2/2

3 p. 3/2 Função de Transferência do Filtro A função de transferência T(s) é dada por T(s) = V o(s) V i (s) Sendo s = jw T( jw) = T( jw) e jφ(w) A função de ganho G(w) = 20log T( jw),db A função de atenuação A(w) = 20log T( jw),db A fase do sinal de entrada é alterada segundo a função φ(w).

4 Tipos de Filtro p. 4/2

5 p. 5/2 Especificação de filtros passa-baixo A característica de transmissão de um filtro passa baixo é especificada por quatro parâmetros: Uma frequência superior da banda passante w p a 3dB). A máxima variação permitida da banda passante A max (tipicamente de 0.05dB A frequência inferior da banda de rejeição w s Atenuação mínima na banda de rejeição A min (tipicamente de 20dB a 100dB).

6 p. 6/2 Especificação de filtros passa-baixo A razão w s /w p é usualmente usada como a medida da transição rápida entre a banda passante e a banda de rejeição e é chamada factor de selectividade. Além da especificação da resposta em amplitude há aplicações em que a resposta em fase do filtro é especificada para o projecto. Torna-se no entanto mais complexo quando é preciso obedecer a uma especificação em amplitude e fase. Geralmente é feita uma aproximação duma função de transferência às especificações através de programas de computador ou tabelas de projecto de filtros. Em casos simples a aproximação pode-se fazer através de expressões em forma fechada (não recorrentes).

7 p. 7/2 Especificação de filtros passa-banda A figura mostra as especificações de transferência do filtro passa-banda e a resposta do filtro que obedece a essas especificações. Note-se que neste caso existem duas bandas de transição.

8 p. 8/2 Função de Transferência do Filtro A função de transferência genérica T(s) de um filtro pode ser escrita na forma: T (s) = a Ms M +a M 1 s M a 0 = a M(s z 1 )(s z 2 )...(s z M ) s N +b N 1 s N b 0 (s p 1 )(s p 2 )...(s p N ) O grau do denominador, N, é a ordem do filtro. Para um filtro ser estável o grau do numerador deve ser igual ou inferior ao denominador. As raízes do numerador z 1,z 2,...,z M são os zeros e as raízes do denominador p 1, p 2,..., p N são os pólos da função de transferência ou modos naturais. Pólos ou zeros complexos aparecem em pares conjugados.

9 p. 9/2 Função de Transferência do Filtro A banda de rejeição do filtro para ter valor de zero ou pequeno precisa de ter os zeros nessa banda. O filtro acima tem valor de ganho de zero ( em db) em w l1 e w l2. Isto corresponde a dois pares de zeros conjugados s = ± jw l1 e s = ± jw l2. Quando w então o ganho tende para zero ( em db). Então o filtro tem pelo menos um zero em infinito. A diferença de grau entre o denominador e o numerador é o número de zeros no infinito.

10 p. 10/2 Função de Transferência do Filtro Para o filtro ser estável todos os pólos devem estar no semi-plano esquerdo ou seja os pólos p 1, p 2,..., p N devem ter as partes reais negativas. Todos os pólos estão perto da banda passante o que dá ao filtro o ganho na banda passante.

11 p. 11/2 Função de Transferência do Filtro O filtro acima tem valor de ganho de zero ( em db) em w l1 e w l2. Isto corresponde a dois pares de zeros conjugados s = ± jw l1 e s = ± jw l2. Quando w w 0 então o ganho tende para zero ( em db). Então o filtro tem pelo menos um zero em infinito e zero. A diferença de grau entre o denominador e o numerador é o número de zeros no infinito.

12 p. 12/2 Função de Transferência do Filtro transferência deste filtro é do tipo T (s) = a 0 s N +b N 1 s N b 0 Observamos aqui que não há valores finitos de w na qual a atenuação é (valor de ganho zero). Então os zeros estão todos em infinito. A função de Quase todos os filtros que vão ser estudados têm os zeros no eixo imaginário na banda de rejeição, w = 0 ou w =. Para obter grande selectividade os pólos serão complexos conjugados excepto quando as ordens são ímpares. Quanto mais selectivo é um filtro maior a ordem e mais próximos estão os pólos do eixo imaginário.

13 p. 13/2 Filtro de Butterworth Os zeros da função transferência estão todos em infinito. A amplitude da função de transferência para um filtro de Butterworth de ordem N com uma frequência superior da banda passante w p é dado por: 1 T ( jw) = 1+ε 2( w w p ) 2N Para w = w p T ( jw p ) = 1 1+ε 2 O parâmetro ε determina o valor de A max. A máxima variação na banda passante é: A max = 20log 1+ε 2. A partir de A max, o valor de ε é dado por ε = 10 A max/10 1.

14 p. 14/2 Filtro de Butterworth Pode ser mostrado que as primeiras 2N 1 derivadas de T relativamente w é zero em w = 0. Esta propriedade faz da resposta do filtro de Butterworth bastante plana em w = 0, isso justifica o nome em inglês de maximally flat response Na frequência inferior da banda de rejeição w = w s a atenuação do filtro de Butterworth é dada por A(w s ) = [ ] 20log 1/ 1+ε 2 (w s /w p ) 2N = 10log [1+ε 2 (w s /w p ) 2N] Esta equação pode ser usada para calcular a ordem do filtro que é o menor inteiro N que dá A(w s ) A min.

15 p. 15/2 Filtro de Butterworth Os pólos ou modos naturais do filtro Butterworth de ordem N estão num circulo de raio w 0 = w p (1/ε) 1/N e estão espaçados por ângulos de π/n com o primeiro pólo a um ângulo de π/2n do eixo imaginário. A função de transferência é dada por Kw T (s) = N 0 (s+p 1 )(s+p 1 )...(s+p N ) (1) Podemos encontrar a função transferência através do procedimento Determine ε de ε = 10 Amax/10 1 [ Determine a ordem do filtro de A(w s ) = 10log 1+ε 2 (w s /w p ) 2N] com A(w s ) A min. Usar a figura para determinar os pólos. Usar a equação (1) para determinar a função transferência.

16 p. 16/2 Filtro de Chebyshev As figuras mostram filtros de Chebyshev de ordem par e ímpar. Os filtros de Chebyshev exibem uma resposta de igual-ripple na banda passante e decresce continuamente na banda de rejeição. O número de máximos na banda passante é o número de pólos do filtro. Todos os zeros do filtro de Chebyshev estão no infinito. A amplitude da função transferência dum filtro de Chebyshev com limite da banda passante w p é 1 1 T (s) = T (s) = 1+ε2cos2[Ncos 1(w/wp)] 1+ε2cosh2[Ncosh 1(w/wp)] w w p w w p

17 p. 17/2 Filtro de Chebyshev Para a frequência superior da banda passante w = w p T ( jw p ) = 1 1+ε 2 O parâmetro ε determina o ripple na banda passante A max = 10log ( 1+ε 2) A partir de A max o valor de ε é determinado por: ε = 10 A max/10 1

18 p. 18/2 Filtro de Chebyshev A atenuação atingida pelo filtro de Chebyshev no principio da banda de rejeição (w = w s ) é dada por A(w s ) = 10log [ 1+ε 2 cosh 2( Ncosh 1 (w s /w p ) )] (1) Com esta expressão pode obter-se a ordem do filtro N de forma a obter um A min (encontrar o menor N para o qual A(w s ) A min ). Os pólos do filtro de Chebyshev são dados por p k = w p sen ( 2k 1 N π ( 2) senh 1N senh 1 1 ) ε + jwp cos ( 2k 1 N π ( 2) cosh 1N senh 1 1 ) ε k = 1,2,...,N (2)

19 p. 19/2 Filtro de Chebyshev A função transferência do filtro de Chebyshev pode ser escrita como T (s) = Kw N p ε2 N 1 (s p 1 )(s p 2 )...(s p N ) (3) aonde K é o ganho do filtro. O filtro de Chebyshev com as especificações pretendidas pode ser encontrado através dos seguintes passos: Determine ε de ε = 10 A max/10 1 Determine a ordem do filtro de (1) do acetato anterior. Determinar os pólos de (2) do acetato anterior. Usar a equação (3) para determinar a função transferência. O filtro de Chebyshev para obter as mesmas especificações que o filtro de Butterworth requer uma ordem menor.

20 p. 20/2 Filtro de primeira e segunda ordem Filtros de primeira e segunda ordem podem ser combinados em série para obter um filtro de ordem mais elevada. Com filtros activos RC a resistência de saída dum andar é aproximadamente nula não sendo preciso tomar em conta a carga do andar seguinte. Em realizações activas há mais versatilidade do que nas realizações passivas. É possível configurar os ganhos e alterar alguns parâmetros sem afectar outros. No entanto os amplificadores operacionais limitam a resposta em alta frequência dos circuitos activos. A função de transferência de primeira ordem é dada por T(s) = a 1s+a 0 s+w 0 Esta função transferência caracteriza o filtro de primeira ordem com um modo natural em s = w 0 e um zero em s = a 0 /a 1 e um ganho em alta frequência que se aproxima de a 1. Os coeficientes do numerador, a 0 e a 1, determinam o tipo de filtro.

21 Filtro de primeira ordem p. 21/2

22 Filtro Passa-Tudo de primeira ordem O filtro passa-tudo é um caso particular interessante. O zero e o pólo da função transferência estão localizados simétricamente em relação ao eixo jw. De notar que o ganho do filtro passa tudo é idealmente constante em todas as frequências e a sua fase varia com a frequência. Os filtros passa-tudo são usados em filtros deslocadores de fase e em sistemas de equalizadores de atraso que causam que o atraso do sistema para todas as frequências sejam constantes. p. 22/2

23 Filtro de segunda ordem A função de transferência geral de segunda ordem (ou biquadrática) tem a forma T (s) = a 2s 2 +a 1 s+a 0 s 2 +(w 0 /Q)s+w 2 0 Em que os pólos são dados por p 1, p 2 = w 0 2Q ± jw 0 1 (1/(4Q 2 )) São interessantes os casos em que os pólos são tais que Q > 0.5. Este parâmetro determina quanto próximos os pólos estão do eixo imaginário. Quanto maior o valor do factor de qualidade Q mais próximos estão os pólos do eixo imaginário e mais selectivo se torna o filtro. Um valor infinito do factor de qualidade Q os pólos estão no eixo imaginário o que implica que o filtro pode manter oscilações. Um valor negativo de Q implica que os pólos estão no semi plano direito o que faz o filtro produzir oscilações. p. 23/2

24 p. 24/2 Filtro de segunda ordem Os zeros da função são determinados pelos coeficientes do numerador a 0, a 1 e a 2. Os valores dos zeros determinam o tipo de filtro pretendido (Passa-Baixo, Passa-Alto, Passa-Banda, Rejeita-Banda). Nas figuras que se seguem todos os filtros de segunda ordem tem um par de pólos complexos com parâmetros w 0 e factor de qualidade Q. No caso do filtro passa-banda quando Q aumenta a largura de banda do filtro diminui.

25 Filtro de segunda ordem p. 25/2

26 Filtro de segunda ordem p. 26/2

27 Filtro de segunda ordem p. 27/2

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