Instrumentação e Técnicas de. Medidas

Transcrição

1 Instrumentação e Técnicas de Medidas Diagrama de Bode Filtros 20 T(S) = 1 / (S^2 + w /Q S + w ^2) para Q = 0.5, 0.707, 1, 2, 10 Fase (graus); Magnitude (db) (A) Amin Amin Amáx Amáx ωp ωs (B) Amin Freqüência (rad/seg) Amin (D) ω1 ω3 ω4 ω2 (C) Amáx ωs ωp Amáx ω3 ω1 ω2 ω4

2 Controle de Versões 2010 Versão 1 Instrumentação e Técnicas de Medidas (ITM) 2012 Versão 2 Pequenas alterações no texto, links, CIs não obsoletos. Última alteração: 06/11/2013 Instrumentação e Técnicas de Medida UFRJ, 2013/2

3 Índice 25Filtros seletores de frequência Introdução Unidades e nomenclatura Diagramas de Bode Constante Fator S Fator (S + a) Fator (S2 + a S + b) Funções de 1ª e 2ª ordens Gabaritos Desnormalização em Frequência Aproximações Etapas da Síntese Exemplo Exemplo Exemplo Cálculo dos polinômios de aproximação Para aproximação de Butterworth Exemplo Exemplo Aproximação de Chebyshev (I) Exemplo Exemplo Exemplo Soluções tabeladas Síntese de filtros ativos Realizações Filtros de primeira ordem RC Filtro passa baixas RC de primeira ordem Filtros passa altas RC de primeira ordem Filtros de segunda ordem RC...39 Instrumentação e Técnicas de Medida UFRJ, 2013/2 1

4 Filtros variáveis de estado Exemplo Exemplo Configurações de um único amplificador operacional Passa baixas Sallen-Key Passa baixas MFB Passa altas Sallen-Key Passa altas MFB Passa Faixa Sallen-Key Passa faixas MFB Rejeita faixa (ou Notch) Rejeita faixa Sallen-Key (modificado com rede duplo T) Rejeita faixa MFB (modificado) Exemplo Exemplo Exemplo Exemplo Exercícios Filtros a capacitor chaveado Efeitos dos componentes reais Sensibilidade Exemplos...74 APÊNDICE...77 Instrumentação e Técnicas de Medida UFRJ, 2013/2 2

5 25 Filtros seletores de frequência 25.1 Introdução Os filtros seletores de frequência são circuitos que amplificam de forma diferente sinais de diferentes frequências. Desta maneira, os integradores e os derivadores também podem ser classificados como filtros seletores de frequência. Em eletrônica os filtros seletores de frequência (ou simplesmente filtros) estão presentes em quase todos os circuitos, nem que seja para minimizar o ruído em sua saída (normalmente um filtro que amplifique apenas as baixas frequências). Dentre as principais aplicações estão a minimização de ruído de alta frequência, sintonia de rádios, televisões, canais de comunicação, distinguir entre números teclados em uma chamada telefônica, para eliminar ruído em som ou imagens, equalização de som, separar faixas de frequências para alto falantes, limitar frequências para amostragem de sinais antes de uma conversão A/D (conversão de um sinal analógico em um equivalente digital), analisadores de espectro, conformação de formas de onda... Programas para o projeto de filtros ativos com ordem menor do que 16 são comuns. Alguns deles são o FilterCAD da Linear Technology e o FilterPRO da Texas Instruments. Um bom texto sobre filtros pode ser obtido em Analog Filters, da Analog Devices Unidades e nomenclatura O estudo dos filtros está sempre relacionado a função de transferência, de um circuito, ou seja da relação entre saída e entrada, analisadas pelo domínio da frequência. Muitos autores analisam os circuitos do ponto de vista da atenuação e utilizam o db como unidade de medida. A atenuação deve ser entendida, simplesmente, como o recíproco do ganho Atenuação= 1 Ganho Utilizar os termos ganho ou atenuação para valores acima ou abaixo da unidade é matematicamente correto porém pode soar estranho. A escolha pelo termo atenuação se deve ao fato de que os primeiros filtros apresentavam ganho máximo igual a unidade, portanto era mais sensato Instrumentação e Técnicas de Medida UFRJ, 2013/2 3

6 falar em atenuação. Além disto a maioria dos filtros eram obtidos polinomialmente o que tornava a análise da atenuação mais simples. Também é comum utilizar a unidade db para informar ganhos ou atenuações. Isto ocorre porque o gráfico de resposta em frequência é um gráfico logarítmico e o db é uma unidade logarítmica. Quando utilizamos db para quantificar a amplitude da função de transferência e um eixo logarítmico para o eixo das frequências, o gráfico resultante pode ser esboçado pelo uso de retas, simplificando a análise do problema. A conversão de um ganho T(ω) ou atenuação H(ω), especificados como V/V ou A/A, para db pode ser realizada pela equação X(ω) db = 20 log X(ω) onde X(ω) é o módulo da função de transferência em V/V ou A/A. Para fazer a transformação inversa basta usar a equação X (w ) db 20 X (w) =10 A tabela abaixo mostra as relações existentes entre ganho e atenuação. Relação Ganho Atenuação Unidade Relação Ganho Atenuação Unidade v O v I 1 >1 =G <1 V/V ou A/A =G 1 v O v I 1 >0 =G <0 = G db v O v I 1 <1 =G >1 V/V ou A/A =G 1 v O v I 1 <0 =G >0 = G db 25.3 Diagramas de Bode Filtros seletores de frequência podem ser bem representados pelo diagrama de Bode. Supondo uma função de transferência genérica T(S) tal que Instrumentação e Técnicas de Medida UFRJ, 2013/2 4

7 T S = N S S z i D S = K i S p j j então esta função pode ser analisada do ponto de vista de seu módulo e de sua fase: T j db =20 log 10 T j I T ( j θ(ω)=tan 1( RT ( j ω)) 1[ = tan I( j ω z ) )] tan 1[ I( j ω p ) i j R( j ω z i R( j ω p j )] A forma fatorada da equação acima é composta de quatro componentes básicos: Constante; Fator S; Fator (S + a); Fator (S 2 + a S + b). A análise de cada um destes fatores separadamente permitirá analisar todas as funções de filtros estudados nesta disciplina Constante T ( j ω)=k Se K >1 então T ( j ω) db >0 e θ( j ω)=0 Se K <1 então T ( j ω) db <0 e θ( j ω)= Fator S T ( j ω)=s T ( j ω) db =20 log( j ω); inclinação de 20dB/década θ(ω)=tan 1 ( ω 0 ) =90 T ( j ω)= 1 S T ( j ω) db =20 log 1 j ω θ(ω)=tan 1 (0 ) tan 1 ( ω 0 ) = 90 ; inclinação de 20dB/década Instrumentação e Técnicas de Medida UFRJ, 2013/2 5

8 Diagrama de Bode 20 T(S) = 1/S Fase (graus); Magnitude (db) Freqüência (rad/seg) Figura 1: Resposta em frequência para um polo na origem. No MATLAB: bode([1],[1 0]) Fator (S + a) T ( j ω)=s+a T ( j ω) db =20 log j ω+a =20 log(ω 2 +a 2 ) 12 ; T ( j ω) db, ω=a =+20 log(a)+3db θ(ω)=tan 1 ( ω a ) ; inclinação de 45 /década Instrumentação e Técnicas de Medida UFRJ, 2013/2 6

9 T ( j ω)= 1 S+a T ( j ω) db = 20 log j ω+a = 20 log (ω 2 +a 2 ) 1 2 T ( j ω) db, ω=a = 20 log(a) 3dB θ(ω)=tan 1 ( ω a ) ; inclinação de 45o /década A constante a corresponde ao ponto de união das assíntotas e é chamado de polo. Como o polo é real este fator é, muitas vezes, escrito como (S + σ). Diagrama de Bode 0 T(S) = 1 / (S + 1) Fase (graus); Magnitude (db) Freqüência (rad/seg) Figura 2: Resposta em frequência para um polo simples. No MATLAB: bode([1],[1 1]) Fator (S 2 + a S + b) Em baixas frequências o fator (S 2 + as + b) apresenta comportamento semelhante ao fator constante (S 0) enquanto que em altas frequências ele apresenta comportamento semelhante a dois fatores S (S ). Jé em médias frequências este fator pode apresentar um máximo ou um mínimo. Instrumentação e Técnicas de Medida UFRJ, 2013/2 7

10 Para polos d d ω = 1 =0, cuja solução é ω 2 +a j ω+b a2 ω máx 1 = b 2 b, para a 2 ω máx =0, para 2 b 1 a2 2 b <1, e Para a frequência do polo ω=b 1 H j db =20 log j b 2 a j b b =20 log 1 a b =20 log 1 b 20 log b a A constante b a determina a altura do pico e é denominado de fator de mérito Q. Por esta razão o fator (S 2 + as + b) costuma ser reescrito como S 2 Q S 2. Para Q>5 a largura de faixa (-3dB) em torno do máximo pode ser bem aproximada por B = s i = Q. Para uma função de transferência com polos definidos pelo fator (S 2 + as + b) é possível fazer com que o ganho seja de -3dB na frequência ω atuando sobre o fator de mérito Q. Isto ocorre para Q= 1 2. Se 0 Q 0,5 a função de transferência fica com polos reais (Q=0,5 corresponde a dois polos iguais). A medida que o Q aumenta é possível produzir picos na resposta em frequência. A figura a seguir mostra a influência de Q na resposta em frequência. Instrumentação e Técnicas de Medida UFRJ, 2013/2 8

11 Diagrama de Bode 20 T(S) = 1 / (S^2 + w /Q S + w ^2) para Q = 0.5, 0.707, 1, 2, 10 Fase (graus); Magnitude (db) Freqüência (rad/seg) Figura 3: Resposta em frequência para polos complexos. No MATLAB: bode([1],[1 1/Q 1]) 25.4 Funções de 1ª e 2ª ordens A próxima tabela mostra as funções de transferências que podem ser obtidas com os fatores de primeira e segunda ordem apresentados anteriormente. Tipo de filtro Integrador Função de transferência K S Localização dos polos e zeros Zero no infinito Polo na origem. Passa baixa 1ª ordem K 0 S 0 Passa alta 1ª ordem K S S 0 Zero no infinito Polo sobre o eixo σ (-σ 0 ) Zero na origem Polo sobre o eixo σ (-σ 0 ) Instrumentação e Técnicas de Medida UFRJ, 2013/2 9

12 Tipo de filtro Função de transferência Localização dos polos e zeros Passa baixa de 2ª ordem Passa alta de 2ª ordem Passa faixa (2ª ordem) K K K 0 2 S 2 0 Q S 2 0 S 2 S 2 0 Q S Q S S 2 0 Q S zeros no infinito 2 polos com raio ω 0 no plano S 2 zeros na origem 2 polos com raio ω 0 no plano S 1 zero na origem 1 zero no infinito 2 polos com raio ω 0 no plano S Rejeita faixa (2ª ordem) K S S 2 0 Q S zeros sobre o eixo jω ( ω 0 ) 2 polos com raio ω 0 no plano S Passa baixa notch (2ª ordem) K S S 2 0 Q S zeros sobre o eixo jω ( zeros > ω 0 ) 2 polos com raio ω 0 no plano S Passa alta notch (2ª ordem) K S S 2 0 Q S zeros sobre o eixo jω ( zeros < ω 0 ) 2 polos com raio ω 0 no plano S Na tabela acima vale a pena observar o nome ou o tipo dos filtros. Observa-se nomes relacionados as frequências que são mais amplificadas e quais as frequências são atenuadas. Os quatro principais tipos são o passa baixas, o passa altas, o passa faixa e o rejeita faixa de frequências. Estes tipos nos levam aos quatro gabaritos utilizados para projeto de filtros Gabaritos Os filtros seletores de frequência apresentam quatro comportamentos principais denominados passa baixas (PB), passa altas (PA), passa faixas (PF) e rejeita faixas (RF) em função da faixa de frequências que apresentam maior ganho. Os gabaritos de atenuação são apresentadas na próxima figura. Instrumentação e Técnicas de Medida UFRJ, 2013/2 10

13 Costuma ser especificados no projeto a atenuação mínima (para região de frequências a atenuar região de atenuação), atenuação máxima (para região de frequências que não devem ser atenuadas região de passagem), frequências que delimitam a região de passagem (banda de passagem) e frequências que delimitam a região de atenuação (banda de atenuação). Os requisitos são sempre convertidos nos requisitos de um filtro passa baixas normalizado. Caso o filtro não seja um passa baixa também é necessário uma transformação em frequência. Nesta normalização a frequência limite da banda de passagem é ω p =1, a frequência limite da banda de rejeição é ω s, a atenuação permitida na banda de passagem é A máx e a mínima atenuação exigida para a banda de rejeição A min. Figura 4: Gabaritos dos filtros seletores. (A) passa baixa, (B) passa alta, (C) passa faixa, (D) rejeita faixa Instrumentação e Técnicas de Medida UFRJ, 2013/2 11

14 Desnormalização em Frequência Transformação Passa Baixa Passa Baixa Normalizado Amin Amáx ωp ωs Para normalizar ω p =1 ω s = ω s ω p Para desnormalizar Substituir S por S ω p Alternativamente: Escrever a equação do filtro em seções de primeira e segunda ordem, fazendo ω 0 =ω p ou σ 0 =ω p. Transformação Passa Alta Passa Baixa Normalizado Amin Amáx ωs ωp Para normalizar Instrumentação e Técnicas de Medida UFRJ, 2013/2 12

15 ω p =1 ω s = ω p ω s Para desnormalizar Substituir S por ω p S Alternativamente: Escrever a equação do filtro em seções de primeira e segunda ordem, fazendo ω 0 =ω p ou σ 0 =ω p. Transformação Passa Faixa Passa Baixa Normalizado Amin Amáx ω3 ω1 ω2 ω4 Para normalizar o filtro é necessário fazer com que as atenuações Amín sejam iguais nas duas bandas de rejeição e que as frequências do filtro atendam a seguinte condição 1 1 ω 0 = [ ω 1 ω ] = [ ω 3 ω 4, com banda de passagem entre ω ] 1 e ω 2. Quando as exigências forem atendidas a normalização é feita fazendo ω p =1 ω s = ω 4 ω 3 ω 2 ω 1 Para desnormalizar Substituir S por S 2 +ω 0 2 B S, onde B=ω 2 ω 1 = ω 0 Q Instrumentação e Técnicas de Medida UFRJ, 2013/2 13

16 Transformação Rejeita Faixa Passa Baixa Normalizado Amin Amáx ω1 ω3 ω4 ω2 Para normalizar o filtro é necessário fazer com que as atenuações Amáx sejam iguais nas duas bandas de passagem e que as frequências do filtro atendam a seguinte condição 1 1 ω 0 =[ω 1 ω 2 2 2] =[ω 3 ω 4], com banda de passagem entre ω 1 e ω 2 Quando as exigências forem atendidas a normalização é feita fazendo ω p =1 ω s = ω 2 ω 1 ω 4 ω 3 Para desnormalizar Substituir S por B S S 2 2, onde B=ω 2 ω 1 = ω 0 +ω 0 Q 25.6 Aproximações Uma vez que todos os filtros podem ser normalizados e transformados em um passa baixas é necessário encontrar um polinômio que atenda as especificações do projeto. Existem vários tipos de funções de transferência, algumas são polinomiais (com zeros no infinito como os filtros Butterworth, Chebyshev I e Bessel) ou não polinomiais (com zeros finitos sobre o eixo jω como os filtros Cauer e Chebyshev II). Nestas funções os zeros sobre o eixo jω ajudam a obter uma atenuação mais rápida na banda e transição. Instrumentação e Técnicas de Medida UFRJ, 2013/2 14

17 A seguir são apresentados alguns polinômios que podem ser empregados para o projeto de filtros e algumas características de cada um destes polinômios. Bessel BS Função monotônica na banda passante; Quanto maior o grau do filtro mais linear a fase na banda de passagem; Pior resposta em magnitude dentre os listados aqui; Não preserva característica de fase quando se fazem desnormalizações em frequência; Ordem muito alta, característica de fase muita boa. Gauss GS Monotônico na banda de passagem; Melhor resposta temporal (overshoot e atraso ao degrau) dentre os filtros polinomiais, para um dado grau e A máx ; Semelhante ao filtro de Bessel; Ordem muito alta característica de fase muito boa. Multiplicidade n Monotônico na banda de passagem; Polos reais; Ótimas características temporais (menor tempo de atraso e sem overshoot) e de fase; Pobre característica de atenuação. Ordem muito alta característica de fase muito boa. Butterworth BT Função monotônica mais planas possível; Ordem alta, característica de fase boa. Halpern HA Dentre os polinomiais com características monotônicas na banda passante é o de corte mais abrupto dado um dado grau e A máx ; Ordem média característica de fase média. Legendre LG Instrumentação e Técnicas de Medida UFRJ, 2013/2 15

18 Dentre os polinomiais com características monotônicas na banda passante apresenta a maior inclinação na característica de magnitude em torno da frequência limite da banda de passagem; Ordem média característica de fase média. Chebyshev (I) CB Equiripple na banda passante, função monotônica na atenuação; Corte mais abrupto entre os polinomiais, para um dado grau e A máx ; A fase, entretanto, vai piorando a medida que o grau aumenta; Ordem baixa, característica de fase ruim. Chebyshev (II) Inverso CI Monotônica na banda passante, portanto melhor característica de fase; Equiripple na banda de rejeição; Não polinomial, apresenta zeros sobre o eixo jω; Ordem baixa, característica de fase boa. Cauer ou Elíptico CE Equiripple na banda de passagem e de atenuação; Menor ordem zeros sobre o eixo jω ajudam; Característica de fase pior que Chebyshev Inverso; Ordem muito baixa. Transicionais FT Melhor conjunto de características temporal, fase, e atenuação. Pelo exposto acima, observa-se que, via de regra, melhores características de fase estão associadas a melhores características temporais. Assim, os principais critérios (os mais comuns) de escolha para estas aproximações são: Ordem do filtro (Cauer, Chebyshev, Halpern, Legendre...); Dificuldade de implementação zeros em jω (mais difíceis Cauer e Chebyshev II); Sensibilidade desvio na magnitude e fase; Regularidade na curva de resposta (Butterworth); Instrumentação e Técnicas de Medida UFRJ, 2013/2 16

19 abaixo. Resposta temporal (Gauss, Bessel); Característica de fase incluir o equalizador de fase (Bessel e Gauss para PB, composição com equalizador, Multiplicidade n e Transicional...); Uma síntese das principais características para os filtros mais comuns são listadas na tabela Polinômios Faixa de Passagem Faixa de Rejeição Fase Grau do Filtro Butterworth Máxima planura Monotônico Boa Médio + Chebyshev I Ondulado Monotônico Regular Médio Chebyshev I Monotônico Ondulado Regular Médio Bessel Plano Monotônico Ótima Grande Elíptico (Cauer) Ondulado Ondulado Ruim Pequeno 25.7 Etapas da Síntese Uma vez colocada as principais etapas para o projeto dos filtros seletores de frequência é possível descrever em detalhes o mecanismo para o projeto de um filtro deste tipo. São necessárias pelo menos 9 etapas descritas na sequência: (1) Examinar o problema físico e determinar os requisitos necessários; (2) Estipular as atenuações máximas e mínimas, determinar as frequências características; (3) Normalizar as frequências do filtro; (4) Escolher aproximação; (5) Determinar a T(S) ou H(S); (6) Escolher a técnica de implementação; (7) Desnormalizar as frequências do filtro; (8) Analisar a rede com valores nominais; Instrumentação e Técnicas de Medida UFRJ, 2013/2 17

20 (9) Testar o filtro Exemplo 1 Etapa 1: Minimizar o efeito de uma interferência de 60Hz e tensão eficaz de 1V sobre um sinal com banda passante de 10Hz e amplitude de 0,1V. Admite-se 11% de atenuação máxima do sinal na banda passante. Deseja-se uma relação sinal ruído de 100 vezes. Etapa 2: Filtro passa baixas (a opção mais simples) Ganho Mínimo na Banda Passante: 20 log (100% 11%) = 1dB Diferença de amplitude entre Sinal e Ruído: 20 log (0,1 / 1) = 20dB Relação sinal ruído de 100 vezes: 20 log (100) = 40dB A máx = 1dB A min = 40dB + 20dB + 1dB = 61dB Frequência de corte 10Hz, frequência da banda de atenuação 60Hz Etapa 3: Exemplo 2 Projetar um filtro capaz de eliminar a frequência de 60Hz, mantendo o ganho aproximadamente unitário para DC e 2kHz. Faça o projeto para uma banda de rejeição de ±10Hz. Filtro rejeita faixa (notch) de segunda ordem. T ( s)= 1 s+1, desnormalizar com s= (2 π 20)2 s 2 +(2 π 60) 2 previamente. Alternativamente escrevemos a função de segunda ordem com B e ω 0 identificados Instrumentação e Técnicas de Medida UFRJ, 2013/2 18

21 T s = s2 0 2 s 2 B s 0 2 = s s s Exemplo 3 Devemos excitar um circuito com sinais na faixa de 300Hz a 3,4kHz. Uma interferência de 60Hz está presente no sistema prejudicando o experimento. Deseja-se projetar um filtro passa faixa tal que esta interferência seja atenuada em 15 vezes. Desenhe o gabarito do filtro desejado e do passa baixas normalizado. Diga a aproximação que devemos escolher se desejarmos o filtro de menor grau. Amin Atenuação Atenuação Amáx ωp ωs ω3 ω1 ω2 ω4 ω 1 =300Hz, ω 2 =3,4kHz, ω 3 =60Hz, ω 4 = (ω 1 ω 2 )/ω 3 = 17kHz, ωp=1rad/s, ωs= (ω 4 ω 3 )/(ω 1 ω 2 )=5,46rad/s. Amáx = 3dB, Amín = 20 log(15) db O filtro com menor grau é um filtro do tipo Cauer Cálculo dos polinômios de aproximação As aproximações apresentadas anteriormente configuram algumas das possíveis aproximações empregadas para os filtros. Existe um número ilimitado de funções que satisfazem os requisitos de um dado gabarito sendo que algumas são obtidas por métodos de otimização puramente numéricos e outras por funções analíticas consagradas. Instrumentação e Técnicas de Medida UFRJ, 2013/2 19

22 Antes de apresentar a solução para o cálculo de alguns filtros considere que a função de atenuação H(ω) possa ser escrita como H (ω) 2 =1+ K (ω) 2 onde K( ω) é a função característica A(ω)=10 log(1+ K (ω) 2 ) Definindo ε como a máxima distorção (variação de ganho ou atenuação) na banda de passagem (em alguns casos ε é o ripple na banda de passagem) da função característica K(ω), temse K (ω p )=ε A(ω p )= A máx =10 log(1+ε 2 ) [db] ε=[ 10 A máx 10 1] 1 2, A máx em db Para aproximação de Butterworth K (ω)=ε( ω ω p ) n H (ω) =[ 1+ε2 ( ω ω p ) 2 n ] 1 2 A(ω)=10 log [ 1+ε 2 ( ω ω p ) 2 n ] [db] A normalização de funções Butterworth pode ser feita para a frequência ω p e, diferente de outras aproximações também para a atenuação ε com auxílio da equação 1 ω=ε ( n ω p ) ou seja ω=ε ( n ω p ) 1 Instrumentação e Técnicas de Medida UFRJ, 2013/2 20

23 assim A(ω)=10 log [1+ω 2 n ] [db ], solução normalizada para ω=1 e ε=1. A determinação do grau do polinômio pode ser obtida A min A(ω s )=10 log[1+ε 2 ω s 2 n] 1) log[ (100,1 Amin ] (10 0,1 Amáx 1) n 2 logω s onde A máx e A min estão em db; ω s é calculado de 4 formas diferentes dependendo do tipo de filtro que se esteja calculando. A determinação da função de Butterworth pode ser obtida H (ω) 2 =1+ K (ω) 2 H (S ) H ( S )=1+K (S) K ( S ) H (S ) H ( S )=1+( S 2 ) n, solução normalizada para ω=1 e ε=1 ( S ) H (S)=H 0 +H 1 S+H 2 S H n S n para construir o polinômio: H k cos[ ( k 1) π 2 n ] = sen( k π 2 n ) para obter as raízes: S k =e j π 2 ( 2 k+ n 1 n ), k = 1, 2,... raízes sobre um circulo de raio unitário Substituir S por ε 1 n S ' (desnormalização para Amáx) Substituir S ' por S ω p (desnormalização em frequência) Instrumentação e Técnicas de Medida UFRJ, 2013/2 21

24 Exemplo 1 Calcule o filtro Butterworth com ω p =10kHz, ω s =15kHz, A máx =1dB, A min =25dB Amáx 10 ε=[10 1] 1 2 = 0,5088 1) log[ (100,1 Amin ] (10 0,1 Amáx 1) = 8,76 com n ( ω = s ). Usar n=9 2 logω s k=1, S k = ±0.9848i, S 2 +0,3472 S+1 k=2, S k = ±0.8660i, S 2 +S+1 k=3, S k = ±0.6428i, S 2 +1,532 S+1 k=4, S k = ±0.3420i, S 2 +1,8794 S+1 k=5, S k = 1, S +1 Substituir S por S ( ε 1 n ω p)=s 1, ou, utilizando as formas padrões T (S)= x (S+ω 0 ) (S 2 +1,8794 ω 0 S+ω 2 0 ) (S 2 +1,5321 ω 0 S+ω 2 0 ) 1 (S 2 +ω 0 S+ω 2 0 ) (S 2 +0,3472 ω 0 S+ω 2 0 ) ω 0 9 onde ω =ω p 0 1 n ε = 6, rad/s Instrumentação e Técnicas de Medida UFRJ, 2013/2 22

25 Diagrama de Bode 0 Exemplo: w p=10khz (Amáx=1dB), w s=15khz (Amin=25dB) Fase (graus); Magnitude (db) To: Y(1) Freqüência (rad/seg) Figura 5: Resposta do exemplo. No MATLAB: [b a]=butter(9,2*pi*10000,'low','s'); bode(b,a); Exemplo 2 Projetar um filtro Butterworth passa altas, com ordem não menor do que três e que atenda as seguintes especificações: ganho máximo da banda de passagem igual a 0dB; ganho mínimo na banda de passagem igual a -3dB; ganho máximo na banda de atenuação igual a -20dB; frequência de passagem de 10kHz; frequência de atenuação de 5kHz. ωp=1rad/s, ωs= (10/5)rad/s. Amáx = 3dB, Amín = 20dB Amáx 10 ε=[10 1] Instrumentação e Técnicas de Medida UFRJ, 2013/2 23

26 1) log[ (100,1 Amin ] (10 0,1 Amáx 1) 3,31 n 2 logω s S k =e j π 2 ( 2 k+ n 1 n ) S 1,2 = 0, j0,9239 ( s 2 +0,7654 s+1 ) S 3,4 = 0, j0,3827 ( s 2 +1,8478 s+1 ) s 2 T s s 2 0, s s s 2 2, onde ω 0 =2π10000Hz. 1, s Aproximação de Chebyshev (I) A aproximação de Chebyshev (que pode aparecer com diferentes grafias dependendo da tradução feita) é equiripple na banda passante. Esta aproximação tem o corte mais abrupto dentre as funções polinomiais para um dado grau e A máx K (ω)=ε C n (ω)=ε cos[n cos 1 (ω)], para ω 1 K (ω)=ε C n (ω)=ε cosh[n cosh 1 (ω)], para ω >1 A normalização de funções Chebyshev pode ser feita para a frequência ω p pela equação ω= ω ω p H (ω) 2 =1+ε 2 C n 2 (ω), onde C n (1) = 1 A(ω)=10 log[1+ε 2 C n 2 (ω)] Sabendo que A máx = A(ω p )= A(1) e A(ω S ) A min A min 10 log[1+ε 2 C n 2 (ω S )] Instrumentação e Técnicas de Medida UFRJ, 2013/2 24

27 A min 10 log[1+ε 2 cosh 2 [n cosh 1 (ω)]] 1[ 1) cosh (100,1 Amin (10 0,1 Amáx 1) n cosh 1 (ω s ) ]1 2, onde A máx e A min estão em db; ω s é calculado de 4 formas diferentes. A aproximação de Chebyshev pode ser obtida por H (ω) 2 =1+ K (ω) 2 H S H S =1 K S K S H (S) H ( S)=1+ε 2 C n 2 (ω) onde C n+1 (ω)=2 ω C n (ω) C n 1 (ω) sendo C 0 (ω)=1 e C n (1)=1 C n 2 (ω)=0,5 [1+C 2n (ω)] s k =σ k ± j ω k, k=1,2,... σ k ={ [ ±sen (2 k 1) π 2 n ]} { [( senh 1 n ) ( 1 )]} senh 1 ε ω k ={ [ ±cos (2 k 1) π 2 n ]} { [( cosh 1 n ) ( 1 )]} senh 1 ε O ganho (G 0 ) da função de transferência T(S) deve ser ajustado para que que T(0)=0dB quando o grau do filtro for ímpar e T(0)=-A máx quando o grau do filtro for par (em função do ripple na banda de passagem). G 0 =a 0, para grau ímpar. Amáx 20 G 0 =a 0 10, para grau par. Instrumentação e Técnicas de Medida UFRJ, 2013/2 25

28 Ou, genericamente, G 0 = 1 2 n 1 (para grau par ou impar). Para desnormalizar substituir S = S ω p As raízes estão dispostas sobre uma elipse Exemplo 3 Calcule o filtro Chebyshev com ω p =10kHz, ω s =15kHz, A máx =1dB, A min =25dB Amáx 10 ε=[10 1] 1 2 = 0,5088 ]1 2 1[ 1) cosh (100,1 Amin (10 0,1 Amáx 1) = 4,41 com n ( ω = s ). Usar n = 5 cosh 1 ω s k=1, S k = 0,0895±0,9901 i, S 2 0,1790 S 0,9883 k=2, S k = 0,2342±0,6119 i, S 2 0,4684 S 0,4293 k=3, S k = 0,2895, S 0,2895 fazendo a desnormalização diretamente com as formas padrões, 5 0,12283 ω T (S)= p ( S +0,2895 ω p ) ( S 2 +0,4684 ω p S +0,4293 ω 2 p ) ( S 2 +0,1790 ω p S+0,9883 ω 2 p ) onde p = Instrumentação e Técnicas de Medida UFRJ, 2013/2 26

29 Diagrama de Bode 0 Exemplo: w p=10khz (Amáx=1dB), w s=15khz (Amin=25dB) Fase (graus); Magnitude (db) Freqüência (rad/seg) Figura 6: Resposta do exemplo. No MATLAB: [b a]=cheby1(5,1,2*pi*10000,'low','s'); bode(b,a); Exemplo 4 Projete um filtro que atenda as seguintes especificações: Tenha ganho de -3dB nas frequências de 1000 e 5000Hz; Tenha ganho de aproximadamente 3dB na frequência de 2000Hz; Atenue 20dB em 8kHz; Tenha ganho nulo em DC. Encontrar o gabarito do filtro: Amáx = 3dB, nas frequências centrais Amin = 20dB, na frequência externa Filtro passa faixas com f 1 = 1000Hz, f 2 = 5000Hz, f 4 = 8000Hz e f 3 =??. Este filtro é um passa faixa onde ω 3 não foi informado. Então podemos ajustá-lo de forma a deixar o filtro simétrico. f 0 = (f 1 f 2 ) 0,5 = 2236Hz Instrumentação e Técnicas de Medida UFRJ, 2013/2 27

30 f 3 = (f 2 f 1 ) / f 4 = 625Hz. K=3dB Agora temos que resolver o problema do ganho. O ganho pode ser implementado no final pois ele não influencia no formato da curva, porém, devemos ter atenção. Se o ganho deve ser de +3dB na faixa de passagem e de -3dB em f1, há uma variação permitida de 6dB na faixa de passagem! Então, podemos alterar o ganho para 0dB e a Amáx para 6dB. Após o projeto, inserimos um ganho de 3dB para ajustar os valores do projeto. K = 0dB Amáx = 6dB Determinar o passa baixas normalizado equivalente Ωp = 1 rad/s Ωs = (ω 4 ω 3 ) / (ω 2 ω 1 ) = 1,84 rad/s Determinar a aproximação Como não há especificações que impeçam o uso de qualquer aproximação, podemos escolher aquela que produz o filtro com menor grau. Dentre os filtros Butterworth e Chebyshev o último costuma apresentar menor grau. Há um problema que requer atenção especial, com esta escolha do Chebyshev, teremos que testar o ganho em 2kHz após a implementação, para saber se o filtro realmente tem ganho de aproximadamente 3dB nesta frequência. Calcular o grau do filtro ε= 10 0,1 Amáx 1 = 1,72 n= 1 cosh 100,1 Amin 1 cosh 1 s = 2,00! Encontrar a função de transferência do passa baixas normalizada Instrumentação e Técnicas de Medida UFRJ, 2013/2 28

31 s k = k ± j k k ={ ±sen 2 1 2k cos 2 1 2k k ={ } n { senh 1 n arcsenh 1 } } n { cosh 1 n arcsenh 1 } S K = -0,1979 ±j0,7343 = a ± j b H(S) = S a S + (a 2 + b 2 ) = S 2 + 0,3958 S + 0, T S = S 2 0,3958 S 0,57836 Aplicar a desnormalização adequada na T(S), substituir S por (S 2 + ω 02 )/(ω 2 ω 1 ) S = (S ) / (2 π 4000 S) K 1 T S = S S 2 0,3958 S S 0,57836 Este filtro tem ganho unitário na banda de passagem e atenua 6dB nas frequências de corte. Par obter ganho de 3dB na banda de passagem e atenuação de 3dB nas frequências de corte basta fazer o ganho K=1,41 (+3dB) Exemplo 5 Um filtro deve atender, aproximadamente, as seguintes especificações: Atenuação de 35dB na frequência de 1000Hz; Atenuação de 3dB na frequência de3500hz; A oscilação máxima na banda de passagem não deve ultrapassar 3dB; O filtro deve alterar minimamente a fase do sinal na banda de passagem. Escolher entre as aproximações de Butterworth e Chebyshev. Identifique o tipo de filtro, desenhe o seu gabarito e identifique os pontos do gráfico. Instrumentação e Técnicas de Medida UFRJ, 2013/2 29

32 Atenuação 35dB 3dB 0dB Ripple 3dB f Amin = 35dB, fs = 3500Hz Amáx = 3dB, fp = 1000Hz É um filtro passa altas. Se o ripple máximo é 3dB e a máxima atenuação na banda de passagem é 3dB então a menor atenuação da banda de passagem é 0dB. Assim, o ganho na banda de passagem é 0dB. Se o filtro deve alterar minimamente a fase do sinal na banda de passagem, e só podemos escolher entre Butterworth e Chebyshev, devemos escolher Butterworth. Projetar o filtro = 10 0,1 Amáx 1=0,9976 (podemos adotar ε = 1, pois Amáx = 3dB). n log 100,1 Amin log fp fs 3,21=4 s k =cos 2 2k n 1 n ± j sen 2 2k n 1 n S 1,2 = 0,382683±j0,0,923879= a ± j b. Instrumentação e Técnicas de Medida UFRJ, 2013/2 30

33 Polinômio: S 2 +2 a S+(a 2 +b 2 ) = S 2 +0,7653 S+1 S 3,4 = 0,923879±0, = a ± j b. Polinômio: S 2 +2 a S+(a 2 +b 2 ) = S 2 +1,8477 S+1 T PBNormalizada s = 1 s 2 0,7653 s 1 1 s 2 1,8477 s 1 Desnormalizar Primeiro: Como o filtro é Butterworth desnormalizar o ε. Para ε=1 não há desnormalização. Segundo: Desnormalizar a frequência. s 2 T PB S = s 2 0, s s s 2 2, onde 1, s 0 0 = rad/s Se for acrescentado, após o projeto do filtro, um estágio de ganho x5. Quanto será a atenuação na frequência de 3500Hz? Ganho x5 corresponde a ganho de 13,97dB. Então o ganho em 3500Hz será aproximadamente 13,97dB-3dB=10,97dB. Outra forma de calcular é multiplicar o ganho em 3500Hz (0,707) por 5. O resultado é 3,53, ou seja, 10,97dB. Também poderíamos ter calculado substituindo K 1 K 2 por 5 e s por j(2 π 3500) na função T PA (s). O resultado é 3,53 que corresponde a 10,97dB! Soluções tabeladas Apesar de existirem algoritmos para o cálculo dos filtros é muito comum encontrarmos tabelas com os polinômios normalizados. A seguir são apresentados algumas tabelas com os polinômios mais comuns. Nelas a função de transferência é separada em seções de primeira e Instrumentação e Técnicas de Medida UFRJ, 2013/2 31

34 segunda ordem. Estão indicados os graus dos filtros (N), o valor de ω e Q de cada seção. Para os filtros de grau impar, uma das seções é de primeira ordem e não apresenta Q. Parâmetros para filtros de Butterworth (3dB de ganho na frequência de corte) N ω 1 Q 1 ω 2 Q 2 ω 3 Q 3 ω 4 Q 4 2 1, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,50599 *Ganho unitário Parâmetros para filtros de Bessel (desvio de fase de N / 4 rad na frequência de corte) N ω 1 Q 1 ω 2 Q 2 ω 3 Q 3 ω 4 Q 4 2 1, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , Instrumentação e Técnicas de Medida UFRJ, 2013/2 32

35 Parâmetros para filtros de Chebyshev (ripple de 0,5 db na faixa de passagem) N ω 1 Q 1 ω 2 Q 2 ω 3 Q 3 ω 4 Q 4 2 1, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,5308 0, , , , , , Parâmetros para filtros de Chebyshev (ripple de 2 db na faixa de passagem) N ω 1 Q 1 ω 2 Q 2 ω 3 Q 3 ω 4 Q 4 2 0, , , , , , , , , , , , , , , ,4616 0, , , , , ,2802 0, , , , , , ,6873 0, , , , , , Síntese de filtros ativos Realizações Filtros passivos RLC (particularmente as redes ladder LC) com as seguintes características: Instrumentação e Técnicas de Medida UFRJ, 2013/2 33

36 Baixa sensibilidade aos componentes; Difícil de sintonizar e necessita de indutores; Ainda utilizados em altas frequências indutores menores; Podem ser transformadas em filtros ativos Filtros a capacitor chaveado (anos 70) Compatibilidade com tecnologia CMOS fácil de integrar (precisão de 0,1%) Corrente chaveada (final dos anos 80) Semelhante ao capacitor chaveado Filtros MOSFET-C (anos 80) Resistores ativos obtidos com transistores MOSFET Resistências podem ser ajustadas por tensão sintonia automática Problemas com linearidades dos MOSFET Filtros OTA-C Permite atuar em altas frequências Problemas com relação a linearidade dos OTAs Filtros ativos RC Filtros ativos RC em cascata (biquads seções de primeira e segunda ordem); Redes com 1 Amp. Op.; Redes com vários Amp. Op.; Redes multirealimentadas; Redes Ladder RLC com simulação de indutores; Redes Ladder RLC com escalamento de impedância para uso com FDNR; Redes Ladder LC simuladas. Comparado aos filtros passivos podemos listar as seguintes vantagens dos filtros ativos: Usa R e C (capacitores práticos tem comportamento mais próximo ao teórico do que indutores); Não sofrem influência dos campos eletromagnéticos gerados pelas indutâncias presentes nos filtros passivos; Instrumentação e Técnicas de Medida UFRJ, 2013/2 34

37 ativos: São baratos; Podem ter ganho e raramente tem perdas como nos filtros passivos; São fáceis de sintonizar; Filtros de baixa frequência podem ser obtidos com componentes de valores modestos; São leves e pequenos; Tem baixa impedância de saída (isto permite que sejam ligados em série). Comparando com filtros passivos podemos listar as seguintes desvantagens dos filtros Necessitam de alimentação; São limitados pelas características reais dos Amp. Ops. (resposta em frequência, saturação, limitação de fornecer corrente, slew-rate, ganho finito, impedância de entrada finita, resistência de saída diferente de zero, ); São mais sensíveis a variações nos componentes, o que resulta em maiores variações de ω e Q (esta é uma das razões pela qual se aumentam número de elementos ativos nos filtros); São mais ruidosos; Não tem isolação galvânica; Podem oscilar; Nesta disciplina serão estudados alguns filtros ativos RC ligados em cascata. Nestes projetos devemos preferencialmente: Dividir o filtro em seções de primeira e segunda ordem; Interligar as seções em cascata (esta característica que facilita o projeto também é responsável pela maior sensibilidade destes filtros a variações nos componentes); Evitar capacitores eletrolíticos, e dar preferência a capacitores de polipropileno, mica e cerâmica); Distribuir o ganho entre todas as seções; Utilizar um possível passa baixas como primeiro estágio de filtragem para eliminar as altas frequências e diminuir problemas com slew-rate; Colocar uma eventual seção passa altas como estágio de saída para diminuir problemas com off-set; Manter a banda de passagem o mais plana possível, sempre; Manter polos e zeros próximos. Instrumentação e Técnicas de Medida UFRJ, 2013/2 35

38 25.10 Filtros de primeira ordem RC Filtro passa baixas RC de primeira ordem Um filtro passa baixas de primeira ordem pode ser obtido pela função de transferência T S =K 0 S 0 onde σο é chamada de frequência de corte do filtro, pois corresponde ao ponto onde o ganho na faixa de passagem diminui 3dB (0,707 vezes menor). Este ponto é conhecido como ponto de meia potência e costuma ser utilizado genericamente como frequência de corte. Os dois principais circuitos que implementam esta função estão apresentados na figura abaixo. Um deles é o próprio integrador com perdas. O segundo, com a mesma função, pode ser utilizada em altas frequências pois sofrem menos influência das características dinâmicas do AO. Instrumentação e Técnicas de Medida UFRJ, 2013/2 36

39 Para o primeiro circuito v O s Rf = v i s Ri 1 Rf C s+ 1 Rf C e para o segundo circuito v O s v i s = 1 R C s 1 R C Filtros passa altas RC de primeira ordem Filtros passa altas de primeira ordem pode ser obtido pela função de transferência T S =K S S 0 onde σ 0 é a frequência de corte do filtro. Os dois principais circuitos que implementam a função de transferência do passa altas são apresentados na próxima figura. O primeiro deles corresponde ao derivador modificado e o segundo uma implementação passiva com um buffer na saída. Este último pode ser utilizado em frequências mais elevadas com menos influência das limitações dinâmicas do AO. Instrumentação e Técnicas de Medida UFRJ, 2013/2 37

40 Para o primeiro circuito v O s Rf = v i s Ri s s+ 1 Ri C, e para o segundo v O s v i s = s s 1 R C Filtros de segunda ordem RC Nesta seção serão apresentadas algumas formas de se obter filtros de segunda ordem com topologias de 1 ou mais amplificadores operacionais. As configurações de 1 amplificador normalmente apresentam características de frequência de corte, ganho e fator de mérito mais sensíveis as variações nos componentes porém são de implementação mais barata Filtros variáveis de estado Os filtros variáveis de estado apesar de necessitarem de no mínimo três Aos apresentam muitas vantagens que tornam atrativa a sua integração. Estes filtros podem ser utilizados em funções de transferências com Q elevado (10<Q<500) e frequências de corte mais altas que aquelas possíveis para as topologias de um só amplificador. Além do mais, uma mesma topologia de circuito permite a implementação de filtros passa baixas, passa altas e passa faixa. O ajuste do Q e de ωο são simples e relativamente independentes além de permitirem sintonia (ajuste da frequência de corte) controlada por tensão. Instrumentação e Técnicas de Medida UFRJ, 2013/2 38

41 Por todas estas razões é muito comum encontrarmos esta topologia integrada em circuitos como o LTC1563 e o LTC1568 da Linear Technology e os MAX270 e MAX271, MAX274 e MAX275 da Maxim (estes últimos implementam em um só integrado filtros de até oitava ordem). O desenho básico do filtro de variáveis de estado esta representado no diagrama em blocos abaixo. O mesmo circuito, pode ser um passa altas, um passa baixa, ou um passa faixa, dependendo apenas de onde é retirado o sinal de saída do filtro. Equacionamento da saída passa altas v PA =v i A 0 v PA s B 2 0 v PA s 2 v PA s 2 = v i s 2 2 A 0 s B 0 Equacionamento da saída passa faixa v PF = v i 0 s A 0 v PF s B 2 0 v PF s 2 v PF s ω = 0 v i s 2 2 +A ω 0 s+b ω 0 Equacionamento da saída passa baixas v PB s 2 =v i 0 2 B 0 2 v PB A 0 s v PB Instrumentação e Técnicas de Medida UFRJ, 2013/2 39

42 v PB 0 2 = v i s 2 2 A 0 s B 0 Se A= 1 Q e B=1 as funções de transferência são idênticas as dos gabaritos apresentados anteriormente. O circuito que implementa o diagrama de blocos pode ser facilmente obtido com o circuito abaixo. As equações para os parâmetros são ω 0 = K3 R1 R2 C1 C2 1 K4 Q= 1 K3 K3 R1 C1 R2 C2 K PB = K4 1 K3 K3 1 K4 K PA = K4 1 K3 1 K4 K PF = K4 Normalmente a escolha dos componentes é feita de forma que R1=R2, C1=C2, e K3=1. Estes filtros permitem algumas modificações interessantes. Uma delas é o controle da frequência de corte usando multiplicadores e controle por tensão. Instrumentação e Técnicas de Medida UFRJ, 2013/2 40

43 KPa=KPb= 2 K4 1+K4 ω 0 = Ec 10 R C Q= 1 +K4 2 Se as três saídas originais do filtro forem somadas de forma apropriada, para produzir uma saída Vo, pode-se obter, neste ponto, qualquer função de transferência de segundo grau, incluindo aquelas com zeros complexo conjugados. Instrumentação e Técnicas de Medida UFRJ, 2013/2 41

44 G( s)= α S2 +βs+θ AS 2 +BS+C F K PA V O = (R R A ) +[ S 2 V I R F (1+ R A // R B ) Q ω 0 S 2 + ω 0 Q S+ω 2 0 K PF] S+ R F K PB R B ω 0 2 O numerador vale s 2 s De onde pode se calcular diretamente as parcelas. = 2R F K 4 R A 1+K 4 β = 2(1+ R F R A // R B )K 4 (1 +K 4 ) RC θ= 2R F K 4 R B 1 +K 4 R 2 C 2 Para a síntese de filtros elípticos ou rejeita faixas temos: G s = S 2 +θ AS 2 +B S +C, β=0 R A = 2R F K 4 1 +K 4 2R F K 4 R B = θ 1 +K 4 R 2 C 2 Instrumentação e Técnicas de Medida UFRJ, 2013/2 42

45 Exemplo 1 A Burr Brown fabricava um integrado híbrido (UAF42), cujo diagrama em blocos está desenhado abaixo. De posse deste integrado, de capacitores, AO e resistores, projetar um filtro de 3 ordem de Chebyshev, passa alto, com máxima atenuação na banda de passagem de 1dB e frequência de corte de 2kHz. O filtro deve ter módulo 2 na frequência de passagem. Desenhar o circuito indicando os pinos do circuito integrado. Usar a menor quantidade de componentes. Examinando o integrado nota-se que o é possível implementar com facilidade um filtro do tipo variável de estado. Como o filtro é de 3 ordem o AO adicional pode ser utilizado para implementar a seção de 1 ordem. Da tabela dos polinômios de Chebyshev com atenuação máxima de 1dB e n=3. O filtro passa baixas normalizado é: 0,99420 T S = S 2 0,49417 S 0, ,49417 S 0,49417 Para desnormalizar o filtro substituir S por 0 S = = S S deve ser 2. Finalmente, precisamos considerar que o módulo do ganho, nas frequências de passagem, Instrumentação e Técnicas de Medida UFRJ, 2013/2 43

46 0,99420 T S = , , S 2 S , S 0, ,99420 S 2 T S =2 0,99420 S S ,49417 S 0,49417 S T S =2 S S S S S 2 O filtro de variáveis de estado já vem praticamente montado no integrado. Faltam interligar os integradores com resistores R 1 (da saída passa altas para o integrador do passa faixa) e R 2 (da saída passa faixa para o subtrator da entrada). A entrada do filtro corresponde ao pino IN3. Os parâmetros do filtro são 0= K 3 R 1 R 2 C 1 C 2, e Q= 1 K 4 1 K 3 K 3 R 1 C 1 R 2 C 2 K PA = K4 1 K3 1 K4. onde C 1 =C 2 =1000pF, K4=K3=1, 0 = = Como 0 Q =6210, Q=2. Podemos montar um sistema de 2 equações, 2 incógnitas (R 1 e R 2 ): Instrumentação e Técnicas de Medida UFRJ, 2013/2 44

47 Q=2= R 1 R 2 R 1 =4 R = = 4 R R 2 =39676 R 1 = Falta projetar o filtro de 1 ordem, com ganho 2. Isto pode ser realizado com o AO que está sobrando no integrado. A função de transferência T S = 2 S S pode ser implementado com T S = Rf Ri S S 1 C Ri onde 1 C R i = Se C=1000 pf, R i =39326 Instrumentação e Técnicas de Medida UFRJ, 2013/2 45

48 Como Rf R i =2 R f = Exemplo 2 Utilizando um filtro variáveis de estado, projete um equalizador de ganho que possua as características da figura e tabela abaixo. Este equalizador deve ter sua curva de ganho ajustável por tensão externa (v C ). O desvio máximo dos parâmetros é de 5%. Use valores comerciais para os componentes. v C T S +4V +12dB +1V 0dB +0,25-12dB S 2 K 0 Q S 2 0 T S =K 0 S 2 0 Q S 2 0 Como o patamar é 0dB, o ganho K 0 =1. Nos extremos: K 1 =4 (12dB), K 2 =0,25 (-12dB). Projeto do filtro Se fizermos K 3 =K 4 =1, R 3 = R 4, C=C 1 =C 2, K PB = K PF =K PA =1 então 0 = 1 C 1 R 1 R 2 Instrumentação e Técnicas de Medida UFRJ, 2013/2 46

49 Q= R 1 R 2 =2 R 1 R 2 =4 R 1 =4 R 2 R 2 =0,25 R 1 Substituindo em ω 0 0 = 1 C R 1 1 0,25 C R 1 =3, C=6,8 nf, R 1 =47k C R 1 =3, Assim R 2 = R 1 =11,75 k 4 Comercialmente R 2 =12k Conferindo os desvios f 0 =985,5 Hz 1,4%, Q=1,979 1%, K 0 =1 0% Para obter o filtro controlado por v C é preciso somar T S =v PA v C v PF v PB Instrumentação e Técnicas de Medida UFRJ, 2013/2 47

50 Assim v C =K i, ou seja, v C =4V para K 1 =4, v C =1V para K 0 =1, v C =0,25 para K 2 =0, Configurações de um único amplificador operacional Filtros com um único AO normalmente não estão disponíveis em integrados mas podem ser facilmente implementados de forma discreta. As duas configurações de filtros mais utilizadas são: Ganho Infinito Realimentação Múltipla (GIRM ou MFB) e Fonte de Tensão Controlada por Tensão (FTCT ou Salen-Key). A topologia dos dois filtros é mostrada na figura a abaixo. Biquad - FTCT (Sallen Key) Biquad MFB Note que no desenho das topologias MFB e Sallen-Key estão representadas as impedâncias de cada configuração. A medida que as impedâncias são trocadas por resistências ou capacitores a função do filtro muda. Alterações no ganho das funções de transferência podem ser realizados com um divisor de tensão na entrada do filtro (desde que mantenha a impedância de entrada inalterada) ou utilizando um divisor de tensão na saída do operacional e usando este divisor para realimentar o filtro. No primeiro caso se obtém uma redução do ganho, no segundo um aumento. Estas técnicas não alteram os outros parâmetros da função de transferência. Instrumentação e Técnicas de Medida UFRJ, 2013/2 48

51 Sallen Key MFB PB PA PF PB PA PF Z1 R C R R C R Z2 R C C C R - Z3 C R R R C C Z4 C R R R C C Z5 - - C C R R Parâmetros para os filtros Sallen Key ω Ο 2 Q K PB 1 R 1 R 2 C 3 C 4 R 1 R 2 C 3 C 4 1 m R 1 C 4 C 3 R 1 R 2 m PA 1 C 1 C 2 R 3 R 4 C 1 C 2 R 3 R 4 1 m R 3 C 2 R 4 C 1 C 2 m PF R 1 R 4 R 1 R 3 R 4 C 2 C 5 R 1 R 4 R 1 R 3 R 4 C 2 C 5 [ R 4 R 1 1 m ] R 3 C 2 R 1 R 4 C 2 C 5 Parâmetros para os filtros MFB m 1 R 1 C 5 R 3 C 2 R 1 R 3 R 1 1 m R 4 ω Ο 2 Q K PB PA 1 R 3 R 4 C 2 C 5 C 2 /C 5 R 3 R 4 [1/ R 1 1/ R 3 1/ R 4] 1 R 2 R 5 C 3 C 4 R 2 R 5 C 3 C 4 R 2 C 1 C 3 C 4 R 4 R 1 C 1 C 4 PF 1 R 1 R 5 C 3 C 4 R 1 R 5 C 3 C 4 R 1 C 3 C 4 R 5 R 1 C 3 C 3 C 4 Instrumentação e Técnicas de Medida UFRJ, 2013/2 49

52 Os filtros passa baixas são bons para uso com Q<10. A escolha dos componentes fica muito sensível e o projeto torna-se crítico para Q elevados. A configuração MFB apresenta resultados melhores para este tipo de filtro já que os filtros Sallen-Key tem sérias restrições de sintonia e frequência Passa baixas Sallen-Key Circuito: Função de transferência: m Vo s Vi s = R1 C4 C3 R2 s +s [ 2 1 R1 C4 1 R2 C4 R2 C3] m 1 1 R1 R2 C3 C4 Função de transferência geral do filtro passa baixas de segunda ordem: Vo s Vi s = K ω 0 s 2 +s ω 0 Q +ω Comparando as duas equações podemos verificar como cada componente afeta os valores de K, Q e T 0. Uma solução para ajustar os componentes é: Instrumentação e Técnicas de Medida UFRJ, 2013/2 50

53 C3 = C4 = C, e R1 = R2 = Rx Rx= 1 ω 0 C Q 0,5 m=3 1 Q m= K Uma das soluções de mínima sensibilidade para a maioria dos componentes é: m=k=1 R1=R2=1 C4= 2Q 0 C3= Q Para esta solução, entretanto, a diferença entre os capacitores é proporcional a Q 2 : Outra solução muito conhecida e com um bom comprometimento entre sensibilidade e facilidade no ajuste dos componentes é a solução de Saraga: C3=1 C4= 3Q R2= R1= 1 Q 0 Instrumentação e Técnicas de Medida UFRJ, 2013/2 51

54 m=k= 4 3 OBS.: Para qualquer uma das soluções podem ser realizados escalamentos de impedância. Para isto basta multiplicar os resistores e dividir os capacitores simultaneamente por um fator b Passa baixas MFB Circuito: Função de transferência: 1 Vo s Vi s = R1 R3 C2 C5 s +s [ 2 1 R1 C2 1 R3 C2 R4 C2] 1 1 R3 R4 C2 C5 Função de transferência geral do filtro passa baixas de segunda ordem: Vo s Vi s = K ω 0 s 2 +s ω 0 Q +ω Comparando as duas equações podemos verificar como cada componente afeta os valores de K, Q e T 0. Uma solução para ajustar os componentes é: Fazer Instrumentação e Técnicas de Medida UFRJ, 2013/2 52

55 C 2 = C C 5 = 2 1 R 4 = 2 Q 0 C [ 1± 1 4 Q2 K 1 ] X R 1 = R 4 K 1 R3= ω 2 0 R4 C2 C5 Bom para KQ>100 e ganho de malha aberta dos amp. op. > 80dB Passa altas Sallen-Key Circuito: Função de transferência: Vo s Vi s = s 2 m s +s [ 2 1 R3 C2 1 R3 C1 R4 C1] m 1 1 R4 R3 C1 C2 Instrumentação e Técnicas de Medida UFRJ, 2013/2 53

56 Função de transferência geral do filtro passa altas de segunda ordem: Vo s Vi s = K s 2 s 2 +s ω 0 Q +ω 2 0 Comparando as duas equações podemos verificar como cada componente afeta os valores de K, Q e T 0. Uma solução para ajustar os componentes é: Fazer C1 = C2 = C, e R3 = R4 = Rx Rx= 1 ω 0 C m=3 1 Q, para Q 0,5 m= K As soluções alternativas, propostas para o filtro passa baixas Sallen-Key, podem ser utilizadas e o filtro pode ser desnormalizado diretamente nos componentes. Substituir Resistores por Capacitores de valor 1/R 0 Substituir Capacitores por Resistores de valor 1/C Passa altas MFB Circuito: Instrumentação e Técnicas de Medida UFRJ, 2013/2 54

57 Função de transferência: Vo s Vi s = s +s [ 2 1 C4 R5 1 s 2 C1 C4 C3 R5 C C3 C4 R5] 1 1 C3 C4 R2 R5 Função de transferência geral do filtro passa altas de segunda ordem: Vo s Vi s = K s 2 s 2 +s ω 0 Q +ω 2 0 Comparando as duas equações podemos verificar como cada componente afeta os valores de K, Q e T 0. Uma solução para ajustar os componentes é: Fazer C1 = C3 = C C 4 = C 1 K R 5 = Q ω 0 C 2 K 1 1 R 2 = 0 Q C 2 K 1 Instrumentação e Técnicas de Medida UFRJ, 2013/2 55

58 Bom para KQ>100 e ganho de malha aberta dos amp. op. > 80dB Passa Faixa Sallen-Key Circuito: Função de transferência: s m Vo s Vi s = R1 C5 s +s [ 2 1 R1 C5 1 R3 C2 1 R3 C5 R4 C5] m 1 R1+R4 R1 R3 R4 C2 C5 Função de transferência geral do filtro passa faixa de segunda ordem: Vo s Vi s = K s ω 0 Q s 2 +s ω 0 Q +ω 2 0 Comparando as duas equações podemos verificar como cada componente afeta os valores de K, Q e T 0. Uma solução para ajustar os componentes é: Fazer C2 = C5 = C Instrumentação e Técnicas de Medida UFRJ, 2013/2 56