Departamento de Engenharia Química e de Petróleo UFF. Disciplina: TEQ102- CONTROLE DE PROCESSOS. Diagrama de Bode. Outros Processos de Separação

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1 Departamento de Engenharia Química e de Petróleo UFF Disciplina: TEQ102- CONTROLE DE PROCESSOS custo Diagrama de Bode Outros Processos de Separação Prof a Ninoska Bojorge 5.A. Traçado das Assíntotas Traçado Aproximado: Devido ás escalas empregadas nos Diagramas de Bode, estes podem ser construídos em forma aproximada mediante traços retos ou assíntotas de módulo e fase. Elas aproximam a curva real, somando-se as contribuições individuais de cada pólo ou zero. As figuras seguintes mostra os diagramas de Bode aproximados para funciones simples de 1ª ordem. No caso de 2ª ordem, as aproximações podem ser bastante longe dos diagramas exatos, dependendo do fator de amortecimento. 2

2 5.A. Traçado das Assíntotas Ganho constante K Módulo: M db = 20 log K Fase: Φ = 0 3 4

3 5 Funções de Transferência Complexa Considere-se a FT complexa G(s), G s Substitui-se s=jω, = ( ω) ( ω) ( ω) ( ω) ( ω) ( ω) Ga j Gb j Gc j L G( jω ) = (13-23) (2) G j G j G j L De teoria de variáveis complexas, podemos expressar a magnitude e o ângulo de fase como segue: ( ω ) G j Ga s Gb s Gc s L G s G s G s L = ( ω) ( ω) ( ω) ( ω) ( ω) ( ω) G j G j G j a b c G j G j G j ( ω) a( ω) b( ω) c( ω) G ( j ) G ( j ) G ( j ) G j = G j + G j + G j + L L L (13-22) (13-24a) [ ω + ω + ω + L] (13-24b) (1) (3) (4) 6

4 Diagrama de Bode O gráfico, chamado de diagrama de Bode, fornece uma exposição conveniente das respostas características em frequência de um modelo de função de transferência. É constituído por parcelas de AR e em função de ω. Normalmente, ω e ϕ é expresso em unidades de radians/tempo. Diagrama de Bode para Sistema 1ª ordem seja: 1 AR N = and φ = tan ωτ 2 2 ωτ A baixa frequência (ω 0 e ωτ << 1): AR N = 1 e ϕ = 0 - A alta frequência (ω e ωτ >> 1): AR N = 1/ ωτ e ϕ = Figure 13.2 Bode diagram for a first-order process. (Seborg) 8

5 ω= ω = 1/ τ Note-se que as assíntotas cruzam em b, conhecidas como frequência do ponto de interrupção ou frequência angular. Aqui o valor de AR N é: 1 AR N ( ω= ωb ) = = (13-30) (5) 1+ 1 Alguns livros e software define-se AR de forma diferente, em termos de decibéis. Nesse caso, a relação de amplitude em decibéis AR db é definida como: AR db = 20log AR (6) 9 Processo com elementos Integração a função de transferência para o elemento com integração foi definida na aula anterior como: G s Y s = = U s K s (5-34) (7) K K AR = G( jω ) = = (13-34) (8) jω ω K φ= G jω = = 90 o (13-35) (9) 10

6 Processo de Segunda Ordem Uma função de transferência geral que descreve qualquer resposta subamortecida, criticamente amortecida ou sobreamortecidos de sistema de segunda ordem é: = 2 2 G s K τ s + 2ζτs+ 1 (13-40) (10) Seguindo o mesmo procedimento descrito para 1ª ordem, obtêm-se: e: 11 Gráficos de Bode de um sistema de 2da ordem Clique para editar os estilos do texto mestre Segundo nível Terceiro nível Quarto nível os gráficos de Bode para um sistema de segunda ordem dependem do valor do fator de amortecimento (vide figura). no gráfico de AR se observa uma assíntota de baixa frequência de inclinação zero e uma assíntota de alta frequência de inclinação -2. a frequência de pto. de interrupção se localiza em 1/τ. A transição do AR desde baixa a alta frequência depende do valor de ζ. a baixas frequências o ângulo fase se aproxima a 0, entretanto que a altas frequências se aproxima a Na frequência pto de interrupção, o ângulo fase é de

7 Substituindo s = jω AR = e reordenando: K 2 2 ( 1 ωτ) + ( 2ωτζ) 2 2 (13-41a) (11a) 1 2ωτζ φ = tan (13-41b) ωτ (11b) Figure 13.3 Bode diagrams for second-order processes (Seborg). 13 Clique para editar os estilos do texto mestre Segundo nível Terceiro nível Quarto nível Quando a frequência tende para zero ou infinito o RA e a fase apresentam o seguinte comportamento assintótico: 14

8 Clique para editar os estilos do texto mestre Segundo nível Terceiro nível Quarto nível Observa-se em algumas curvas existe um sobreimpulso, ou valor máximo. Para calcular o valor máximo de RA deve-se determinar o mínimo de: ou seja, e utilizando este valor de frequência o RA será: 15 Clique para editar os estilos do texto mestre Segundo nível Terceiro nível Quarto nível Observe-se que, para sistemas superamortecidos Para sistemas subamortecidos, RA tem amplitude máxima em uma frequência chamada "frequência de ressonância", que foi determinada acima no cálculo do valor máximo de RA. Assim, a frequência de ressonância é: 16

9 Gráficos de Bode para um sistema de segunda ordem (K = 1, τ = 1) 17 s = jω que pode ser escrita na forma racional pela substituição da identidade de Euler, de (13) jωθ Tempo morto Suas respostas características em frequência pode ser obtida através da substituição de, ωθ G jω = e j (13-53) (12) G jω = e = cos ωθ jsin ωθ (13-54) (13) ou 2 2 AR = G jω = cos ωθ + sin ωθ = 1 (13-55) (14) 1 sin ωθ φ= G( jω) = tan cosωθ φ= ωθ (15) (13-56) 18

10 Gráficos de Bode de um sistema de tempo morto puro Na seguinte figura se observam os gráficos de Bode correspondentes a um sistema de tempo morto puro. Quando a frequência aumenta, o ângulo fase se faz mais negativo. Quanto maior é o valor do tempo morto, mais rápido diminui o ângulo fase (se torna mais rapidamente negativo). Figura - Diagramas de Bode de un sistema de tiempo muerto puro (t D = 0.1) 19 Processo Zeros Considere-se um processo zero, Substituindo s=jω da = K( sτ + 1) G s Assim: Nota: G jω = K( jωτ + 1) 2 2 AR = G jω = K ω τ φ= G jω =+ tan ωτ Em geral, uma constante que multiplica (p.ex., K) muda o AR por um fator K, sem afetar φ. 20

11 Diagrama de Bode Clique para editar os estilos do texto mestre Segundo nível Terceiro nível Quarto nível Fazendo Gráficos no Matlab A resposta do processo a uma perturbação senoidal, com ω variandode0a é chamada de resposta frequencial, e é representada por um par de gráficos denominados de diagramas de Bodé, que representam em um gráfico log-log a RA contra a frequência, e em outro semi-log a fase contra a frequência como se vê a seguir: loglog(.01,.01,10000,10) grid xlabel('freqüência (rad/seg)') ylabel('ra') 21 Clique para editar os estilos do texto mestre Segundo nível Terceiro nível Quarto nível 22

12 Clique para editar os estilos do texto mestre Segundo nível Terceiro nível Quarto nível semilogx(.1,-90,1000,90) grid xlabel('freqüência (rad/seg)') ylabel('fase') 23 24

13 Plotando processo de 2 da ordem Clique para editar os estilos do texto mestre Segundo nível Terceiro nível Quarto nível PASSO 1: reescrever a função transferência em forma padrão. Faça tanto nos termos do numerador e denominador de ordem mais baixa. O numerador é um polinômio de 1ª ordem, e o denominador é a 2ªordem. 25 Clique para editar os estilos do texto mestre Segundo nível Terceiro nível Quarto nível PASSO 2: Separar a função de transferência em suas partes constituintes. A função de transferência tem quatro componentes: Uma constante de 0,1 Um pólo em s=-10 Um pólo em s=-100 Um zero em s=-1 PASSO 3: Desenhe o BODE DIAGRAMA para cada parte. Isso é feito nos diagramas a seguir. 26

14 >> BodePaper(0.01,10000,-60,80,-180,135) PASSO 3: Desenhe o BODE DIAGRAMA para cada parte. K =0,1 20log(0,1) = -20 db A constante é a linha azul --- (uma quantidade de 0,1 é igual a -20 db -). A fase é constante em 0 graus 27 >> BodePaper(0.01,10000,-60,80,-180,135) PASSO 3: Desenhe o BODE DIAGRAMA para cada parte. pólo em s = -10 O pólo de 10 rad / s é a linha verde ---. É 0 db até a frequência de corte, e então cai, com uma inclinação de -20 db / década. A fase é de 0 graus até 1 / 10 da frequência de corte (1 rad / seg) depois cai linearmente até -90 graus em 10 vezes a quebra de frequência (100 rad / seg). Traço de referência 28

15 >> BodePaper(0.1,100,-60,80,-180,135) PASSO 3: Desenhe o BODE DIAGRAMA para cada parte. pólo em s = -100 O pólo em 100 rad / s é a linha azul claro. É 0 db até a frequência de corte, e então cai, com uma inclinação de -20 db / década. A fase é de 0 graus até 1 / 10 da frequência ruptura (10 rad / seg) depois desce linearmente até -90 graus em 10 vezes a quebra de frequência (1.000 rad / seg). 29 >> BodePaper(0.01,10000,-60,80,-180,135) PASSO 3: Desenhe o BODE DIAGRAMA para cada parte. Zero em s = 1 O zero a 1 rad / s é a linha vermelha. É 0 db até a frequência de interrupção, em seguida, sobe a 20 db / grau. A fase é de 0 graus até 1/10 da frequência quebra (0,1 rad / s), então aumenta linearmente a 90º em 10 vezes a frequência de ruptura (10 rad / seg). 30

16 >> BodePaper(0.01,10000,-60,80,-180,135) PASSO 4: Desenhe o Diagrama BODE GERAL somando os resultados anteriores. O resultado assintótico é a Linha-amarela, uma Resposta Exata é a Linha azul continua (por ex., obtida no Matlab). no Matlab seria: num= 100*[1 1] den =[ ]; sys = tf(num,den); bode(sys) 31 Características de resposta de frequência de Controladores Feedback Controlador Proporcional. Considere um controlador proportional com gaho positivo c = (16) (13-57) G s K c neste caso c ( ω) G j = K c, o qual é independente de ω. Assim, e AR = K (13-58) c c φ 0 (18) (13-59) c = o (17) 32

17 Controlador Proporcional-Integral. o controlador proporcional integral (PI) tem a funcao de transferencia, 1 τ 1 1 I s + Gc s = Kc + = Kc (13-60) (19) τis τis Substitute s=jω: 1 jω τ G ( ω ) = 1+ = I c j Kc Kc = Kc 1 j τi jω jωτi τiω Assim, a razão de amplitude e ângulo de fase são: c c c 2 c ( ωτi ) 2 1 ωτi + 1 AR = G ( jω) = K 1 + = K (20) (13-62) ωτ 1 1 ( j ) φ = G ω = tan 1/ ωτ = tan ωτ 90 (13-63) c c I I I o (21) 33 Figure 13.9 Bode plot of a PI controller, G ( s) c 10s + 1 = 2 10s 34

18 Controlador proporcional derivativo Ideal. Para o controlador proporcional derivativo (PD): = ( + ) G s K 1 τ s (13-64) c c D As características de resposta de frequência são semelhantes às de um zero LHP: 2 AR = K ωτ + 1 (13-65) c c D 1 φ = tan ωτ (13-66) (24) Controlador proporcional derivativo com Filtro. O controlador PD mais frequentemente realizado tem a função de transferência: D (22) (23) τds + 1 Gc( s) = Kc ατds + 1 (13-67) (25) 35 Figure Bode plots of an ideal PD controller and a PD controller with derivative filter. Idea: With Derivative Filter: G c ( s) 4s + 1 = s

19 Controlador PID Controlador PID paralelo. Controlador PID serie 1 G c s = K c 1+ + τ τ D s 1s τ1s + 1 Gc( s) = Kc ( τ Ds+ 1 ) (13-73) τ1s Controlador PID serie com filtro τ1s+ 1 τ s+ 1 Gc( s) = K D c τ1s ατds Figure Bode plots of ideal parallel PID controller and series PID controller with derivative filter (α = 1). Idea parallel: G c Series with Derivative Filter: 1 Gc ( s) = s 10s ( s) 10s+ 1 4s+ 1 = 2 10s 0.4s+ 1 38

20 39 Clique para editar os estilos do texto mestre Segundo nível Terceiro nível Quarto nível Mais informação nos livros de: Smith & Corripio: Capitulo 8 - Lugar das raízes e técnicas de respostas de frequência. Seborg : Capitulo 14 - Frequency Response Analysis 40