Estabilidade no Domínio da Freqüência

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1 Estabilidade no Domínio da Freqüência Introdução; Mapeamento de Contornos no Plano s; Critério de Nyquist; Estabilidade Relativa; Critério de Desempenho no Domínio do Tempo Especificado no Domínio da Freqüência; Banda Passante de Sistema; Estabilidade de Sistemas com Atrasos; Controlador PID no Domínio da Freqüência; Estabilidade no Domínio da Freqüência usando MATLAB. 1

2 A margem de ganho e fase são calculadas no Diagrama de Bode Para o sistema GH ( jω) K jω( jω + 1)(0, jω + 1) Margem de Ganho 15 db Margem de Fase

3 A resposta de freqüência de um sistema pode ser retratada por um diagrama cujos eixos são magnitude logarítmica e o ângulo de fase (Diagrama de Nichols). Exemplos comparativos: ( ) K GH1 jω jω( jω + 1)(0, jω + 1) MG 1 15 db, e MF GH ( jω) K jω( jω + 1) MG 5,7 db, e MF 0 0 Quanto o sistema GH (jω) é menos estável que GH (jω)? 3

4 Determinar a margem de fase de um sistema de a. Ordem e relacionar a relação de amortecimento. Assim considere GH ( s) EC de um sistema de a ordem s ωn s( s + ζω ) + ζω s + ω 0 n n Representação no domínio da freqüência n GH ( jω) Raízes a MF: ωn jω( jω + ζω ) s ζω ω ζ n ± n A magnitude da resposta de freqüência é igual a 1 em uma freqüência ω c, assim ωn 1 ωc ωc + 4ζ ω 4 ou ( ωc ) + 4ζ ωn ( ωc ) ωn 0 n ωc 4 Resolvendo a equação para ω c, obtém-se 4ζ 1 ζ ω + A Margem de Fase do sistema é φ φ mf mf 1 n ω c tg 90 tg 4ζ + 1 ζ ζωn ζ tg ζ 1 4ζ + 1 ζ 4 n 4 1

5 Relação entre o coeficiente de amortecimento ζ e a margem de fase φ mf Aproximação Linear: ζ<0,7 (boa) ζ 0,01φ mf Portanto, para o sistema K GH ( jω) jω( jω + 1)(0, jω + 1) A encontrada foi MF Assim, U. P. % ζ ; 0,01φ mf 0, 43 A ultrapassagem percentual para uma entrada degrau aplicada a este sistema é aproximadamente 5

6 É fácil obter por computador a relação entre a margem de ganho e de fase e o ganho K. Assim, para o sistema K GH ( s) s( s + 4) 6

7 Critérios de Desempenho no Domínio do Tempo Especificado no Domínio de Freqüência A resposta transitória de um sistema com retroação pode ser estimada a partir da resposta de freqüência a malha fechada. A resposta de freqüência a malha fechada é a resposta dada pela FT a malha fechada T(jω). A resposta em freqüência a malha aberta e fechada se relacionam como Y ( jω) G( jω) T ( jω) R( jω) 1 + GH ( jω) O valor máximo do módulo da resposta de freqüência pode ser relacionado com o coeficiente de amortecimento de um sistema de a. Ordem por M ( ) 1 T ( ωr ) ζ 1 ζ ω p A relação entre a resposta de freqüência a malha fechada a malha fechada quando H(jω)1 é jφ ( ω ) G( jω) T ( jω) M ( ω) e 1 + G( jω) 7

8 Considerando a coordenadas no plano G(jω) iguais a u e v, então O módulo da resposta a malha fechada M(jω) é Elevando ao quadrado e rearranjando, obtém-se M G( jω ) u + jv G( jω) u + jv u + v 1 + GH ( jω) 1+ u + jv 1+ u + v (1 M ) u + (1 M ) v M u M M M u + v 1 M 1 M É uma equação de um circulo no plano (u,v) com centro no ponto O raio do Circulo é M/(1-M ( ) M u, v 0 1 M Resposta em freqüência a MA para valores de ganho onde K >K 1. 8

9 Resposta de freqüência a malha fechada T(jω) G(jω)/1+G(jω). Observar que K >K 1. O valor Maximo de magnitude da resposta de freqüência do sistema a MF, M pω, é o valor tangente ao lugar G(jω). O ponto de tangencia ocorre na freqüência de ressonância. A Banda Passante de K1 é ω B1. Pode-se mostrar empiricamente que a freqüência de cruzamento, ω c, nos diagramas de Bode a MA, é relacionada coma banda passante, ω B, pela aproximação ω B 1,6ω c para o valor ζ na faixa de 0, a 0,8. 9

10 De modo semelhante podem ser obtidos círculos com ângulos de fase a malha fechada constante. Assim, a relação do ângulo de fase é 1 v 1 v φ T ( jω) ( u + jv) /(1 + u + jv) tg tg u 1+ u Tomando a tangente de ambos os membros e rearrumando os termos, tem-se v N u v u Onde Ntgφconstante. Adicionando-se o termo ¼[1+(1/N )] a ambos os membros da equação e simplificando, obtém-se ( u + 0,5) + v 1+ N 4 N Que é a equação de um circulo com centro u-0,5 e v+(1/n). O raio é igual a ½[1+(1/N)]. N.B. Nichols transformou os círculos M e N constantes em um diagrama com o logaritmo da magnitude e com o ângulo de fase, o qual se chama de carta de NIchols. 10

11 Carta de Nichols As curvas de fase para o sistema a Malha fechada estão assinaladas com traço cheio. 11

12 Exemplo: Estabilidade usando a carta de Nichols GH ( jω) K jω( jω + 1)(0, jω + 1) São mostrados 3 pontos sobre a curva ω0,5; 0,8; e 1,35. 1

13 Exemplo: Sistema de 3a. ordem G( jω) 0,64 jω jω jω [( ) + + 1] 0log M 9 db ou M,8 p ω p ω Raízes da EC são determinadas por q s s s s ( ) ( + 0,77)( + 0, 5 + 0,86) 0 O ganho K do sistema pode ser ajustado de modo a se obterem valores adequados de margem de fase e de M pω por simples inspeção na carta de Nichols. G( jω) K jω jω jω [( ) + + 1] G(jω) 0,64/jω[/(jω) +. jω+1] 13

14 Banda Passante de Sistema Banda passante de um sistema a MF constitui uma excelente medida da faixa de fidelidade da resposta do sistema. Nos sistemas em que o modulo nas freqüências baixas é 0 db, a banda passante é medida na freqüência de -3 db. A velocidade de resposta a uma excitação em degrau será aproximadamente proporcional a ω B e o tempo de assentamento é inversamente proporcional a ω B. Considerem-se as FT a MF a seguir: 1 T1 ( s) 1 T ( s) s + 1 5s

15 Resposta a rampa O sistema com maior banda passante fornece a resposta mais rápida ao degrau unitário e a maior fidelidade a resposta à rampa. Agora, considere os dois sistemas de a. Ordem com FT: T3 ( s) e T 4( s) s + 10s s + 30s

16 T3 ( s) e T 4( s) s + 10s s + 30s Ambos possuem ζ0,5. Ultrapassagem 15% A freqüência natural é 10 e 30. A banda passante é 15 e 40. Tempo pico 0,1 e 0,36. Tempo de assentamento 0,37 e 0,9. O sistema com maior banda passante fornece uma resposta mais rápida. 16

17 Estabilidade de Sistema de Controle com Retardos Muitos sistemas de controle possuem um retardo no interior da MF que afeta a estabilidade do sistema. Um retardo é o intervalo de tempo entre o inicio de um evento em um ponto do sistema e sua ação resultante em outro ponto do sistema. Um retardo puro, sem atenuação, é representado pela FT G ( s) e Onde T é o retardo. Este retardo/atraso introduz um deslocamento de fase na resposta de freqüência sem alterar a curva de magnitude. O critério de Niquist permanece válido pois não introduz pólos e zeros adicionais no interior do contorno. Sistema de controle de laminadora de aço d Se o aço estiver se deslocando com a velocidade v, então o retardo entre o ajuste dos rolos e a medida será T d v st 17

18 Sistema de controle de Nivel 18

19 Controladores PID no Domínio de Frequencia O contrlador PID fornece um termo proporcional, um integral e um derivativo, assim, a FT do controlador será Fazendo K 3 0, tem-se o controlador PI Fazendo K 0, tem-se o controlador PD ( ) K Gc s K1 + + K3s s ( ) K Gc s K1 + s G ( c s ) K1 + K3s Este controladores PID são particularmente úteis para reduzir o erro de estado estacionário e melhorar o desempenho da resposta trasitória quando G(s) possui um ou dois pólos (ou pode ser aproximado por um processo de a. Ordem) 19

20 Os métodos de resposta de freqüência podem ser usados para representar o acréscimo de um PID. O controlador PID pode ser reescrito como K3 K1 K s s 1 τ + + K ( τ s + 1) s 1 ( ) K K + α Gc s s s Controlador PID é uma forma de compensador eliminador de faixa (supressor de faixa) com um ganho K variável. Diagrama de Bode para ωτ, K e α10. 0

21 Obrigado pela presença e atenção! Datas das provas serão divulgadas no Site: 1

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