UNIVERSIDADE FEDERAL DE CAMPINA GRANDE CENTRO DE ENGENHARIA ELÉTRICA E INFORMÁTICA

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1 UNIVERSIDADE FEDERAL DE CAMPINA GRANDE CENTRO DE ENGENHARIA ELÉTRICA E INFORMÁTICA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ELÉTRICA ELETRÔNICA SÉRIE DE EXERCÍCIO #A22 (1) O circuito a seguir amplifica a diferença de potencial Vd Va Vb existente nos terminais de um sensor de pressão atmosférica. Determine a função de transferência do circuito: Vo ( t) f ( Vd, Vx ). (2) Determine a resposta obtida na saída V o para um sinal senoidal na entrada com frequência de 1 khz e amplitude de 5V.. 1

2 (3) Várias funções matemáticas podem ser implementadas em um computador analógico, cujo circuito é montado para cada expressão matemática. O circuito quando completado realiza uma expressão matemática. Para o circuito de computação analógica mostrado na figura a seguir determine a expressão de saída V 0 (t) e o valor médio V DC. COMPUTAÇÃO ANALÓGICA - Enquanto um computador digital possui uma estrutura fixa e resolve um problema executando um conjunto de instruções, um computador analógico muda a sua estrutura para tornar-se um modelo análogo ao problema a ser resolvido. Na computação analógica em primeiro lugar é necessário um modelo matemático do sistema a ser simulado. Os amplificadores operacionais estão na base dos computadores analógicos. Embora computadores analógicos possam ser usados para solução de problemas que não envolvem equações diferenciais, eles são frequentemente considerados como solucionadores de equações diferenciais. Por esta razão, o Computador Analógico tem sido chamado Analisador Diferencial. Equações diferenciais são importantes no estudo de sistemas dinâmicos, porque nestes sistemas as variáveis importantes são mudadas com respeito a cada outra, tanto que seu comportamento possa ser expresso matematicamente por equações diferenciais. O computador analógico pode ser usado para solução de problemas em regime permanente assim como para solução de problemas transitórios. Uma das mais úteis aplicações do computador analógico é na solução de equações não-lineares, que em geral não apresente solução analítica. Uma equação diferencial não-linear é aquela que a variável dependente ou uma ou mais de suas derivadas aparecem elevada a uma potência diferente da unitária ou como argumento de uma função. A modelagem de um sistema físico real num computador é chamada de simulação. 2

3 O termo analógico se refere ao fato das grandezas físicas contínuas dentro do computador poderem representar diretamente uma grandeza também contínua em um sistema físico real. A computação analógica recorre à interligação de diversos circuitos com funções matemáticas básicas, tais como circuitos somadores, integradores, diferenciadores, multiplicadores, entre outros, com vista à realização de funções matemáticas mais complexas, como seja a resolução de equações diferenciais. A fim de compreender melhor o mundo físico, torna-se às vezes necessário usar modelos matemáticos para prever a reação de vários sistemas físicos, tais como o movimento de um pêndulo, de uma massa unida a uma mola sujeita aos estímulos externos, tal como uma força. Com o uso de equações diferenciais, torna-se possível modelar exatamente o comportamento de tais sistemas. Entretanto, ver realmente representações gráficas das soluções a estes modelos transforma-se, por vezes, computacionalmente complexo. Aqui entra o computador analógico. Computadores analógicos, com o uso dos multiplicadores, dos somadores e dos integradores podem rapidamente e exatamente representar a equação diferencial graficamente. Os computadores análogos são incrivelmente rápidos em resolver equações diferenciais. Uma vez que os computadores analógicos resolvem a equação inteira imediatamente, nós podemos mudar a frequência ou a forma da função de entrada e ter, com um atraso imperceptível, a nova solução. Os computadores analógicos representam um modo eficaz de modelar sistemas para exame do mundo real. Enfim, os computadores analógicos representam uma maneira natural para representação gráfica de solução na simulação de sistemas representados por equações diferenciais. Existe um dispositivo intermediário, um computador híbrido, no qual um computador digital é combinado com um computador analógico. Metodologia: O primeiro passo na montagem de um diagrama de computação é assumir que a derivada de ordem mais elevada está disponível. Então, é só resolver a equação diferencial para esta derivada de ordem mais alta. (4) Questão: Um pesquisador descreveu o modelo matemático de um determinado sistema físico através de uma equação diferencial representada a seguir. Projete um circuito capaz de resolver esta equação diferencial fornecendo uma saída gráfica possível capaz de ser observada com o uso de um osciloscópio. y = 2y y + 5sen3t (5) A partir de dois sinais dx(t)/dt e dy(t)/dt apresente um circuito capaz de determinar dy ( t) V o ( t). dx ( t) (6) Sugira um circuito analógico capaz de fornecer as raízes de uma equação do segundo grau, com raízes reais, cujas tensões de entrada correspondem aos coeficientes da equação e as tensões de saída às respectivas raízes, ou seja, V 1 =a, V 2 =b e V 3 =c. 2 ax bx c (7) Sugira um circuito analógico capaz de fornecer os coeficientes de uma equação do segundo grau, cujas tensões de entrada representam as raízes desta equação e as tensões de saída representam os respectivos coeficientes, ou seja, V 1 =a, V 2 =b e V 3 =c. 2 ax bx c 0 0 3

4 (8) Projete um circuito capaz de resolver a equação diferencial explicitada no diagrama de blocos a seguir. (9) Projete um circuito capaz de resolver a equação diferencial a seguir. (10) SIMULAÇÃO ANALÓGICA DE UM SISTEMA DE SEGUNDA ORDEM Apresente um circuito analógico capaz de simular o sistema massa-molaamortecedor mostrado na figura a seguir. Escreva a equação diferencial representativa do sistema físico e apresente o circuito correspondente a sua simulação. A fim de modelar uma oscilação forçada, amortecida de uma massa unida a uma mola, construa um computador analógico usando somadores e integradores. Escreva a equação diferencial: onde M é a massa do objeto unido a uma mola, Kd é a constante de amortecimento, Ks é a constante de elasticidade da mola, e F(t) é a função de forçamento. 4

5 (11) Apresente um circuito capaz de resolver a equação diferencial a seguir: (12) SIMULAÇÃO ANALÓGICA - Computador Analógico - Resolução de equações diferenciais baseados em circuitos com amplificadores operacionais. Os amplificadores operacionais tiveram suas origens em computadores analógicos. Um computador analógico eletrônico é uma ferramenta empregada na resolução de equações matemáticas diferenciais. O computador analógico pode ser usado para simular sistemas físicos dinâmicos. A principal utilidade do computador analógico é para a simulação de sistemas que podem ser modelados por um conjunto de equações diferenciais. A equação diferencial de segunda ordem mostrada a seguir é uma representação matemática de um sistema físico. Apresente um circuito capaz de simular e resolver esta equação. Considere as condições iniciais nulas. (13) Apresente um circuito capaz de simular e resolver a equação diferencial de primeira ordem mostrada a seguir. (14) SIMULAÇÃO ANALÓGICA DE UM SISTEMA FÍSICO Sistema massa-mola e pêndulo simples. Osciladores harmônicos. Apresente um circuito usando amplificadores operacionais capaz de simular os sistemas físicos apresentados a seguir. 5

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7 (15) Os circuitos a seguir simulam a solução de equações diferenciais. Determine as expressões das equações diferencias implementadas e identifique as ordens das equações diferencias correspondentes. CIRCUITO A CIRCUITO B (16) Com o emprego de amplificadores operacionais para resolver problemas de cálculo analógico use a integração da equação diferencial para estudar o movimento de um corpo em queda livre sob a gravidade terrestre. Apresente um circuito capaz de observar em um osciloscópio a curva de velocidade e o deslocamento do corpo em queda livre. Como você ajustaria este circuito para descrever a queda livre de um corpo em outro planeta, Jupiter, por exemplo? Apresente o modelo matemático e o circuito equivalente da simulação.. 7

8 (17) Projete um circuito capaz de resolver a equação diferencial mostrada a seguir fornecendo uma saída gráfica possível capaz de ser observada com o uso de um osciloscópio. 2 d y dy 3 y 0 2 dt dx (18) Determine a expressão da equação diferencial implementada no circuito a seguir e identifique a ordem da equação diferencial correspondente. (19) Determine V o em função de V 1 e V 2 (20) Mostre que o circuito a seguir proporciona a adição dos sinais da entrada não inversora e subtrai dos sinais adicionados na entrada inversora. 8

9 (21) AMPLIFICADOR DE INSTRUMENTAÇÃO MODIFICADO O circuito a seguir aplica uma corrente na carga R o proporcional a tensão diferencial da entrada. Determine o valor de k. (22) FONTE DE CORRENTE CONTROLADA POR TENSÃO (VCCS - Voltage Controlled Current Source) O circuito a seguir converte uma tensão aplicada na entrada em uma corrente proporcional a sua intensidade. Determine o valor de I O. Mostre que a corrente I O independe do valor da carga R O. (23) CONVERSOR TENSÃO-CORRENTE & FONTE DE CORRENTE Mostre que no circuito a seguir I Z, podendo esta topologia ser vista como uma fonte de corrente I o. Sugira algumas aplicações para este circuito. o V R i o. Observe que a corrente I o não depende da impedância 9

10 (24) Determine a corrente i em função de V i e prove que é independente do valor de Z. (25) Determine V o. 10

11 (26) Encontre o valor medio. (27) Usando amplificadores operacionais e sem a utilização de indutores, como você simularia: (a) Uma indutância variável? (b) Uma indutância negativa dependente da temperatura? (c) Um capacitor variável a partir de um capacitor fixo? (d) Um multiplicador de capacitância? (e) Uma resistência negativa dependente da luz? (f) Uma resistência negativa inversamente proporcional a frequência e dependente da temperatura? (28) PROJETO PROCESSAMENTO DE SINAL ANALÓGICO Um engenheiro trabalhando em um determinado projeto necessita obter uma tensão de saída em função de uma tensão de entrada que satisfaça a relação a seguir: 1 2,5 (g) Y X 3 Considere que você foi contratado como estagiário para este projeto e que lhe foi determinada a tarefa para solucionar este problema. Considere que Y é a tensão de saída e X é a tensão de entrada. Sugira e projete um circuito capaz de realizar a operação solicitada. (29) POTÊNCIA & ENERGIA (A) Quanto tempo, em minutos, leva para se armazenar 0,001 Joules de energia em um capacitor de 100 F alimentado com uma fonte de corrente constante de 1 A? Qual deveria ser o valor da fonte de corrente para se armazenar esta mesma quantidade de energia em apenas 1 segundo? (B) Expresse, em Joules, a quantidade de energia armazenada em uma bateria de automóvel especificada com 54Ah@12V. (C) Determine o tempo que uma bateria de 54Ah@12V pode manter um equipamento de som especificado como 12V@6W em funcionamento. E uma lâmpada de 20W? (30) CIRCUITO RC Considere o circuito RC mostrado na figura a seguir onde se aplica um sinal senoidal, com amplitude constante e freqüência variável, ou seja, ( t) 10sen2 ft (Volts). Considere R = 10 k e C = 10nF. (a) Determine o valor da freqüência do sinal na qual o sinal de saída V0 ( t) possui metade da amplitude do sinal de entrada, ou seja, V 0( t) 5sen(2 ft ). Encontre o valor do defasamento para esta frequência. (b) Determine o valor da freqüência do sinal na qual o sinal de saída V ( ) encontra-se o defasada do sinal de entrada por 45. Escreva a expressão para V ( ). V i 0 t 0 t 11

12 (c) Determine o valor de V ( ), amplitude e fase, na freqüência de 10 k z. 0 t (31) OSCILADOR SENOIDAL O circuito mostrado na figura a seguir representa um oscilador senoidal. Explique o princípio de funcionamento deste oscilador. Aplique as condições de Barkhausen e determine a freqüência de oscilação entre R F e R1 para que a oscilação ocorra. o e a relação (32) A partir de um miliamperímetro com escala de 0-10mA e usando amplificador operacional construa um medidor de corrente capaz de medir correntes na faixa de (33) Verifique as condições de Barkhausen para o oscilador senoidal a seguir e determine a frequência de oscilação. 12