Laboratórios de CONTROLO (LEE) 2 o Trabalho Motor DC Controlo de Velocidade

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1 Laboratórios de CONTROLO (LEE) 2 o Trabalho Motor DC Controlo de Velocidade Baseado no trabalho Controlo de Velocidade de um motor DC de E. Morgado, F. Garcia e J. Gaspar João Miguel Raposo Sanches 1 o Semestre 2005/2006 Instituto Superior Técnico (Tagus Park) 1

2 Controlo-LEE(Tagus Park), 1 o Semestre de 2005/ Introdução Neste trabalho pretende-se controlar a velocidade de um motor de corrente contínua. A utilização de um sistema físico real, neste caso um motor DC, tem por objectivo familiarizar os alunos com sistemas reais, não ideais, que apresentam características dificilmente modeláveis. O trabalho está dividido em 3 fases: 1. Preparação teórica, designadamente, elaboração do modelo matemático do motor DC. 2. Identificação, montagem e calibração do equipamento a utilizar, motor, taquímetro e circuitos electrónicos. 3. Desenho, implementação, teste e afinação do sistema de controlo de velocidade do motor DC. 2 Preparação Teórica 1. Considere o esquema simplificado de um motor DC de imã permanente (semelhante ao utilizado no laboratório) apresentado na figura 1, onde os símbolos indicados correspondem às seguintes grandezas físicas: T - Binário do motor. J m - Momento de inércia referido ao eixo do motor. K e - Constante eléctrica. R a - Resistência do circuito de armadura (rotor). L a - Indutância do circuito de armadura. i a - Corrente do circuito de armadura. θ m - Posição angular do veio do motor. v a - Tensão aplicada nos terminais do motor. e - Força(tensão) contra-electromotriz. Considere que a aceleração angular do veio, a velocidade angular do veio e a corrente do circuito de armadura se relacionam pela seguinte expressão: J m θ = Km i a b θ m (1)

3 Controlo-LEE(Tagus Park), 1 o Semestre de 2005/ em que K m e b denotam, respectivamente, a constante de binário e o coeficiente de atrito viscoso. Calcule as funções de transferência que relacionam a tensão aplicada aos terminais do motor com i) a posição angular do veio do motor e ii) a velocidade angular do veio do motor. Simplifique as funções de transferência assim obtidas considerando que a indutância do circuito de armadura é desprezável. Figura 1: Modelo do motor DC. 2. Considerando que o amplificador de potência e o taquímetro já estão incluídos (modelados) no circuito eléctrico e no modelo mecânico da figura 1 então o sistema constituído pelo amplificador de potência, motor e taquímetro é representado em boa aproximação por uma função de transferência de 1 a ordem G(s) = K sτ (2) (a) Identifique o sistema da eq.(2) com um dos sistemas (i) ou (ii) da alínea anterior. Em particular relacione K 0 e τ com as constantes indicadas na alínea anterior. (b) Determine os valores de K 0 e τ em função da resposta ao escalão nos instantes t = 0 e t =. 3. Considere o sistema de controlo de velocidade em malha fechada com realimentação negativa representado na Figura 2. Admita para já que C(s) = K (controlador Proporcional). Calcule a constante de tempo e o erro em regime permanente (ou seja, o valor de e(+ ) quando em

4 Controlo-LEE(Tagus Park), 1 o Semestre de 2005/ Figura 2: Diagrama de retroacção para controlo de velocidade. v ref se aplica um escalão unitário) do sistema realimentado em função de K, K 0 e τ. 4. Considere agora que C(s) corresponde a um controlador Proporcional- Integral (PI), com função de transferência C(s) = K p (1 + 1 T i ). Mostre s que este controlador PI pode ser implementado pelo circuito da Figura 3, em que se admite a aproximação ideal para os AMPOPs. Calcule os valores de K p e T i em função do valor das resistências R 1, R 2 e R 3, e dos condensadores C 1 e C 2. Figura 3: Controlador PI. Admita que os pólos do sistema em cadeia fechada são dominantes, e calcule os seus valores numéricos de forma a que o sistema em cadeia fechada cumpra as seguintes especificações: Erro estático de posição nulo (garantido para quaisquer K p > 0 e T i > 0, porquê?). Sobreelevação = 20% Tempo de pico = 20 ms 5. Mantendo o controlador PI, considere que existe um ganho K r no sinal de referência e que o sensor tem dinâmica H(s) (ver figura 4). Calcule

5 Controlo-LEE(Tagus Park), 1 o Semestre de 2005/ o erro e 2 = y v ref na resposta ao escalão em regime estacionário para os seguintes casos: i) K r = 1, H(s) = 0, ii) K r = 1, H(s) = 1.1, iii) K r = 1, H(s) = p/(s + p) onde p = 10/T i ou p = 1/T i. Comente a influência de H(s) sobre as especificações em regime permanente e transitórias indicadas anteriormente. Figura 4: Diagrama de retroacção para controlo de velocidade. Ganho de retroacção não unitário. 3 Realização experimental 1. Observe a resposta do sistema amplificador de potência + motor + taquímetro a um escalão gerado pelo gerador de funções com amplitude 6V(0V 6V ). Determine experimentalmente os parâmetros da função de transferência, K 0 e τ. Para isso monte o circuito representado na figura Utilizando o gerador de sinais, determine a resposta em frequência de amplitude (na banda de 5 a 500rads 1 ). Construa o respectivo gráfico no Matlab utilizando uma escala semi-logarítmica. Desenhe as assímptotas da resposta em frequência de amplitude do sistema. Determine o valor da frequência de corte e do ganho estático. Compare os valores obtidos com os da resposta ao escalão da pergunta anterior e comente os resultados. 3. Implemente o sistema de controlo de velocidade com realimentação negativa e controlador proporcional de acordo com a Figura 6. A partir do valor da constante de tempo em cadeia aberta obtido em 1), calcule o valor de K de forma a que as constantes de tempo em cadeia fechada sejam de 10 ms e 5 ms. Ajuste o valor do ganho do amplificador de forma a atingir as especificações desejadas observando a resposta a

6 Controlo-LEE(Tagus Park), 1 o Semestre de 2005/ Figura 5: Determinação dos parâmetros do motor. uma onda quadrada a variar entre 2V e 6V e com frequência 0.2Hz. Explique porque é que teve que utilizar uma onda quadrado com offset 2V. Meça os parâmetros do sistema (incluindo o ganho estático) em cadeia fechada e compare-os com os valores esperados. Comente os resultados na globalidade. 4. Comente e explique o que observa quando aumenta muito o ganho do controlador proporcional. 4 Simulação de controlo PI de um motor DC: dinâmica não modelada Esta alínea simula o comportamento do sistema em cadeia fechada no Matlab/Simulink utilizando um controlador proporcional integral. Na introdução teórica, a função de transferência do motor foi obtida após uma aproximação, desprezando designadamente a indutância do circuito de armadura. Esta aproximação permitiu obter um modelo simplificado de primeira ordem, que foi utilizado para realizar o trabalho experimental. Nesta secção considera-se a indutância não nula e portanto o modelo passa

7 Controlo-LEE(Tagus Park), 1 o Semestre de 2005/ Figura 6: Realimentação com controlador proporcional. a ser de segunda ordem. Pretende-se em particular estudar qual o efeito do pólo adicional do motor na resposta do sistema controlador + amplificador + motor + taquímetro em malha fechada. Para estudar o efeito na resposta da malha fechada consideram-se vários valores para o pólo adicional do motor, s p. 1. s p = 0.8/T i. Aumente o valor do ganho do controlador K p a partir do valor dimensionado anteriormente até o sistema em malha fechada exibir instabilidade. Verifique em particular que para os valores de K p ensaiados, tais que o sistema em malha fechada é estável, a sobreelevação aumenta com o aumento de K p. 2. Repita a experiência para s p = 1/T i ou s p = 10/T i, e verifique que o aumento de ganho não torna o sistema instável. 3. Justifique os resultados obtidos. Para realizar a simulação de controlo PI de um motor DC em Matlab/Simulink, comece por construir o diagrama de blocos da figura 7 e grave o ficheiro com o nome motor ctrl pi. As variáveis incluídas no diagrama de blocos, τ, K 0, K p, T i, H e K r, permitem variar facilmente os parâmetros do sistema a partir do comando

8 Controlo-LEE(Tagus Park), 1 o Semestre de 2005/ de linha do Matlab. Na simulação devem ser usadas as constantes do controlador e do sistema motor + amplificador + motor + taquímetro identificadas e/ou calculadas no laboratório. Nos exemplos seguintes usa-se τ = 22ms, K 0 = 0.6, K p = 2 e T i = somente para mostrar o código completo em Matlab/Simulink. Para adicionar um pólo em 0.8/T i, coloque no denominador do bloco Transfer Fcn os parâmetros [τ T i /0.8τ + T i /0.81] (ver figura 7). Finalmente K p é definido e alterado na linha de comando: tau=22e-3; K0=0.6; Ti=0.005; H=1; Kr=1; Kp= 2; [t,tmp,y]= sim( motor ctrl pi, [1 1.1]); plot(t,y) Kp= 3; [t,tmp,y]= sim( motor ctrl pi, [1 1.1]); plot(t,y)... Nota: A variação do valor de K p pode ser feita automaticamente com um ciclo for e os gráficos sobrepostos com o comando hold on. Figura 7: Simulação em Simulink do controlador proporcional integral.

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