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1 1-As Linhas de Força e as linhas Equipotenciais interceptam-se ortogonalmente. Determinar as linhas de força do campo elétrico gerado por dois fios paralelos de material condutor, carregados com cargas opostas de mesma intensidade, encontrando as trajetórias ortogonais da família x + y + 1 = Cx. Resposta: x + y 1 = Ky. Ajuda: usar o fator integrante µ ( y ) = y. -Reações Químicas: A velocidade de uma reação química é proporcional às concentrações das substâncias que reagem. Na inversão da sacarose, a reação é C1 H O11 + H O = C6 H1 O6 + C6 H1 O6.São formadas duas moléculas, uma de glicose e outra de frutose. Neste caso, podemos supor que a concentração da água é constante(c) durante a reação. Denotamos por a concentração de sacarose antes de iniciar a reação e q a de sacarose decomposta ao fim do tempo t. A velocidade com que se verifica a inversão é dada pela derivada da quantidade decomposta em relação ao tempo; como esta derivada deve ser proporcional às concentrações c da água e a-q da sacarose que ainda não reagiu, temos: q ( t ) = k1 c( a q ). Determinar q(t), se q(0)=0. k t Resposta: q( t ) = a ae, k = k1c. 3. Economia A) Numa empresa, a relação entre lucro líquido L(x) e as despesas de propaganda x é tal que a ta de aumento do lucro líquido. á medida que as despesas de propaganda aumentam, é proporcional a uma constante A menos o lucro líquido( dl/dx = K ( A - L )). Determinar a relação entre lucro líquido e despesas de propaganda, se L(0)=100, L(30) = 150 e A=300 (mil unidades monetárias). Resposta: L( x ) = e x B) A relação entre o custo de fabricação por objeto (C) e o número de tipos objetos fabricados (x) é tal que a ta de aumento do custo quando o número de dc ( x ) C( x ) + x tipos aumenta é expressa pela equação diferencial homogênea =. Determinar a relação entre o dx x custo de fabricação por objeto e o número de tipos de objetos fabricados, sabendo C(1)=1000 unidades monetárias. Resposta: C ( x ) = x( ln x ). 1

2 PUCRS- Faculdade de Matemática - Prof. Eliete Biasotto Hauser - Equações Diferenciais: Aplicações 4. Problemas de variação de temperatura : A lei de variação de temperatura de Newton afirma que a ta de variação de temperatura de um corpo é proporcional à diferença de temperatura entre o corpo e o meio ambiente. dt/dt = k( T-T m ) A)Um objeto à temperatura inicial de 50 o F é colocado ao ar livre, onde a temperatura ambiente é de 100 o F. Se após 5 minutos a temperatura do objeto é de 60 o F, determinar (a) o tempo necessário para a temperatura atingir 75 o F e (b) a temperatura do corpo após 0 minutos. Resposta: a) 15,4 min. b) 79,5 o F B) Coloca-se um objeto com temperatura desconhecida em um quarto mantido à temperatura constante de 30 o F. Se após 10 minutos, a temperatura do objeto é 0 o F e após 0 minutos é 15 o F, determinar a temperatura inicial desconhecida. Resposta: -30 o F C) Coloca-se uma barra de metal à temperatura de 100 o F em um quarto com temperatura constante de 0 o F. Se, após 0 minutos a temperatura da barra é de 50 o F, determinar : (a) O tempo necessário para a barra chegar à temperatura de 5 o F ; b) A temperatura da abra após 10 minutos. Resposta: T ( t) = 100e t o a) 40 min. b) 70, 71 F 5. Problemas de crescimento e decrescimento Seja N(t) a quantidade de substância (ou população) sujeita a um processo de crescimento ou de decrescimento. Admite-se que dn/dt, ta de variação da quantidade de substância, é proporcional à quantidade de substância presente, então dn/dt =kn. A) Sabe-se que uma cultura de bactérias cresce a uma ta proporcional à quantidade presente. Após 1 hora, observam-se 1000 núcleos de bactérias na cultura, e após 4 horas, 3000 núcleos. Determine (a) uma expressão para o número de núcleos presentes na cultura no tempo arbitrário t e (b) o número de núcleos inicialmente existentes na cultura. R: a) N = 694e 0.366t b) 694 B) Certa substancia radioativa decresce a uma ta proporcional à quantidade presente. Se se observa que, após uma hora houve uma redução de 10% da quantidade inicial da substância, determine a meia-vida (half life) da substância. (Sugestão: designe por N 0 a quantidade inicial da substância. Não é preciso conhecer N 0 explicitamente). R: 6.6 horas dq( t ) 6. Circuitos em série L-R, R-C: i ( t ) =, L= indutância; R= resistência; E ( t ) = voltagem; dt di dq 1 L + Ri = E(t) ; R + q = E( t) dt dt C A) Uma bateria de 1 volts é conectada a um circuito em série no qual a indutância é de 1/ Henry e a resistência, 0t 10 ohms. Determinar a corrente i(t), se a corrente inicial é zero. R: i( t ) = 1,(1 e ). B) Uma força eletro motiva de 100 volts é aplicada a um circuito R-C em série no qual a resistência é de 00 ohms e a capacitância, 10-4 Farad. Determinar a carga q(t) no capacitor se q(0) = 0. Determinar a corrente i(t). 50t 50t R: q( t ) = 0,01( 1 e ), i( t ) = 0,5e.

3 7) Resolver o Problema de Valor inicial a) dy dx 3x + 4x + = ( y 1) y(0 ) = 1 3 Resposta: A única solução é y = 1 x + x + x + 4. b) Resposta: A única solução é dy x = dx y y( 4 ) = 3 y = 5 x. 8) Considerar a equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes (*) A y ( t ) + B y ( t ) + C y = 0. a) Supondo que y( x ) λx = Ke é uma solução de (*) obter o polinômio característico (**) p( ) = Aλ + B λ + C b) Mostrar que se λ1 λ são raízes reais de p( λ ), a solução geral de (*) é λ x λ x ( λ + λ Ajuda: Mostrar que 1 1 )x W( e,e ) = e ( λ 1 λ ) 0. b)mostrar que se λ 1 = λ é raiz real dupla de p( λ ), a solução geral de (*) é y( x ) λ. λ x λ x = c 1 1 e + c e λ x λ x y( x ) = c e + c x e Ajuda: Mostrar que W( e λ x 1,xe λ x x 1 ) = e λ 1 0. a bi c) Mostrar que se λ 1 = e + a bi e λ = e são raízes complexas de p( λ ), a solução geral de (*) é y( x ) = k1 e cosbx + ke senbx Ajuda: Mostrar que W( e cosbx, e senbx ) = be 0 3

4 PUCRS- Faculdade de Matemática - Prof. Eliete Biasotto Hauser - Equações Diferenciais: Aplicações A equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes A y ( t ) + B y ( t ) + C y = f ( t ) modela matematicamente problemas de diversas áreas: física, engenharia, química, biologia,... Na tabela a seguir apresentamos alguns exemplos. Sistema Mecânico Circuito Elétrico em série L-R-C movimento forçado com amortecimento f ( t ) (massa fixa numa mola) E(t) =0 - vibrações elétricas livres Torção movimento de rotação( peso fixo na ponta de um cabo elástico) A y ( t ) + B y ( t ) + C y = y(0 ) = y f(t)=0 e β 0 movimento livre amortecido 0 f(t)=0 e β = 0 movimento livre sem y ( 0 ) = y1 amortecimento f(t)=0 eκ = 0 oscilador harmônico y(t) Deslocamento q(t) - carga no capacitor, θ( t )- movimento de dq i ( t ) = rotação dt A m - massa L - indutância I-momento de inércia B β - amortecimento R Resistência β -amortecimento C κ constante elástica 1/C elastância=capacitância recíproca κ -Constante elástica f(t) f(t) -força externa E(t) voltagem impressa T(t) - torque A y ( t ) + B y ( t ) + C y = 0 Aλ + B λ + C = 0 B ± B 4 AC λ 1, = A B 4 AC P>0 superamortecido P<0 - subamortecido P=0 criticamente amortecido β 4Mκ 4L R β 4Iκ C 11) Resolver o problema de valor inicial. 4

5 a) 5 y'' + y' + 10 y = 0 40 y := t y(0 ) = 0, y' (0 ) = t / ) e( sin t (oscilação periódica, com freqüência 199 radianos por unidade de tempo e período π unidades de tempo, com amplitude decrescente com o tempo). 199 b) y'' + 16 y = 0 y(0 ) = 1, y' (0 ) unidade de tempo e período = 0 (Resposta: y(t)=cos4t, oscilador harmônico, freqüência 4 radianos por π unidades de tempo, amplitude constante c) y'' + y = sent y(0 ) = 0, y' (0 ) Resposta: y(t) =tcost, solução periódica com amplitude crescente = 1 5

6 PUCRS- Faculdade de Matemática - Prof. Eliete Biasotto Hauser - Equações Diferenciais: Aplicações 0, y'' ( t ) + 1, y' ( t ) + y( t ) = 5 cos 4t d) O problema de valor inicial representa um sistema vibrante y(0 ) = 0,5, y' (0 ) = 0 que consiste em uma massa (0,kg) atada a uma mola(k= N/m). A massa parte do repouso 0,5m abaixo da posição de equilíbrio. O movimento é amortecido ( β =1,) e está sob a ação de uma força externa periódica (f(t)=5cos4t). Determinar y(t) t) 38 3 t) 50 5 y( t ) = e( sin( t ) 51 e( cos( t ) sin( 4 t ) cos( 4 t ) q'' ( t ) + 9q' ( t ) + 14q = sent e) Determinar a solução do problema de valor inicial, isto é, a carga no capacitor de um circuito em série q(0 ) = 0, q' (0 ) = 1 R_L_C, no qual R=180 ohms, C=1/80 farad, L=0 Henry, voltagem aplicada E(t)=10sent. Não existe carga inicial no capacitor e a corrente dq t) 11 t) 9 13 inicial i ( t ) = é de 1 Ampère quando t=0. q( t ) = + + dt 500 e( 50 e( cos( t ) sin( t )

7 Exemplo: Determinar o Potencial eletrostático u(r) entre duas esferas concêntricas de raio r=1 e raio r=4 a partir do Problema de Valor de d u du + = 0 Contorno dr r dr. u(1) = 50, u( 4 ) = 100 OBS.: Notar que a equação diferencial linear não tem coeficientes constantes. Apresentamos a solução utilizando o sistema Maple. > edopvc := diff( u(r), r$ ) + (/r) * diff( u(r), r )= 0; > cc:=u(1)=50,u(4)=100; > sol_pvc:=unapply(rhs(dsolve({edopvc,cc},u(r))),r); >plot({sol_pvc(r),350/3},r=0.3..0,thickness=); 7

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