Capítulo 5: Aplicações da Derivada

Transcrição

1 Instituto de Ciências Exatas - Departamento de Matemática Cálculo I Profª Maria Julieta Ventura Carvalho de Araujo Capítulo 5: Aplicações da Derivada 5- Acréscimos e Diferenciais - Acréscimos Seja y f ( uma função Se x varia de x a x, definimos o acréscimo de x, denotado por x, como x x x A variação de x origina uma correspondente variação de y, denotada por y, dada por: y f x ) f ( x ) f ( x + f ( ) ( x - Diferenciais Sejam y f ( uma função derivável e x um acréscimo de x Definimos: a) A diferencial da variável independente x, denotada por dx, como dx x A diferencial da variável dependente y, denotada por dy, como dy f '( x f '( dx dy Observação: De acordo com a definição anterior, podemos escrever f '( dx usada para f '(, pode agora ser considerada um quociente entre duas diferenciais dy A notação, já dx 3- Interpretação Geométrica Consideremos a figura ao lado, que representa o gráfico de uma função y f ( derivável O acréscimo x que define a diferencial dx está geometricamente representado pela medida do segmento PM O acréscimo y está representado pela medida do segmento MQ A reta t é tangente à curva no ponto P Esta reta corta a reta x x no ponto R, formando o triângulo retângulo PMR MR dy A inclinação desta reta t é dada por f '( x ) tgα Usando o fato de que f '( x ), concluímos PM dx que dy MR, já que PM dx Observamos que, quando x torna-se muito pequeno, o mesmo ocorre com a diferença y dy Usamos esse fato em exemplos práticos, considerando y dy, desde que o x considerado seja um valor pequeno 83

2 4- Exemplos Se y x 6x + 5, calcule o acréscimo y para x 3 e x 0, 0 Se y 6x 4, calcule y e dy para x e x 0, 00 3 Calcule um valor aproximado para 3 65, 5 usando diferenciais 4- Obtenha o volume de uma fina coroa cilíndrica de altura m, raio interior 7 m e espessura 0,05 m Qual o erro decorrente se resolvermos usando diferenciais? 5- Exercícios Página 78 do livro texto (números 6 ao 36) 84

3 53- Taxa de Variação Taxas Relacionadas - Definições Dada uma função y f (, quando a variável independente varia de x a x + x, a correspondente variação de y será y f ( x + f ( O quociente y f ( x + f ( x ) representa a taxa (razão) média de variação de y em relação a x x x f ( x + f ( A derivada f '( lim é a taxa instantânea de variação de y em relação a x ou, x 0 x simplesmente, taxa de variação de y em relação a x - Exemplos Quando um corpo se move em uma trajetória qualquer com a equação do movimento s s(t), a sua velocidade é dada por v s '( t), que é a taxa de variação da função s (t) por unidade de variação do tempo t A aceleração é dada por a ( t) v '( t) ; assim a (t) é a taxa de variação da função v(t) por unidade de variação do tempo t Sejam A a área de um quadrado e l seu lado Determine: a) a taxa de variação média da área de um quadrado em relação ao lado quando este varia de,5 a 3 m; a taxa de variação da área em relação ao lado quando este mede 4m 3 Uma cidade X é atingida por uma moléstia epidêmica Os setores de saúde calculam que o número de pessoas atingidas pela moléstia depois de um tempo t (medido em dias a partir do primeiro dia da 3 t epidemia) é, aproximadamente, dado por f ( t) 64t 3 a) Qual a razão (taxa) da expansão da epidemia no tempo t 4? 85

4 Qual a razão da expansão da epidemia no tempo t 8? Quantas pessoas serão atingidas pela epidemia no 5º dia? 4 Analistas de produção verificaram que em uma montadora, o número de peças produzidas nas 50( t + t), para 0 t 4 primeiras t horas diárias de trabalho é dado por f ( t) 00( t + ), para 4 t 8 a) Qual a razão de produção (em unidades por hora) após 3 horas de trabalho? E após 7 horas? Quantas peças são produzidas na 8ª hora de trabalho? 86

5 5 Um reservatório de água está sendo esvaziado para limpeza A quantidade de água no reservatório, em litros, t horas após o escoamento ter começado é dada por V 50(80 t) Determine: a) a taxa de variação média do volume de água no reservatório durante as 0 primeiras horas de escoamento; a taxa de variação do volume de água no reservatório após 8 horas de escoamento; a quantidade de água que sai do reservatório nas 5 primeiras horas de escoamento Taxas Relacionadas: Em muitas situações, a quantidade em estudo é dada por uma função composta Nestes casos, para determinar a taxa de variação devemos usar a regra da cadeia 6 Um quadrado de lado l está se expandindo segundo a equação l + t, onde a variável t representa o tempo Determinar a taxa de variação da área desse quadrado no tempo t 87

6 7 O raio de uma circunferência cresce à razão de cm/s Qual a taxa de crescimento do comprimento da circunferência em relação ao tempo? 8 Um ponto P ( x, y) se move ao longo do gráfico da função y Se a abscissa varia à razão de 4 x unidades por segundo, qual é a taxa de variação da ordenada quando a abscissa é x? 0 9 Acumula-se areia em um monte com a forma de um cone onde a altura é igual ao raio da base Se o volume de areia cresce a uma taxa de 0 m 3 /h, a que razão aumenta a área da base quando a altura do monte é de 4 m? 0 Uma escada de 5m está apoiada a uma parede vertical Num dado instante, o pé da escada está a 3m da base da parede da qual se afasta à razão de m/s Com que velocidade se move o topo da escada ao longo da parede neste instante? 54- Exercícios Páginas 9 e 9 do livro texto (números ao 6) 88

7 55- Análise do Comportamento de uma Função Dada uma curva y f (, usaremos a derivada para obter alguns dados acerca da curva Por exemplo, discutiremos os pontos de máximos e mínimos, os intervalos onde a curva é crescente ou decrescente, etc Esses dados nos levam a um método geral para construir esboços de gráficos de funções 55- Máximos e Mínimos Definições: Uma função f tem um máximo relativo (local) em c, se existir um intervalo aberto I, contendo c, tal que f ( f (, para todo x I D( f ) Uma função f tem um mínimo relativo (local) em c, se existir um intervalo aberto I, contendo c, tal que f ( f (, para todo x I D( f ) Se f tem um máximo relativo (ou mínimo relativo) em c, então o ponto (, f ( ) extremo da função e f ( é chamado máximo relativo (ou mínimo relativo) Exemplos: c é chamado ponto Os pontos de abscissa x, x, x3 e x4 são pontos extremos da função f representada pelo gráfico ao lado f x ) e f ( ) são máximos relativos ( x3 f x ) e f ( ) são mínimos relativos ( x4 4 A função f ( 3x x tem um máximo relativo em c 0, pois existe o intervalo (,) tal que f ( 0) f (, para todo x (,) Em c e c, a função tem mínimos relativos, pois 3, para todo (,0) f ( ) f ( x ( 0,) x, e f ( ) f (, para todo Teorema Seja f uma função definida no intervalo aberto (, e se f '( existe, então f '( 0 a, Se f tem um extremo relativo em c, onde a < c < b Demonstração: Suponhamos que f tenha um ponto de máximo relativo em c e que f '( existe Então, f ( f ( f ( f ( f ( f ( f '( lim lim lim x c + x c x c x c x c x c Como f tem um ponto de máximo relativo em c, se x estiver suficientemente próximo de c, temos f ( f (, ou seja, f ( f ( 0 89

8 Se x + c, temos x c > 0 e, assim, f ( f ( f ( f ( 0 Logo, f '( lim 0 (I) + x c x c x c Se x c, temos x c < 0 e, assim, f ( f ( f ( f ( 0 Logo, f '( lim 0 (II) x c x c x c De (I) e (II) concluímos que f '( 0 Se f tem um ponto de mínimo relativo em c, a demonstração é análoga Observações: - Geometricamente, se f tem um extremo relativo em c (a, e se f '( existe, então o gráfico de y f ( tem uma reta tangente horizontal no ponto onde x c - Se f '( 0, a função pode ter ou não um extremo relativo em c Por exemplo, se f ( 3 x temos f '(0) 0 e f não tem um extremo relativo em 0; se g ( x temos g '(0) 0 e g tem um extremo relativo em 0 3- Se f '( não existe, a função pode ter ou não um extremo relativo em c f '( não existe e f tem extremo relativo em c f '( não existe e f não tem extremo relativo em c 4- O ponto c D( f ) tal que f '( 0 ou f '( não existe é chamado ponto crítico de f 5- Dizemos que f ( é o máximo absoluto da função f se f ( f ( para todo x no domínio de f Dizemos que f ( é o mínimo absoluto da função f se f ( f ( para todo x no domínio de f Exemplos: A função f ( 3x definida em [,3) tem um mínimo absoluto igual a 3 e não admite máximo absoluto nesse intervalo A função f ( x + possui máximo absoluto igual a e mínimo absoluto igual a 7 quando definida em [ 3,] A função f ( x + 6x 3 tem mínimo absoluto igual a em c 3, pois f ( 3) f (, para todo x R A função f ( x + 6x 3 tem máximo absoluto igual a 6 em c 3, pois f ( 3) 6 f (, para todo x R Teorema (Weierstrass) f a, b Seja : [ ] R uma função contínua definida em um intervalo fechado [ b] absoluto e mínimo absoluto em [ a, b] a, Então f assume máximo Observação: Note que os candidatos a c M (abscissa do ponto de máximo absoluto) e c m (abscissa do ponto de mínimo absoluto) são os pontos críticos de f em ( a, juntamente com os extremos a e b do a, b intervalo [ ] 90

9 55- Teoremas sobre Derivadas Teorema de Rolle Seja f uma função contínua em [ a, b] e derivável em ( f ( a) f ( b, então existe c ( a, tal que '( 0 Se ) Demonstração: a, f Se f é constante em [ a, b] então f '( 0, para todo c ( a, Seja f não constante Como f é contínua em [ b] seu mínimo m em [ a, b] Se ambos fossem atingidos nas extremidades e sendo ( a) f ( M m e, assim, f seria constante Logo, f atingirá seu máximo M ou seu mínimo m em c ( a, f é derivável em ( a,, concluímos que f '( 0 a,, pelo teorema de Weierstrass, f atinge seu máximo M e f teríamos Como Teorema do Valor Médio Seja f uma função contínua em [ a, b] e derivável em ( Então existe c ( a, tal que f ( f ( a) f '( b a Demonstração: Sejam P ( a, f ( a) ) e Q( b, f ( ) A equação da reta que passa pelos pontos P e Q é dada por: y f ( a) f ( f ( a) ( x a) b a Fazendo y h( temos : h( f ( f ( a) ( x a) + b a f ( a) Como h ( é uma função polinomial, h ( é contínua e derivável em todos os pontos Consideremos a função g( f ( h( Esta função determina a distância vertical entre um ponto ( x, f ( ) do gráfico de f e o ponto correspondente na reta secante PQ f ( f ( a) Temos: g( f ( ( x a) f ( a) b a A função g ( satisfaz as hipóteses do Teorema de Rolle em [ a, b], pois: g ( é contínua em [ a, b] já que f ( e h( são contínuas em [ a, b] ; g ( é derivável em ( a, já que f ( e h( são deriváveis em ( a, ; g ( a) 0 g( Portanto, existe um ponto c ( a, tal que g '( 0 Como g '( f '( f ( f ( a), temos b a g '( f '( f ( f ( a) f ( f ( a) 0 Segue que f '( b a b a Observação: Geometricamente, o teorema do valor médio estabelece que se a função y f ( é contínua em [ a, b] e derivável em ( a,, então existe pelo menos um ponto c ( a, onde a tangente à curva é paralela à reta que passa pelos pontos P ( a, f ( a) ) e Q( b, f ( ) a, 9

10 553- Funções Crescentes e Decrescentes Definições: Dizemos que uma função f, definida em um intervalo I, é crescente neste intervalo se para quaisquer x x I, x < x, temos f ( x ) < f ( ), x Dizemos que uma função f, definida em um intervalo I, é decrescente neste intervalo se para quaisquer x x I, x < x, temos f ( x ) > f ( ), x Se uma função é crescente ou decrescente num intervalo, dizemos que é monótona neste intervalo f crescente f decrescente Proposição Seja f uma função contínua no intervalo [ a, b] e derivável no intervalo ( a) Se f '( > 0 para todo x ( a,, então f é crescente em [ a, b] Se f '( < 0 para todo x ( a,, então f é decrescente em [ a, b] Demonstração: Sejam x, x [ a, b] tais que x < x Então f é contínua em [ x, x ] e derivável em ( x, x ) Pelo teorema f ( x ) do valor médio, segue que existe c ( x, x ) tal que f '( x x a) Por hipótese, f '( > 0 para todo x ( a, Assim f '( > 0 e, como x < x, temos x x > 0 Concluímos que f x ) f ( x ) > 0, ou seja, f ( x ) > f ( ) a, b ( x a, Logo, f é crescente em [ ] Por hipótese, '( < 0 x a, b Então f '( < 0 e, como x < x, temos x x > 0 Concluímos que f x ) f ( x ) < 0, isto é, f ( x ) < f ( ) a, b f para todo ( ) Logo, f é decrescente em [ ] ( x Observação: A hipótese da continuidade de f no intervalo fechado [ a, b] é muito importante x +, para 0 x < Por exemplo, seja f : [ 0, ] R definida por f ( Temos que f '( > 0, para x para x ( 0, ) e, no entanto, f não é crescente em [ 0, ] A proposição não pode ser aplicada, pois f não é contínua em Exemplos: Determinar os intervalos nos quais as seguintes funções são crescentes ou decrescentes a) f ( x 3 + f ( x x + 5 f ( x 4, x, se se x x 9

11 554- Critérios para determinar os extremos de uma função Teorema (Critério da derivada primeira para determinação de extremos de uma função) Seja f uma função contínua em [ a, b] e derivável em ( a,, exceto possivelmente num ponto c a) Se f '( > 0 para todo x < c e f '( < 0 para todo x > c, então f tem um máximo relativo em c Se f '( < 0 para todo x < c e f '( > 0 para todo x > c, então f tem um mínimo relativo em c Demonstração: a) Podemos concluir que f é crescente em [ a, c] e decrescente em [ b] x c em ( a, e, assim, f tem um máximo relativo em c Concluímos que f é decrescente em [ a, c] e crescente em [ b] x c em ( a, e, portanto, f tem um mínimo relativo em c c, Portanto, f ( < f ( para todo c, Logo, f ( > f ( para todo Teorema (Critério da derivada segunda para determinação de extremos de uma função) Sejam f uma função derivável num intervalo ( a, e c um ponto crítico de f neste intervalo, isto é, f '( 0, com a < c < b Se f admite derivada segunda em ( a,, temos: a) Se f ''( < 0, f tem um máximo relativo em c Se f ''( > 0, f tem um mínimo relativo em c Demonstração: f '( f '( a) Temos que f ''( lim < 0 x c x c f '( f '( f '( que < 0 para todo x ( e, f ), x c, isto é, < 0 x c x c f '( 0 Sejam A ( e, e B ( c, f ) Se x A temos x c < 0 e resulta que f '( > 0 Se x B temos x c > 0 e resulta que f '( < 0 Pelo critério da derivada primeira, f tem máximo relativo em c A prova é análoga Logo, existe um intervalo aberto I ( e, f ) para todo x ( e, f ), contendo c, tal, x c, já que Exemplos: Encontre os intervalos de crescimento, decrescimento e os máximos e mínimos relativos de f aplicando o critério da derivada primeira 3 a) f ( x 7x + 6 f ( ( x ) ( x + 7), 3, se x 5 se x > 5 Encontre os máximos e os mínimos relativos de f aplicando o critério da derivada segunda a) f ( x( x ) 3 f ( 6x 3x + x 93

12 555- Concavidade e Pontos de Inflexão Definições: a,, se f '( é crescente neste intervalo Geometricamente, o gráfico de f está acima da reta tangente à curva nos pontos de abscissa no intervalo ( a, e a reta tangente à curva gira no sentido anti-horário à medida que avançamos sobre a curva da esquerda para a direita Uma função f é dita côncava para cima no intervalo ( a,, se f '( é decrescente neste intervalo Geometricamente, o gráfico de f está abaixo da reta tangente à curva nos pontos de abscissa no intervalo ( a, e a reta tangente à curva gira no sentido horário à medida que avançamos sobre a curva da esquerda para a direita Uma função f é dita côncava para baixo no intervalo ( Um ponto ( c, f ( ) intervalo ( a) f é côncava para cima em ( a, e côncava para baixo em ( f é côncava para baixo em ( a, e côncava para cima em ( P do gráfico de uma função contínua f é chamado ponto de inflexão, se existir um a, contendo c tal que uma das seguintes situações ocorra: c, ; c, Os pontos de abscissa c, c, c3 e c4 são pontos de inflexão Observe que c e c3 são abscissas de pontos extremos de f e que f não é derivável nestes pontos Nos pontos c e c4 existem as derivadas f ( c ) e f '( ) Nos pontos ( c f ( c )) e ( c, f ( )) a reta tangente corta o gráfico de f ' c4, 4 c4 94

13 Proposição Seja f uma função contínua no intervalo [ a, b] e derivável até ª ordem no intervalo ( a) Se f ''( > 0 para todo x ( a,, então f é côncava para cima em ( a, f ''( < para todo x ( a,, então f é côncava para baixo em ( Se 0 Demonstração: a) Como f ''( [ f '( ] ', se ''( > 0 ( a, Logo, f é côncava para cima em ( a, Se ''( < 0 baixo em ( a, f para todo x ( a, f para todo x ( a, temos que '( a, a, temos que f '( é crescente no intervalo f é decrescente em ( a, Assim, f é côncava para Exemplos: Determinar os pontos de inflexão e reconhecer os intervalos onde as funções têm concavidade voltada para cima ou para baixo a) f ( ( x ) 3 f 4 ( x x f ( x, ( x ), se x se x > 95

14 556- Esboço de Gráficos Utilizando todos os itens citados na análise do comportamento de uma função f, bem como, a existência ou não de assíntotas horizontais e verticais, podemos fazer um resumo de atividades que nos levarão ao esboço de gráficos ETAPAS PROCEDIMENTO DEFINIÇÕES E TEOREMAS UTILIZADOS ª Encontrar D(f) ª Calcular os pontos de interseção com os eixos, quando não requer muito trabalho 3ª Encontrar os pontos críticos de f O ponto c D(f) tal que f ( 0 ou f ( não existe é chamado ponto crítico de f 4ª Determinar os intervalos de crescimento e decrescimento de f 5ª Encontrar os máximos e mínimos relativos 6ª Determinar a concavidade e os pontos de inflexão de f 7ª Encontrar as assíntotas horizontais e verticais, se existirem Seja f uma função contínua no intervalo [a, b] e derivável no intervalo (a, a) Se f ( > 0 para todo x (a,, então f é crescente em [a, b] Se f ( < 0 para todo x (a,, então f é decrescente em [a, b] Critério da derivada primeira para determinação de extremos: Seja f uma função contínua no intervalo [a, b] e derivável no intervalo (a,, exceto possivelmente num ponto c a) Se f ( > 0 para todo x < c e f ( < 0 para todo x > c, então f tem um máximo relativo em c Se f ( < 0 para todo x < c e f ( > 0 para todo x > c, então f tem um mínimo relativo em c ou Critério da derivada segunda para determinação de extremos: Sejam f uma função derivável no intervalo (a, e c um ponto crítico de f neste intervalo, isto é, f ( 0, com a < c < b Se f admite a derivada f em (a,, temos: a) Se f ( < 0, f tem máximo relativo em c Se f ( > 0, f tem mínimo relativo em c O ponto do gráfico de f no qual a concavidade muda de sentido é chamado ponto de inflexão Seja f uma função contínua no intervalo [a, b] e derivável até ª ordem no intervalo (a, a) Se f ( > 0 para todo x (a,, então f é côncava para cima em (a, Se f ( < 0 para todo x (a,, então f é côncava para baixo em (a, A reta x a é uma assíntota vertical do gráfico de f se pelo menos uma das seguintes afirmações for verdadeira: a) lim f ( + lim f ( + + x a lim f ( + x a x a d) lim f ( x a 8ª Esboçar o gráfico A reta y b é uma assíntota horizontal do gráfico de f se pelo menos uma das seguintes afirmações for verdadeira: a) lim f ( b lim f ( b x + x 96

15 Exemplos: Esboçar o gráfico das seguintes funções: 4 3 a) f ( 3x 8x + 6x + 97

16 x f ( x 3 98

17 ( ) 3 f ( x Exercícios Páginas 5, 6, 7 e 8 do livro texto (números ao 5) 99

18 57- Problemas de Maximização e Minimização O primeiro passo para solucionar estes problemas é escrever precisamente qual a função que deverá ser analisada Esta função poderá ser escrita em função de uma ou mais variáveis Quando a função é de mais de uma variável devemos procurar expressar uma das variáveis em função da outra Com a função bem definida, devemos identificar um intervalo apropriado e proceder a rotina matemática aplicando definições e teoremas Exemplos: Um galpão deve ser construído tendo uma área retangular de 00 m A prefeitura exige que exista um espaço livre de 5 m na frente, 0 m atrás e m em cada lado Encontre as dimensões do lote que tenha área mínima na qual possa ser construído este galpão Uma rede de água potável ligará uma central de abastecimento situada à margem de um rio de 500 m de largura a um conjunto habitacional situado na outra margem do rio, 000 m abaixo da central O custo da obra através do rio é de R$640,00 por metro, enquanto, em terra, custa R$3,00por metro Qual é a forma mais econômica de se instalar a rede de água potável? 00

19 3 Um fio de comprimento l é cortado em dois pedaços Com um deles se fará um círculo e com o outro um quadrado a) Como devemos cortar o fio a fim de que a soma das duas áreas compreendidas pelas figuras seja mínima? Como devemos cortar o fio a fim de que a soma das áreas compreendidas seja máxima? 4 Uma caixa sem tampa, de base quadrada, deve ser construída de forma que o seu volume seja 500 m 3 O material da base vai custar R$00,00 por m e o material dos lados R$980,00 por m Encontre as dimensões da caixa de modo que o custo do material seja mínimo 58- Exercícios Páginas 4, 5 e 6 do livro texto 0

20 59- Regras de L Hospital As Regras de L Hospital apresentam um método geral para levantar indeterminações do tipo 0 0 ou Teorema (Regras de L Hospital) Sejam f e g funções deriváveis num intervalo aberto I, exceto possivelmente em um ponto Suponhamos que g '( 0 para todo x a em I f '( f ( f '( a) Se lim f ( lim g( 0 e lim L então lim lim x a x a x a g '( x a g( x a g '( L f '( f ( f '( Se lim f ( lim g( e lim L então lim lim x a x a x a g '( x a g( x a g '( L a I Observações: f '( - Se lim f ( lim g( 0 ou lim f ( lim g( e lim x a x a x a x a x a g '( f ( f '( continua valendo, isto é, lim lim x a g( x a g '(, a Regra de L Hospital - A Regra de L Hospital também é válida para os limites laterais e para limites no infinito ( ± ) x Exemplos: Determinar os seguintes limites usando a Regra de L Hospital x a) lim x 0 x e x + x lim x x 3x + 6 senx x lim x 0 x x e + e d) e x lim x + x 3 + 4x 0

21 e) ( ) x lim 3x + 9 x + f) lim + x x sen x g) lim x 0 x + x cos x h) lim ( x + x + x 0 i) lim + x + x x 50- Exercícios Páginas 3 e 33 do livro texto 03

22 5- Fórmula de Taylor A Fórmula de Taylor consiste num método de aproximação de uma função por um polinômio, com erro possível de ser estimado Definição Seja f : I R uma função que admite derivadas até ordem n num ponto c do intervalo I O polinômio de Taylor de ordem n de f no ponto c, que denotamos por (, é dado por: ( n) f ''( f ( n Pn ( f ( + f '( ( x + ( x + + ( x! n! Dado o polinômio de Taylor de grau n de uma função f (, denotamos por R n ( a diferença entre f ( e P (, isto é, R ( f ( P ( n n n ( n) f ''( f ( n Assim, f ( Pn ( + Rn ( f ( + f '( ( x + ( x + + ( x + Rn (! n! Para os valores de x nos quais R n ( é pequeno, o polinômio P n ( dá uma boa aproximação de f ( Por isso R n ( chama-se resto P n Teorema (Fórmula de Taylor) f a, b Seja : [ ] R uma função definida no intervalo [ a, b] ( n) Suponhamos que as derivadas f ', f '',, f existam e sejam contínuas em [ b] ( a, Seja c um ponto qualquer fixado em [ a, b] Então para cada x [ a b], x c a, e que ( n + ) f exista em,, existe um ponto z entre c e x tal que f ( f ( + f '( ( x + ( n) ( n + ) f ''( f ( n f ( z) ( x + + ( x + ( x! n! ( n + )! Observação: Quando c 0, a Fórmula de Taylor recebe o nome de Fórmula de Mac-Laurin e se expressa como f ( f (0) + f '(0) x + ( n) ( n + ) f ''(0) f (0) n f ( z) n + x + + x + x! n! ( n + )! Demonstração: Faremos a demonstração supondo x > c Para x < c, o procedimento é análogo Sejam P n (t) o polinômio de Taylor de grau n de f no ponto c e R n (t) o resto correspondente Então, f ( t) Pn ( t) + Rn ( t), para qualquer t [ a, b] No ponto x temos: ( n) f ''( f ( n f ( f ( + f '( ( x + ( x + + ( x + Rn (! n! ( n + ) f ( z) n + Devemos mostrar que R n( ( x, onde z é um número entre c e x ( n + )! n + 04

23 Seja g [ c, x] R g : a função definida por f ''( t) f ( t) ( x t)! n! ( x c, x Além disso, temos que g ( 0 g( Pelo z c, x tal que g '( z) ( n) n + n ( t) f ( f ( t) f '( t)( x t) ( x t) ( x t) Rn ( n + Temos que g é contínua em [ x] Teorema de Rolle em [ x] Derivando a função g obtemos c, e derivável em ( ) c, existe ( ) 0 f ( z) ( n + )! ( n + ) n + R n( ( x Observação: ( n + ) f ( z) n + Na Fórmula de Taylor apresentada, o resto R n( ( x Essa forma para o resto é ( n + )! chamada Forma de Lagrange do Resto e a Fórmula de Taylor é chamada Fórmula de Taylor com Resto de Lagrange Exemplos: Determinar os polinômios de Taylor de grau e de grau 4 da função f ( cos x no ponto c 0 Esboçar o gráfico de f e dos polinômios encontrados Usando o polinômio P 4( x ) para determinar um valor aproximado para cos π, o que se pode afirmar 6 sobre o erro cometido? 05

24 Determinar o polinômio de Taylor de grau 6 da função polinômio para determinar um valor aproximado para π sen 3 f ( senx no ponto c Fazer uma estimativa para o erro π Usar este 4 06

25 Usando a Fórmula de Taylor, pode-se demonstrar a seguinte proposição que nos dá mais um critério para determinação de máximos e mínimos de uma função Proposição Seja f : ( a, ( n) R uma função derivável n vezes e cujas derivadas f ', f '',, f são contínuas em ( a, Seja c ( a, um ponto crítico de f tal que f '( f ''( ( n ) f ( 0 e ( n) f ( 0 Então, a) se n é par e ( ) f n ( < 0, f tem máximo relativo em c; ( ) se n é par e f n ( > 0, f tem mínimo relativo em c; se n é ímpar, ( c, f ( ) é ponto de inflexão Exemplos: Determinar os extremos da função 6 f ( ( x ) Pesquisar máximos e mínimos da função f ( x 5 3 x 5- Exercícios Página 39 do livro texto 07