Taxas Relacionadas. Começaremos nossa discussão com um exemplo que descreve uma situação real.

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1 6/0/008 Fatec/Tatuí Calculo II - Taxas Relacionadas 1 Taxas Relacionadas Um problema envolvendo taxas de variação de variáveis relacionadas é chamado de problema de taxas relacionadas. Os passos a seguir representam um procedimento possível para resolver problemas envolvendo taxas relacionadas. 1 Faça uma figura, se isso for possível; Defina as variáveis. Em geral defina primeiro t, pois as outras variáveis usualmente dependem de t. Escreva todos os fatos numéricos conhecidos sobre as variáveis e suas derivadas em relação à t. 4 Obtenha uma equação envolvendo as variáveis que dependem de t. 5 Derive em relação a t ambos os membros da equação encontrada na etapa 4. 6 Substitua os valores de quantidades conhecidas na equação da etapa 5 e resolva em termos da quantidade desejada. Exemplos: Começaremos nossa discussão com um exemplo que descreve uma situação real. 1) Uma escada com 5 unidades de comprimento está apoiada numa parede vertical. Se o pé da escada for puxado horizontalmente, afastando-se da parede a unidades de comprimento por segundo, qual a velocidade com que a escada está deslizando, quando seu pé esta a 15 unidades de comprimento da parede? Resolução: - Definição das variáveis: t tempo decorrido desde que a escala começou a deslizar pela parede em segundos. y distância do chão ao topo da escada. x distância do pé da escada ate a parede. - Figura (desenho esquemático) y 5 x - Fatos numéricos conhecidos:? quando x 15 - Equação envolvendo as variáveis que dependem de t: Pelo teorema de Pitágoras temos: y + x 5 y 65 x

2 6/0/008 Fatec/Tatuí Calculo II - Taxas Relacionadas - Derivando em relação a t: y 65 x y 0 x x y x y - Substituindo os valores de quantidades conhecidas: Devemos encontrar y para x 15, substituindo na equação: y 65 x y y ± 400 ±0 portanto: y 0 y0 15 9,5 0 4 Logo o topo da escada esta deslizando a uma taxa de,5 unidades de comprimento por segundo. O sinal negativo significa que y é decrescente, quanto t cresce. ) Um tanque tem a forma de um cone invertido com 16m de altura e uma base com 4m de raio. A água flui no tanque a uma taxa de m min. Com que velocidade o nível da água estará se elevando quando sua profundidade for de 5m? 4m r m 16 m h m - Definição das variáveis: t tempo em (min) com que a água flui no tanque. V volume em m de água. h nível em (m) com que a água esta se elevando no tanque. r raio em (m) do nível da água no tanque.

3 6/0/008 Fatec/Tatuí Calculo II - Taxas Relacionadas - Fatos numéricos conhecidos: dv m min dh? m quando m min h 5 h 16m para r 4m h h 4r r 4 π V r h π h π V h h 4 16 V π h 16 dv π dh π h dh h dh 16 dv π h 6- Substituindo os valores de quantidades conhecidas: dh h5 dh 16 dv 16 m min 5 π h π 5 5 π dz 0,407 m min 5 ) Dois carros estão se encaminhando em direção a um cruzamento, um seguindo a direção leste a uma velocidade de 90km/h e o outro seguindo a direção sul, a 60km/h. Qual a taxa segundo a qual eles se aproximam um do outro no instante em que o primeiro carro está 0,km do cruzamento e o segundo a 0,15km? Resolução: z (km) direção sul y (km) x (km) P direção leste

4 6/0/008 Fatec/Tatuí Calculo II - Taxas Relacionadas 4 - Definição das variáveis: t tempo em (h) desde que os carros começaram a se aproximar. x distância em (km) do primeiro carro em relação a P (direção leste). y distância em (km) do segundo carro em relação a P (direção sul). z distância em (km) entre os dois carros. - Fatos numéricos conhecidos: 90 km h x 0, km 60 km h x 0, 15km dz (?) km h z (?) km Pelo teorema de Pitágoras temos: z x + y dz z x + y dz z x x + dz z y + y 6- Substituindo os valores de quantidades conhecidas: Devemos encontrar z, substituindo na equação: z x + y z x + y x dz 0,5 + z dz 108 km h 0,5 0, + 0,15 y dz z0,5 0,065 0,5 0, ( 90) + 0,15 ( 60) 0,5 4) Um avião voa a 15,4m/s paralelamente ao solo, a uma altitude de 1.0m no sentido oeste, tomando como referência um holofote fixado no solo que o focaliza e que se encontra à esquerda da projeção vertical do avião em relação ao solo. Sabendo-se que a luz do holofote deverá permanecer iluminando o avião, qual deverá ser a velocidade angular (de giro) do holofote, no instante em que a distância horizontal entre ele e a projeção vertical do avião for de 610m?

5 6/0/008 Fatec/Tatuí Calculo II - Taxas Relacionadas 5 Direção oeste P (avião) y 10m holofote θ x 610m - Definição das variáveis: t tempo em (s) com que o avião se desloca na direção oeste. θ ângulo de elevação (em radianos) do feixe luminoso emitido pelo holofote em relação ao solo. x distância em (m) medida horizontalmente entre o holofote e a projeção vertical do avião em relação ao solo. y distância em (m) medida verticalmente entre o holofote e a projeção vertical do avião no solo. - Fatos numéricos conhecidos: 15,4 m x 610m s dθ (?) radianos θ (?)radianos s y 10m y 10 tgθ tgθ x x sec θ 1+ tg θ ' 10 ( tgθ )' x dθ sec θ 10 x dθ 10 x sec θ 6- Substituindo os valores das grandezas conhecidas temos: tg θ tgθ x 610 sec θ sec θ 5 dθ ( 15,4) x sec θ dθ 1 rad / s 10

6 6/0/008 Fatec/Tatuí Calculo II - Taxas Relacionadas 6 5) Um tanque cúbico horizontal tem aresta medindo m, e a vazão de água é constante, valendo 0,5m /s. Determine a velocidade de subida do nível da água. - Definição das variáveis: t tempo em (s) com que a água esta sendo vazada no tanque. h altura em (m) do tanque cúbico (aresta vertical). V volume do tanque cúbico. - Fatos numéricos conhecidos: dv m 0,5 V A h h s b dh (?) m h m s V 4 h dv dh 4 dh 1 dv 4 6- Substituindo os valores das grandezas conhecidas temos: dh 1 0,5 0,5 0,15 m 4 4 s 6) Uma pipa esta voando a uma altura de 40m. Uma criança esta empinando-a de tal forma que ela se mova horizontalmente, a uma velocidade de m/s. Se a linha estiver esticada, com que velocidade a linha estará sendo dada, quando o comprimento da linha desenrolada for de 50m? P z y x - Definição das variáveis: t tempo em (s) com que a criança empina a pipa x distância em (m) medida horizontalmente entre a criança e a projeção vertical da pipa no solo. y distância em (m) medida verticalmente entre a pipa e o solo. z distância em (m) medida entre a pipa e a criança.

7 6/0/008 Fatec/Tatuí Calculo II - Taxas Relacionadas 7 - Fatos numéricos conhecidos: m s x (?) m 0 m s y 40m dz m (?) s z 50m Pelo teorema de Pitágoras temos: z x + y dz z x + y x + y dz z 6- Substituindo os valores de quantidades conhecidas: Devemos encontrar z, substituindo na equação: z x + y x z y x dz z50 dz dz 9 m 5 s ) Um balão esférico está sendo inflado de tal forma que seu volume aumente a uma taxa de 5m /min. Qual a taxa de crescimento do diâmetro quando ele mede 1m? d - Definição das variáveis: t tempo (em min.) com que o balão esta sendo inflado. d diâmetro (em m) do balão esférico. V volume (em m ) do balão esférico. - Fatos numéricos conhecidos: d d (?) m min. d 1 m dv e 5 m min. V e (?) m

8 6/0/008 Fatec/Tatuí Calculo II - Taxas Relacionadas d 4 d π V e π r π π d 8 6 d d r r V e π 6 d dv e π dd π dd d d 6 dd 1 dve π d 6- Substituindo os valores de quantidades conhecidas: dd d 1 dd 1 dve π d π 1 144π 7 dd 5 m 0,0 m 7 min. min. π π m min. 8) Uma bola de neve está se formando de tal modo que seu volume cresça a uma taxa de 8cm /min. Ache a taxa segundo a qual o raio esta crescendo quando a bola de neve tiver 4cm de diâmetro. d - Definição das variáveis: t tempo (em min.) com que a bola de neve esta se formando. r raio (em cm) com que a bola de neve esta crescendo. V volume (em cm ) da bola de neve que esta se formando. - Fatos numéricos conhecidos: d r (?) cm 4 min. r cm dv e 8 cm V cm min. e (?) 4 V e π r 4 V e π r

9 6/0/008 Fatec/Tatuí Calculo II - Taxas Relacionadas 9 dv e 4 π dr dr r 4π r dv e dr 4 π r dr 1 dve 4π r 6- Substituindo os valores de quantidades conhecidas: dr r dr π 4π 4 16π π dr 1 cm π min. 9) Suponha que quando o diâmetro da bola de neve do exercício anterior (exercício 8) for de 6cm, ela pare de crescer e comece a derreter a uma taxa de 1/4cm /min. Ache a taxa segundo a qual o raio estará variando, quando o raio for de cm. dr 1 cm 64π min. 10) Uma certa quantidade de areia é despejada a uma taxa de 10m /min, formando um monte cônico. Se a altura do monte for sempre o dobro do raio da base, com que taxa a altura estará crescendo quando o monte tiver 8m de altura? dh 5 m 8π min. 11) Suponha que um tumor no corpo de uma pessoa tenha a forma esférica. Se, quando o raio do tumor for 0,5cm, o raio estiver crescendo a uma taxa de 0,001cm por dia, qual será a taxa de aumento do volume do tumor naquele instante? dv 0,001π cm dia 1) Suponha que um tumor no corpo de uma pessoa tenha a forma esférica. Se, quando o raio do tumor for 0,5cm, o raio estiver crescendo a uma taxa de 0,001cm por dia, qual será a taxa de crescimento da sua área? da 0,004π cm dia 1) Uma pedra é jogada em um lago, provocando uma onde circular de raio r, o qual varia com o tempo a uma taxa constante de cm/s. Calcule a taxa de variação, com o tempo, da área do circulo limitado pela onda, no instante em que o raio vale 0cm. {PB e9.6} da π 0 10π cm s

10 6/0/008 Fatec/Tatuí Calculo II - Taxas Relacionadas 10 14) Um balão esférico, que esta sendo inflado, mantém sua forma esférica. Seu raio aumenta a uma taxa constante de 0,05m/s. Calcule a taxa da variação do seu volume, no instante em que seu raio vale m. dv 0,8π m s 15) Um cubo de metal, que esta sendo aquecido, mantém sua forma. Uma aresta aumenta a uma taxa que, no instante t 0, vale 0,05cm/s, instante no qual a aresta mede 10cm. Calcule a taxa de expansão do volume do cubo no instante t 0. dv 15 cm s 16) Uma moeda que esta sendo aquecida, mantém sua forma. Calcule o quociente entre a taxa de variação com o tempo da área de uma face e a taxa de variação com o tempo do diâmetro, num instante em que o diâmetro mede 1cm. da π cm dd 17) Uma escada, de comprimento m, desliza no chão, mantendo-se apoiada em uma parede. Em um determinado instante, sua base dista 0,6m da parede e se afasta da mesma à razão de 0,m/s. Calcule a velocidade com que seu topo desliza parede abaixo, no instante em questão. 0,094m / s 18) Uma escada, 6m de comprimento, apóia-se durante seu movimento, no chão e na parede vertical. Em um instante t 0, o seu topo dista,6m do chão, e a sua base afasta-se da parede vertical à taxa de 1m/s. Calcule a velocidade escalar do topo no instante t 0. 4 m / s