Universidade Federal de Viçosa

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1 Universidade Federal de Viçosa Centro de Ciências Eatas Departamento de Matemática 3 a Lista - MAT Cálculo I 2017/I 1. Sejam f, g e h funções deriváveis. Determine [f()g()h()] e [ ] f()g(). h() 2. Utilizando as regras de derivação, encontre a derivada de cada um das funções abaio. a) f() = cos() + sen() 3 b) f() = 2 c) f() = 2 ln() + ln() d) f() = 3 sen() + 10 cos() e) f() = tg() + cot() f) f() = cos(40) g) f() = 2 cos() h) f() = sen() + cos() i) f() = 4 sec() 2 csc() j) f() = 2 sen() + 2 cos() k) f() = sen() tg() l) f() = sen() cos() sec() m) f() = 2 cos() + 1 n) f() = cos() o) f() = tg() cos() 4 p) f() = 1 + sen() 1 sen() q) f() = sen() 1 cos() Determine f (a) em cada um dos itens abaio. a) f() = cos(); a = 0. b) f() = sen()(cos() 1); a = π. 4. Sabemos que, para > 0, log a = ln(), com a > 0 e a 1. Utilizando a mudança de base ln(a) apresentada, determine a derivada de cada um das funções abaio. a) f() = log 2 (). b) f() = log 2() log 4 (). 5. Derive cada um das funções abaio. a) f() = (2 + 1) 2 b) f() = ( ) 4 c) f() = ( ) e d) f() = ( 2 + 4) 2 e) f() = sen(3) f) f() = cos(6) g) f() = tg(10) h) f() = sec(6) i) f() = csc(3) j) f() = cot(10) 1

2 k) f() = sen( 2 ) l) f() = cos( 2 ) m) f() = cos( ) n) f() = o) f() = p) f() = 3 2 q) f() = sen( 2 ) r) f() = cos(3 + 2) s) f() = e 2 t) f() = e u) f() = ln( 2 + 2) v) f() = tg(3) w) f() = e sen() ) f() = tg(ln()) y) f() = ln(tg()) 6. Determine dy d a) 2 + y 2 = 16 b) 3 + y 3 = 8y em cada um dos casos abaio. c) y = 1 d) + y = 4 e) 2 y 2 = 2 + y 2 f) y = 4y 2 g) 2 3 y + 3y 3 = 5 7. Ache uma equação da reta tangente à curva y 4 = 32 no ponto (1, 2). 8. Para cada função abaio, determine f n (), onde a) f() = , n = 2. b) f() = , n = 3. c) f() = ( ) 2 1, n = Seja y = 3 + dy. Calcule d. =1 d) f() = sen(), n = 2. e) f() = cos(), n = 3. f) f() = sen(2), n = 50. g) f() = 1, n = Seja f : R R derivável e seja g(t) = f(t 2 + 1). Supondo f (2) = 5, calcule g (1). 11. Ache os pontos críticos das seguintes funções. a) f() = b) f() = c) g() = d) f(t) = (t 2 4) 2 3 e) h() = f) f() = 2 9 g) f() = sen 2 (3) h) g(t) = sen(2t) cos(2t) i) f() = tg 2 (4) j) g() = ( 2) 3 ( + 1) Determine os valores de máimos e mínimos, caso eistam, da função dada, no intervalo indicado. a) f() = em [ 2, 3]. b) g() = em [ 2, 1]. 13. Estude a função dada com relação a máimos e mínimos locais e globais. 2

3 a) f() = b) f() = Determine os intervalos de crescimento e de decrescimento das funções abaio. a) f() = b) f() = c) f() = Sejam f() = e g() = 3 2. a) Ache os etremos relativos de cada função, pelo teste da derivada primeira. b) Determine os valores de nos quais os etremos relativos ocorrem. c) Determine os intervalos nos quais f é crescente e os intervalos nos quais f é decrescente. 16. Sejam f() = e g() = Encontre os pontos de infleão do gráfico da função f e g, se eistirem. Determine onde o gráfico é côncavo para cima e onde ele é côncavo para baio. 17. Estude a função dada com relação á concavidade e pontos de infleão. a) f() = b) f() = c) f() = e 2 d) (t) = t t 18. Ache os máimos e mínimos relativos da função dada usando o teste da derivada segunda, quando aplicável. Quando ele não for aplicável, use o teste da derivada primeira. Use a derivada segunda para encontrar os pontos de infleão do gráfico da função e determine onde o gráfico é côncavo para cima e onde é para baio. a) f() = b) f() = c) f() = Ache os máimos e mínimos relativos das funções dadas, pelo teste da derivada segunda. a) f() = b) g() = Faça o esboço do gráfico das funções abaio. a) f() = b) f() = + 1 c) f() = d) f() = e) f() = ( 2) 2 f) f() = 2 4 g) f() = e 2 3

4 h) f() = Uma escada de 6m de comprimento está apoiada em uma parede vertical. Se a base da escada começa a deslizar horizontalmente, à razão de 0, 6m/s, com que velocidade o topo da escada percorre a parede, quando está a 4m do solo? 22. Dois carros, um dirigindo-se para o leste à taa de 72km/h e o outro para o sul à taa de 54km/h estão viajando em direção ao cruzamento de duas rodovias. A que taa os carros se aproimam um do outro, no instante em que o primeiro estiver a 400m e o segundo estiver a 300m do cruzamento? 23. Um tanque tem a forma de um cone circular reto invertido, com 4m de altura e 2m de raio da base. Se a água entra no tanque à razão de 0, 001m 3 /min, calcule a razão na qual o nível da água está subindo quando a profundidade é de 1m. 24. Ao ser aquecida uma chapa circular de metal, seu diâmetro varia à razão de 0, 01cm/min. Determine a taa à qual a área de uma das faces varia quando o diâmetro está em 30cm. 25. Um incêndio em um campo aberto se alastra em forma de círculo. O raio do círculo aumenta à razão de 1m/min. Determine a taa à qual a área incendiada está aumentando quando o raio é de 20m. 26. Uma luz está no alto de um poste de 5m. Um menino de 1, 6m se afasta do poste à razão 1, 2m/s. A que taa aumenta o comprimento de sua sombra quando ele está a 6m do poste? A que taa se move a ponta de sua sombra? 27. A areia que vaza de um depósito forma uma pilha cônica cuja altura é sempre igual ao raio. Se a altura da pilha aumenta à razão de 15cm/min, determine a taa à qual a areia está escoando quando a altura da pilha é 25cm. 28. Suponha que uma bola de neve esférica é formada de tal maneira que seu volume aumenta à taa de 8dm 3 /min. Determine a taa a qual o raio é aumentado quando a bola de neve tem 4dm de diâmetro. 29. As etremidades de um cocho horizontal de 8 m de comprimento são trapézios isósceles de bases de 2m e 1m. A altura do cocho é de 0, 6m. Se o nível da água está subindo à razão de 0, 1cm/min, quando a profundidade da água é de 0, 3m, com que velocidade a água está entrando no cocho? 30. Às 8h o navio A está 25km ao sul do navio B. Se o navio A está navegando para o oeste à 16km/h e o navio B está navegando para o sul a 20km/h então determine a razão em que a distância entre os navios está variando às 8h30min. 31. Um farol giratório completa uma volta a cada 15 segundos. O farol está a 60m de P, o ponto mais próimo em uma praia retilínea. Determine a razão em que um raio de luz do farol está se movendo ao longo da praia em um ponto, Q, a 150m de P. 32. Suponha que uma bola de neve esteja se derretendo, com raio decrescendo à razão constante, passando de 30cm para 20cm em 45 minutos. Qual a variação do volume quando o raio está com 25cm? 33. Uma pessoa que solta um papagaio segura a corda a 1, 5m do solo. A corda é liberada à razão de 0, 6m/s na medida em que o papagaio se move horizontalmente a uma altura de 33, 5m. Supondo que a corda fique sempre esticada, determine a taa à qual o papagaio está se movendo no instante em que foram liberados 38m de corda. 34. Um balão de ar quente sobe verticalmente à medida que uma corda, amarrada à sua base, é liberada à razão de 1m/min. O carretel que libera a corda está a 6, 5m da plataforma de embarque dos passageiros. A que taa o balão está subindo quando tiverem sido liberados 150m de corda? 4

5 35. Da beira de um rochedo 60m acima de um lago um menino deia cair um pedra e, depois de 2s deia cair outra pedra da mesma posição. Discuta a taa na qual a distância entre as pedras varia durante o próimo segundo (Admita que a distância percorrida em t segundos por um objeto em queda livre é 4, 9t 2 m). 36. Um míssil é lançado verticalmente para cima de um ponto que está a 8km de uma estação de rastreamento, e à mesma altura desta. Durante os primeiros 20 segundo de voo, seu ângulo de elevação varia à razão constante de π rads/s. Determine a velocidade do míssil quando o ângulo de 90 elevação for π 6 rads. 37. Um meliante foge sobre uma muralha reta a uma velocidade de 4m/s. Um holofote localizado a 20m de distância da muralha, e mesma altura que esta, focaliza o homem em fuga. A que taa o holofote está girando quando o meliante se encontra a 15m do ponto da muralha que está mais próimo do holofote? 5