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1 As listas de eercícios podem ser encontradas nos seguintes endereços: ou na pasta J8, no ero (sala06) TERCEIRA LISTA DE EXERCÍCIOS. Derive: a) y = 6 + b) y = c) d) y = + y = 0 6. Calcule lim h 0 ( + h) h 6 6. cos h. Calcule o lim. h 0 h 000. Calcule lim 000. Como esse limite se relaciona com uma derivada?. Determine a equação da reta tangente ao gráfico de y =, no ponto de abscissa = Determine a equação da reta r tangente ao gráfico de y = + + e que é paralela à reta de equação y = +.. Determine as tangentes horizontais ao gráfico de y = Mostre que a reta de equação y = é tangente à curva de equação y = Encontre o ponto de tangência. ) a) 8 60 = +. b) =. c) = +. d) =. ) 6. ) 0. ) Esse limite é igual a 6) y = +. ) = = 000. ) y =. 8 y = em = e y = em =. 8) (, ).

2 a se <. Considere a função dada por f ( ) = se =. + b + c se > a) Encontre uma relação entre a, b e c para que f seja contínua em =. b) Determine os valores de a, b e c para que f seja derivável em =. 0. Derive: a) y = e + b) y =. cos c) y = sen ( ln ( ) ). Qual é o domínio dessa função? Qual é o domínio da derivada y? d) y = ( + ) e) e + y = ( + + ) f) y = ( + ) ( + + ) g) y = e h) y = ln( ) tg( ln( sen ) ) ln i) y = e j) y = e k ) y = ln(cos). Mostre que h(t) = t não é derivável em t =. π π. Determine a equação da reta tangente ao gráfico de y = sen( ) + cos( ) no ponto de abscissa =. + h( ). Seja f ( ) =. Se h é derivável, h() = e h () = 0, calcule f ().. Suponha que h() seja uma função derivável e que f() = h( ). Determine f ().. Em cada caso, verifique se a derivada eiste. Em caso afirmativo escreva a epressão de f (). se 0 se 0 a) f ( ) = b) f ( ) = 0 se = 0 0 se = 0 ) a ) a = ; b + c =. b ) a = ; b = ; c =. + sen cos( ln( ) ) 0) a) = e. b ) = = sec tg. c) =, para <0. cos d) 6 = ( + ) ( 0 + ). e) e + 6 = f) = ( )( + ) ( + + ) + ( 0 + )( + + )( + ). g) = ( ) e. h) =. i ) ( ) ( ) tg( ln( sen ) ) = cot g sec ( ln sen ) e j) =. k) = tg. ) π π y =. ) 6. ) f () = h ( ). ) a ) f ( ) = sen cos se 0. A derivada não eiste em = 0. b ) f ( ) = cos se 0 e f ( 0 ) = 0.

3 6. Um avião, à velocidade constante de 00 km/h, voa horizontalmente a uma altitude de.000 metros e passa diretamente sobre uma estação de radar. Encontre a taa segundo a qual a distância do avião até a estação está crescendo quando ele está a.000 metros da estação.. Uma luz situa-se no topo de um poste de m. Um homem com,80 m de altura afasta-se desse poste com uma velocidade de m/s. Quando o homem estiver a 0 m do poste, determine: a) a taa de variação do comprimento de sua sombra. b) a velocidade do topo de sua sombra. 8. Dois carros partem de um mesmo ponto. Um viaja para o sul a 60 km/h, e o outro para oeste a km/h. A que taa está aumentando a distância entre os carros duas horas depois da partida?. A altura de um triângulo cresce a uma taa de cm/min, enquanto sua área cresce a uma taa de cm /min. A que taa estará variando a base desse triângulo quando sua altura for 0 cm e sua área 00 cm? 0. Ao meio-dia, um navio A está 00 km a oeste do navio B. O navio A está navegando para o sul a km/h, e o navio B está indo para o norte a km/h. Quão rápido estará variando a distância entre eles às horas da tarde?. O volume de um cubo está aumentando à taa de cm por segundo. Com que taa estará variando a área de uma de suas faces quando sua aresta tiver 0 cm?. Uma partícula está se movendo ao longo do gráfico da função f ( ) =. Quando a partícula passa pelo ponto (, ), sua coordenada está crescendo a taa de cm/s. Quão rápido está variando a distância dessa partícula à origem, nesse instante?. Um papagaio (pipa) a 00 metros acima do solo move-se horizontalmente a uma velocidade de metros por segundo. A que taa estará decrescendo o ângulo entre a linha e a horizontal depois de terem sido soltos 00 metros de linha?. Dois lados de um triângulo medem m e m, e o ângulo entre eles está crescendo a uma taa de 0,06 radianos por segundo. a) Encontre a taa segundo a qual estará variando o comprimento do terceiro lado desse triângulo quando o ângulo entre os lados de comprimento fio for π /. b) Encontre a taa segundo a qual a área desse triângulo estará crescendo quando o ângulo entre os lados de comprimento fio for π /.. Um farol está localizado em uma ilha, e a distância entre ele e o ponto mais próimo P em uma praia reta no continente é de km. Sua luz faz quatro revoluções por minuto. Quão rápido estará se movendo o feie de luz ao longo da praia quando ele estiver a km do ponto P? 6) 0 km/h. ) a ) m/s; b ) m/s. 8) 6 km/h. ) -,6 cm/min. 0) ) a ) 0 km/h. ) cm /s. ) 0,6 m/s; b ) 0, m /s. ) π cm/s. ) R ) rad/s km/min.

4 6. Um velocista corre em uma pista circular de raio 00 m, a uma velocidade constante de m/s. Seu amigo está em pé a uma distância de 00 m do centro da pista. Quão rápido estará variando a distância entre eles quando a distância entre eles for de 00 m?. Encontre os pontos P e Q, sobre a parábola y =, de forma que o triângulo ABC formado pelo eio e pelas retas tangentes a parábola em P e Q seja eqüilátero. 8. A figura mostra um círculo de raio inscrito na parábola de equação y =. Determine as coordenadas do centro desse círculo. 6) m/s. ) P =, e Q =,. 8) 0,.

5 . A figura mostra uma roda giratória de 0 cm de raio e uma barra de coneão AP de comprimento fio, m. O pino P pode escorregar para frente e para trás ao longo do eio à medida que a roda gira no sentido anti-horário a uma taa de 60 revoluções por minuto. Encontre uma epressão para a velocidade do pino P em termos do ângulo θ, indicado na figura. 0. Um bote é puado em direção ao ancoradouro por uma corda que está atada à sua proa e que passa por uma polia sobre o ancoradouro, que está m mais alto do que a proa desse bote. Se a corda for puada a uma taa de m/s, quão rápido o bote aproima-se do ancoradouro, quando ele estiver a 8 m dele?. A curva seguinte é a representação geométrica da equação y = Ache a equação da reta tangente a essa curva no ponto (,) -. cos θ + cos θ 8 sen θ ) 88 + = dt cos θ + 8 ) y =. + m/s. 0) 6 m/s. 8

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