Dinâmica do movimento de Rotação

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1 Dinâmica do movimento de Rotação Disciplina: Mecânica Básica Professor: Carlos Alberto

2 Objetivos de aprendizagem Ao estudar este capítulo você aprenderá: O que significa o torque produzido por uma força; Como o torque resultante sobre um corpo afeta o movimento de rotação do corpo; Como analisar o movimento de um corpo que gira e também se move como um todo pelo espaço; Como solucionar problemas que envolvem trabalho e potência para corpos em rotação; A que se refere o momento angular de uma partícula ou de um corpo rígido; Como o momento angular de um sistema varia com o tempo; Porque um giroscópio em rotação para pelo curioso movimento chamado de precessão.

3 Torque (ou momento da força) Linha de ação = Braço de alavanca (módulo do Torque)

4 Torque (ou momento da força) (definição do Torque) No SI, a unidade de Torque é no newton vezes metro (N.m)

5 A segunda lei de Newton para rotações 2ª Lei de Newton: Equação para o torque: Temos ainda que,. Assim Se várias forças agem sobre a partícula: Podemos estender essa equação a qualquer corpo rígido girando em torno de um eixo fixo, uma vez que o corpo pode sempre ser considerado como um conjunto de partículas.

6 Exemplo 10.9: (halliday, p277) A figura mostra um disco uniforme, de massa M = 2,5 kg e raio R = 20 cm, montado em um eixo horizontal fixo. Um bloco de massa m = 1,2 kg está pendurado por uma corda de massa desprezível que está enrolada na borda do disco. Determine a aceleração do bloco em queda, a aceleração angular do disco e a tensão na corda. A corda não escorrega e não existe atrito no eixo.

7 Algumas correspondências entre os movimentos de translação e rotação

8 Exemplo 10.8: (Young, p330) Um anúncio fazendo propaganda da potência desenvolvida pelo motor de um automóvel afirma que o motor desenvolve 1, W para uma rotação de 6000 rpm. Qual é o torque desenvolvido pelo motor? Exemplo 10.9: (Young, p330) Um motor elétrico exerce um torque constante de 10 N m sobre um esmeril montado em seu eixo motor. O momento de inércia é I = 2,0 kg m². Sabendo que o sistema começa a se mover a partir do repouso, calcule o trabalho realizado pelo motor em 8,0 s e a energia cinética no instante final. Qual é a potência média desenvolvida pelo motor?

9 Rotação de um corpo rígido em torno de um eixo móvel Todo movimento possível de um corpo rígido pode ser representado como uma combinação do movimento de translação do centro de massa e de uma rotação em torno de um eixo passando pelo centro de massa.

10 Rolamento como uma combinação da rotação e translação cicloide (rolamento sem deslizamento)

11 Rolamento sem deslizamento Rotação pura + Translação pura = Rolagem Energia Cinética no Rolamento:

12 Exemplo 9.16: (Tipler, p302) Uma bola de boliche, com 11 cm de raio e 7,2 kg de massa, rola sem deslizar a 2,0 m/s, na pista de retorno horizontal. Ela continua a rolar, sem deslizar, ao subir uma rampa até a altura h, quando atinge momentaneamente o repouso e desce de volta. Considere-a uma esfera homogênea e determine h.

13 Exemplo 9.17: (Tipler, p302) Um taco atinge uma bola de bilhar horizontalmente em um ponto a uma distância d acima do centro da bola. Determine o valor de d para o qual a bola rolará, sem deslizar, desde o início. Escreva sua resposta em termos do raio R da bola.

14 Exemplo 10.4: (Young, p325) Um ioiô primitivo é feito enrolando-se um fio diversas vezes em torno de um cilindro de massa M e raio R. Você mantém presa a extremidade do fio enquanto o cilindro é liberado sem velocidade inicial. O fio desenrola, mas não desliza nem se dilata a medida que o cilindro cai e gira. (a) Use considerações de energia para achar a velocidade vcm do centro de massa de cilindro sólido depois que ele caiu até uma distância h. (b) Qual a aceleração de cima para baixo e a tração no fio?

15 Atrito e rolamento

16 Exemplo 11.2: (Halliday, p300) Uma bola uniforme, de massa M = 6,00 kg e raio R, rola suavemente, a partir do repouso, descendo uma rampa inclinada de ângulo θ = 30,0º. A bola desce uma distância vertical h = 1,20 m para chegar à base da rampa. (a) Qual é sua velocidade ao chegar à base da rampa? (b) Quais são o módulo e a orientação da força de atrito que age sobre a bola quando ela desce a rampa rolando?

17 Momento angular (Definição de momento angular) No SI, a unidade do momento angular é o quilograma vezes metro quadrado por segundo. (kg m²/s) (módulo do momento angular) (Corpo rígido, eixo fixo) (Sistema de partículas) (2ª Lei de Newton para rotação)

18 Exemplo 11.4: (Halliday, p305) A figura mostra uma vista superior de duas partículas que se movem com velocidade constante ao longo de trajetórias horizontais. A partícula 1, como momento de módulo p1 = 5,0 kg.m/s, tem vetor posição r1 e passará a 2,0 m do ponto O. A partícula 2, com um momento de módulo p2 = 2,0 kg.m/s, tem um vetor posição r2 e passará a 4,0 m do ponto O. Quais são o módulo e a orientação do momento angular total em relação ao ponto O do sistema formado pelas duas partículas.

19 Questão 39: (Halliday, p321) Na figura abaixo, três partículas de massa m = 23 g estão presas a três barras de comprimento d = 12 cm e massa desprezível. O conjunto gira em torno do ponto O com velocidade angular ω = 0,85 rad/s. Em relação ao ponto O quais são (a) o momento de inércia do conjunto, (b) o módulo do momento angular da partícula do meio e (c) o módulo do momento angular do conjunto?

20 Conservação do momento angular Se Quando o torque externo resultante que atua sobre um sistema é igual a zero, o momento angular do sistema permanece constante (se conserva). (sistema isolado) Se a componente do torque externo resultante que age sobre um sistema ao longo de um certo eixo é nula, a componente do momento angular ao longo desse eixo permanece constante, sejam quais forem as mudanças que ocorrem dentro do sistema.

21 Conservação do momento angular

22 Exemplo 10.11: (Young p.335) Um acrobata professor de física está em pé sobre o centro de uma mesa girante, mantendo os braços estendidos horizontalmente com um haltere de 5,0 kg em cada mão. Ele está girando em torno de um eixo vertical e completa uma volta em 2,0 s. Calcule a nova velocidade angular do professor, quando ele aproxima os dois halteres do estômago, e discuta como isso modifica sua energia cinética. Seu momento de inércia (sem halteres) é igual a 3,0 kg m², quando seus braços estão estendidos, diminuindo para 2,2 kg m²,quando suas mão estão próximas do estômago. Os halteres estão inicialmente a uma distância de 1,0 m do eixo e a distância final é igual a 0,20 m. Considere os halteres como partículas.

23 Exemplo e 10.13: (Young p.335) A figura abaixo mostra dois discos: um deles (A) é o volante de um motor, de massa 2,0 kg e raio de 0,20; o outro (B) é um disco de embreagem ligado a um eixo de transmissão, de massa de 4,0 kg e raio de 0,10 m. Seus momentos de inércia são IA e IB; inicialmente eles estão girando com uma velocidade angular constante ωa = 50 rad/s e ωb = 200 rad/s. respectivamente. A seguir, empurramos os dois discos juntos, aplicando forças que atuam ao longo do eixo, de modo que sobre nenhum dos dois discos surge torque em relação ao eixo. Os discos se deslocam unidos e acabam atingindo a mesma velocidade angular final ω. (a) Deduza uma expressão para ω e obtenha seu valor. (b) A energia cinética se conserva durante o processo?

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