(a) a aceleração do sistema. (b) as tensões T 1 e T 2 nos fios ligados a m 1 e m 2. Dado: momento de inércia da polia I = MR / 2

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1 F128-Lista 11 1) Como parte de uma inspeção de manutenção, a turbina de um motor a jato é posta a girar de acordo com o gráfico mostrado na Fig. 15. Quantas revoluções esta turbina realizou durante o teste? 2) Um dos primeiros métodos para se medir a velocidade da luz utilizava a rotação de uma roda dentada. Um feixe de luz passava através de um dente na borda externa da roda, conforme mostra a figura, atingindo um espelho distante, que o refletia de volta de forma a passar exatamente pelo próximo dente. Essa roda tem 5 cm de raio e possui 500 dentes em sua borda. Medidas realizadas com o espelho, colocado e uma distância l= 500 m da roda indicam um valor de 3x10 5 km/s para a velocidade da luz. (a) Qual a velocidade angular (constante) da roda? (b) qual a velocidade linear de um ponto em sua borda? 3) Uma roda A de raio r A =10cm está acoplada pela correia B à roda C de raio r C =25cm, como mostra a figura abaixo. A roda A, inicialmente em repouso, aumenta sua velocidade angular à razão uniforme de 1,6 rad/s 2. Determine o tempo necessário para que a roda C alcance uma velocidade de rotação de 100rev/min, supondo que a correia não deslize. 4) Uma roda, partindo do repouso, é acelerada de tal forma que sua velocidade angular aumenta uniformemente para 180 rpm em 3 min. Depois de girar com essa velocidade por algum tempo, a roda é freada com desaceleração angular uniforme, levando 4 min para parar. O número total de rotações é Quanto tempo, ao todo, a roda ficou girando? 5) Com que velocidade linear você está se movendo devido à rotação da Terra em torno do eixo? E devido à translação da Terra em torno do Sol? (aproxime a órbita da Terra por um círculo). Em cada um dos casos calcule a sua aceleração centrípeta em m/s 2 e exprima-a como um percentual da aceleração da gravidade.

2 6) Qual é a hora entre 9h e 10h em que o ponteiro dos minutos de um relógio coincide com o das horas? Depois de meio dia, qual é a primeira vez que os três ponteiros voltam a coincidir. 7) Uma roda completa 40 voltas enquanto reduz sua velocidade angular de 1,5rad/s até o repouso. (a) Supondo que a aceleração angular seja constante, ache o tempo necessário para a roda parar completamente. (b) Qual a sua aceleração angular? (c) Qual o tempo necessário para que ela complete as primeiras 20 das 40 voltas? 8) Um carro de corridas percorre, em sentido anti-horário, uma pista circular de 1 km de diâmetro, passando pela extremidade sul, a 60 km/h, no instante t = 0. A partir daí, o piloto acelera o carro uniformemente, atingindo 240 km/h em 10 s. (a) Que distância o carro percorre na pista entre t = 0 e t = 10s? (b) Determine o vetor aceleração média do carro entre t = 0 e t = 10 s 9) Um pulsar é uma estrela de nêutrons que gira rapidamente em torno de si própria e emite um feixe de rádio, do mesmo modo que um farol emite um feixe luminoso. Recebemos na Terra um pulso de rádio para cada revolção da estrla. O período T de rotação de um pulsar é determinado medindo o intervao de tempo entre os pulsos. O pulsar da nebulosa do Caranguejo tem um período de rotação T = 0,033 s que está aumentando a uma taxa de 1, s/ano. a) Qual é a aceleração angular do pulsar? b) Se mantiver constante, daqui a quantos anos o pulsar vai parar de girar? c) O pulsar foi criado pela explosão de uma supernova observada no de Supondo que a aceleração se manteve constante, determine o período logo após a explosão. 10) Em uma rasteira no judô, você tira o apoio do pé esquerdo do adversário ao mesmo tempo em que puxa o quimono dele para este lado sem apoio. Em consequência, seu adversário gira em torno do pé direito em direção ao tatame. A figura abaixo mostra um diagrama simplificado do seu adversário, com o pé esquerdo já fora do chão. O eixo de rotação passa pelo ponto O. A força gravitacional Fg age sobre o centro de massa do seu adversário, que está a uma distância horizontal d = 28cm do ponto O. Sua massa é de 70kg e seu momento de inércia em relação ao ponto O é 65kg m2. Qual é o módulo da aceleração angular inicial do seu adversário em relação ao ponto O se o puxão Fa que você aplica ao seu quimono (a) é desprezível e (b) é horizontal, com um módulo de 300N e aplicado a uma altura h=1,4m? 11) Na figura abaixo, uma placa de plástico de forma irregular, com espessura e massa específica (massa por unidade de volume) uniformes deve girar em torno de um eixo perpendicular à face da placa passando pelo ponto O. O momento de inércia da placa em torno desse eixo é medido usando o seguinte método: um disco circular de massa 0,500kg e raio 2,00 cm é colado na placa, com seu centro coincidindo com O. Um barbante é enrolado na borda do disco como se ele fosse um pião e puxado durante 5,00s. Em consequência, o disco e a placa são submetidos a uma força constante de 0,400N, aplicada pelo barbante tangencialmente à borda do disco. A velocidade angular resultante é de 114 rad/s. Qual é o momento de inércia da placa em relação ao eixo?

3 12) Duas partículas, cada uma com massa m, ligadas uma à outra e ao eixo de rotação por duas barras leves, cada uma de comprimento L e massa M, como mostrado na figura. O sistema gira em torno do eixo de rotação com velocidade angular ω. Obtenha as expressões algébricas para: (a) o momento de inércia do sistema em relação a O e (b) a energia cinética de rotação em torno de O. 2 (Observação: Use para a barra I CM = ML / 12 ) 13) Calcule o momento de inércia de uma lâmina homogênea de massa M em forma de anel circular, de raio interno R 1 e raio externo R 2. (a) Em relação a um eixo perpendicular ao plano do anel, passando pelo centro (figura a). (b) Em relação a um eixo perpendicular ao plano do anel, tangente a um ponto da circunferência externa (figura b). 14) Um bloco de massa m 1, pode deslizar com atrito despresível sobre um plano inclinado de θ em relação a horizontal. Este bloco está ligado por um fio que passa sobre uma polia de raio R e massa M, a uma massa m 2 >m 1 suspensa, como mostrado na figura. O sistema é solto do repouso. Determine:

4 (a) a aceleração do sistema. (b) as tensões T 1 e T 2 nos fios ligados a m 1 e m 2. 2 Dado: momento de inércia da polia I = MR / 2 15) Uma barra uniforme de comprimento L e massa M pode girar livremente através de um pino que está localizado em uma de suas extremidades, como mostrado na figura abaixo. A barra está inicialmente na posição horizontal quando é solta. (a) Qual é a sua velocidade angular quando ela atingir a sua posição mais baixa? (b) Determine a velocidade linear no centro de massa e a velocidade linear no ponto mais baixo da barra quando ela se encontra na posição vertical. Despreze todos os atritos. 16) Considere dois cilindros com masas m 1 e m 2, onde m 1 m 2. Eles estão conectados por um fio que passa por uma polia, como mostrado na figura abaixo. A polia tem raio R e momento de inércia I sobre o eixo de rotação. O fio não desliza na polia e o sistema se encontra inicialmente no repouso. Ache a velocidade linear dos cilindros depois do cilindro 2 descer uma distância h. Econtre a velocidade angular da polia neste instante.

5 17) As massas e as coordenadas de quatro partículas são as seguintes: 50g, x = 2cm, y = 2 cm; 25g, x=0, y = 4 cm; 25g, x = -3 cm, y = -3 cm; 30g, x = -2 cm, y = 4 cm. Qual o momento de inércia em relação (a) ao eixo x, (b) ao eixo y e (c) ao eixo z? (d) Se as respostas para (a) e (b) forem, respectivamente, A e B, então qual a resposta para (c) em função de A e B? 18) (a) Mostre que o momento de inércia de um cilindro sólido, de massa M e raio R, em relação a seu eixo central é igual ao momento de inércia de um aro fino de massa M e raio R / 2 em relação a seu eixo central. (b) Mostre que o moemnto de inércia I de um corpo qulquer de massa M em relação a qualquer eixo é igual ao momento de inércia de um arão equivalente em relação a esse eixo, se o aro tiver a mesma massa M e raio k dado por k = I M 19) Uma régua apoiada no chão verticalmente por uma das extremidades, cai. Determine a velocidade da outra extremidade quando bate no chão, supondo que o extremo apoiado não deslize. (Sugestão: Considere a régua como um bastão fino e use o princípio de conservação de energia). 20) Um cilindro uniforme de 10 cm de raio e 20kg de massa está montado de forma a girar livremente em torno de um eixo horizontal paralelo ao seu eixo longitudinal e distando 5 cm deste. (a) Qual o momento de inércia do cilindro em torno do eixo de rotação? (b) Se o cilindro partir do repouso, com seu eixo alinhado na mesma altura do eixo de rotação, qual a sua velocidade angular ao passar pelo ponto mais baixo da trajetória? (Sugestão: use o princípio de conservação de energia) 21) A molécula de oxigênio, O 2, tem massa total de 5,3 x kg e um momento de inércia de ,94 10 kg m, em relação ao eixo que atravessa perpendicularmente a linha de junção dos dois átomos. Suponha que essa molécula tenha em um gás a velocidade de 500m/s e que sua energia cinética de rotação seja dois terços da energia cinética de translação. Determine a sua velocidade angular. 22) Duas partículas de massa m 1 e m 2 respectivamente, são conectadas por uma reta. Mostrar que o momento de inércia do sistema em torno de um eixo perpendicular à reta e que passa através do centro de massa é μa 2, onde a massa reduzida μ = m 1 m 2 /(m 1 + m 2 ). 23) Achar o momento de inércia de um cilindro circular sólido de raio a, altura h e massa M em torno do eixo do cilindro. 24) Uma chaminé alta, de forma cilíndrica, cai se houver uma ruptura na sua base. Tratando a chaminé como um bastão fino, de altura h, expresse (a) a componente radial da aceleração linear do topo da chaminé, em função do ângulo _que ela faz com a vertical, e (b) a componente tangencial dessa mesma aceleração. (c) Em que ângulo _a aceleração é igual a g? 25) Uma haste fina de comprimento L = 3,0 m e massa m = 1 Kg está suspensa livremente por uma de suas extremidades. Ela é puxada para um dos lados e a seguir liberada para oscilar como um pêndulo, passando por sua posição mais baixa com velocidade angular de 4,0 rad/s. Desprezando o atrito e a resistência do ar, e sabendo que o momento de inércia de uma barra com relação a um eixo 2 m L que passa por sua extremidade é I =, encontre: 3 a) A energia cinética da haste na sua posição mais baixa. b) A altura máxima acima desta posição que o centro de massa alcança. 26) A energia cinética de rotação de um corpo rígido que gira com velocidade angular ω em torno

6 2 de certo eixo, é dada por E rot = Iw / 2. A grandeza I é chamada de momento de inércia, a qual depende não só da massa do corpo, mas também de como a massa está distribuída em torno do eixo de rotação. Seja um corpo rígido constituído de dezesseis bolas de mesma massa m que estão distribuídas simetricamente ao longo de duas circunferências concêntricas de raios r e 2r. Elas estão ligadas entre si por barras finas e rígidas de massa desprezível, como mostra a figura abaixo. Expressando o resultado em termos da massa total M =16m e do raio externo R = 2r, calcule o momento de inércia do corpo na situação onde ele gira, com velocidade angular constante ω, em torno de um eixo: a) Perpendicular ao plano que contem as circunferências e que passa pelos seus centros b) Em torno de um eixo que pertence ao plano que contém as circunferências e que passa por quatro bolas (ver figura acima). c) Verifique os resultados encontrados em (a) e (b) utilizando a expressão I = m r 2 i i 27) Calcule os momentos de inércia de todos os objetos da Tabela 10.2 (8 a edição) do Halliday que não foram calculados nos exercícios anteriores. Suponha que todos os objetos tenham massa M. i

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