ESCOLA DR. ALFREDO JOSÉ BALBI UNITAU APOSTILA ESFERAS E SUAS PARTES PROF. CARLINHOS NOME: N O :

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1 ESCOLA DR. ALFREDO JOSÉ BALBI UNITAU APOSTILA ESFERAS E SUAS PARTES PROF. CARLINHOS NOME: N O : 1

2 ESFERAS Consideramos um ponto O e um segmento de medida r. Chama-se esfera de centro O e raio r o conjunto dos pontos P do espaço, tais que a distância OP seja menor ou igual a r. A esfera é o sólido de revolução gerado pela rotação completa de um semicírculo em torno de um eixo que contém um diâmetro. Superfície esférica Superfície esférica de centro O e raio r é o conjunto dos pontos P do espaço que distam r do ponto o. A superfície gerada pela rotação de uma semi-circunferência em torno de um eixo que contém o diâmetro é uma superfície esférica. Elementos da esfera Considerando a superfície de uma esfera de eixo e, temos: a) Pólos são as interseções da superfície com o eixo; b) Equador é a seção (circunferência) perpendicular ao eixo, pelo centro da superfície; c) Paralelo é qualquer secção (circunferência) perpendicular ao eixo; d) Meridiano é qualquer secção (circunferência) cujo plano passa pelo eixo.

3 Secção da Esfera Toda secção plana de uma esfera é um círculo. Sendo R o raio da esfera, d a distância do plano secante ao centro e r o raio da secção, vale a relação: R = r + d Área da secção esférica: A s = π.r Se o plano secante passa pelo centro da esfera, temos como secção um círculo máximo da esfera. Área do círculo máximo : A m = π.r Área da esfera A área de uma superfície esférica de raio R é igual a: A = 4 R Volume da esfera O volume de uma esfera de raio r é igual a: 4 V =. π. r Exemplos: 1) Calcule a área total e volume de uma esfera de diâmetro igual a 6cm.

4 ) Uma esfera de raio 5cm é seccionada por um plano distante 4cm do seu centro. Calcule: a) A área da secção b) A área da esfera Fuso Esférico Considere uma superfície esférica de raio r e um diedro cuja aresta contém um diâmetro dessa superfície. A intersecção do diedro com a superfície esférica é denominada fuso esférica. A área da superfície do fuso esférico é dada por: α. π. r A F = ( α em graus ) ou A 0 F =. α. r ( α em radianos ) 90 α ângulo diedro Cunha Esférica Seja uma esfera de raio r e um diedro cuja aresta contém um diâmetro da esfera. A intersecção do diedro com a esfera é denominada cunha esférica. A área da cunha esférica é a soma das áreas do seu fuso com o círculo máximo da esfera. A c = A F + π.r O volume da cunha é dado por: α. π. r. α. r V = ( α em graus ) ou V= ( α em radianos )

5 Obs: Suponha que a esfera seja uma laranja, podemos considerar: a) A cunha esférica é o gomo da laranja. b) O fuso esférico é a casca do gomo da laranja. Exemplos: 1) Calcular a área de um fuso esférico de 0 o, contido numa superficie esférica da de raio 4cm. ) Calcular o volume de uma cunha esférica com 0 0 de ângulo equatorial e 6 cm de raio. Calota esférica e Segmento esférico Um plano secante a uma superfície esférica a divide em duas superfícies denominadas calotas esféricas. A esfera fica dividida por este plano em dois sólidos denominados segmentos esféricos. Sendo R o raio da esfera e h a altura da calota esférica, então: π. h Área da calota A =.π.r.h Volume do segmento esférico V =.(. r h) 5

6 Exemplo: APOSTILA ELABORADA PELO PROF. CARLINHOS - CARLINHOS Uma esfera de raio igual a 5 cm é seccionada por um plano distante cm de seu centro. Calcular a área da menor calota esférica obtida e o volume do segmento esférico correspondente. EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO DA APRENDIZAGEM 1) Uma laranja tem a forma e a medida da figura ao lado. Qual a área aproximada da casca da laranja? resp: 00,96 cm ) A figura ao lado representa um hemisférico. Qual é área da superfície desse hemisférico? resp: 68 m ) Um plano secciona uma esfera de 10 cm de diâmetro. Determine área da secção obtida sendo a distância do plano ao centro da esfera é de cm. Resp: 16π cm 4) Um recipiente cilíndrico cujo o raio da base é 6cm contém água até certa altura. Uma esfera de aço é colocada no interior do recipiente, ficando totalmente submersa. Se a altura da água subiu 1cm, determine o raio da esfera. Resp: cm 5) Determine o volume de uma esfera inscrita em um cubo de 10cm de aresta. 500π Resp: cm 6) Considerando a Terra uma esfera, um paralelo de 0 0 é uma circunferência cujos segmentos que unem os pontos dessa circunferência ao centro da terra formam um ângulo de 0 0 com o plano do equador. Se a terra tem a medida do raio aproximadamente 6400 km, determine: a) o comprimento da circunferência máxima, ou seja, do Equador. Resp: 9680 km b) o comprimento da circunferência de um paralelo de 0 0. ( = 1,7 e π =,1) Resp: 78 km 7) Uma esfera de raio igual a 10 cm é seccionada por um plano distante 6 cm de seu centro. Calcular a área da menor calota esférica obtida e o volume do segmento esférico correspondente. Resp: A = 80π cm 416π V = cm 8) (UMC-SP) Um joalheiro fundiu uma esfera de ouro de raio 6 mm para transformá-la em um bastão cilindrico reto, cujo raio da base era igual ao da esfera. Calcule o comprimento do bastão. Resp: 8 mm 6

7 9) Calcule: a) área do fuso resp: 5π/ b) a área e o volume total da cunha resp: A=48π e V=4π b) a área e o volume total da cunha resp: A = 48π e V = 4π 10) Considere uma bola de sorvete de 6π cm de volume e uma casquinha cônica de cm de raio. A altura da casquinha, para que o sorvete, ao derreter, ocupe todo o seu espaço, em cm, é: a) 8 b) 9 c) 10 d) 1 resp: d 11) (Uel) Considere um cone circular reto e um cilindro circular reto, ambos com diâmetro da base igual a 1 cm e também uma esfera com diâmetro de 1 cm, todos com volumes iguais. A altura do cone e a altura do cilindro devem ser respectivamente iguais a: a) 1 cm e 4 cm b) 0 cm e 10 cm c) 4 cm e 8 cm d) 9 cm e cm e)18 cm e 6 cm resp: c 9) (Ufjf) Um reservatório de água tem a forma de um hemisfério acoplado a um cilindro circular como mostra a figura a seguir. 7

8 A medida do raio do hemisfério é a mesma do raio da base do cilindro e igual a r = m. Se a altura do reservatório é h = 6 m, a capacidade máxima de água comportada por esse reservatório é: a) 9π m b) 18π m c) 7π m d) 6π m e) 45π m resp: e 1) (Ufu) Sabendo-se que a intersecção entre um plano II e uma esfera S de raio 10 cm é uma circunferência de raio 6 cm, então, a distância do centro da esfera S até o plano II é igual a a) 4 cm. b) 5 cm. c) 7 cm. d) 8 cm. resp: d 1) O recipiente da figura é feito de madeira de densidade 0,7 g/cm e tem a forma de semi-esfera com raio externo igual a 0 cm e interno 17 cm. Calcule a massa desse recipiente, em kilogramas. resp: 4,5 kg 14) Calcule o volume, em mililitros do recipiente da figura, abaixo: Resp: 4,68 ml 15) Uma esfera cujo volume é 6π cm está circunscrita em um cilindro cuja altura é o 7π dobro do raio da base. Calcule o volume do cilindro. Resp: cm. Bibliografia: Curso de Matemática Volume Único Autores: Bianchini&Paccola Ed. Moderna Matemática Fundamental - Volume Único Autores: Giovanni/Bonjorno&Givanni Jr. Ed. FTD Contexto&Aplicações Volume Único Autor: Luiz Roberto Dante Ed. Ática 8