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1 Cilindro 1. (Ueg 01) Uma coluna de sustentação de determinada ponte é um cilindro circular reto. Sabendo-se que na maquete que representa essa ponte, construída na escala 1:100, a base da coluna possui cm de diâmetro e 9 cm de altura, o volume, em m de concreto utilizado na coluna, é: (Use π,14) a),86 b) 8,6 c) 8,6 d) 86. (Ufmg 01) O lucro bruto de uma empresa é a diferença entre a receita obtida com as vendas e o custo de produção. Um determinado fabricante de cerveja só vende latas cilíndricas de alumínio, fechadas, cheias de cerveja, com 1 cm de altura e cm de raio. O custo da produção de certo número de latas cheias de cerveja é de 1 real por litro de cerveja e mais p reais por metro quadrado de alumínio utilizado na fabricação das latas. A receita da empresa por cada litro de cerveja vendido é de dois reais por litro. Considerando estas informações, a) DETERMINE a receita gerada pela venda de cada lata de cerveja. b) DETERMINE o custo total de produção de cada lata de cerveja em função de p. c) DETERMINE o valor máximo do preço p do alumínio para que o fabricante não tenha prejuízo.. (Espm 01) Dois copos cilíndricos têm o mesmo volume. Seus diâmetros internos medem 6cm e 8cm, respectivamente. Se a soma das suas alturas é igual a 4cm, a diferença entre elas é de: a) 5,4 cm b) 8,1 cm c) 5,78 cm d) 7,66 cm e) 6,7 cm 4. (Ufpb 01) Sr. Ptolomeu construirá em sua chácara um jardim de formato circular com 16 m de diâmetro. Contornando o jardim, haverá uma calçada, medindo 1 m de largura por 0,1 m de altura, conforme figura a seguir: Supondo que o preço médio do m da calçada a ser construída é de 100 reais, conclui-se que a despesa do Sr. Ptolomeu com a construção da calçada será, aproximadamente, de: a) 685,0 reais b) 65,80 reais c) 58,0 reais d) 5,80 reais e) 85,0 reais Página 1 de 1

2 5. (Insper 01) Na figura a seguir, a base inferior do cubo de aresta a está inscrita na base superior do cilindro circular reto de altura a. A distância entre o vértice V do cubo e o centro da base inferior do cilindro é igual a a) 5a. b) 5a. c) a. d) a. e) a. 6. (Ueg 01) Em uma festa, um garçom, para servir refrigerante, utilizou uma jarra no formato de um cilindro circular reto. Durante o seu trabalho, percebeu que com a jarra completamente cheia conseguia encher oito copos de 00ml cada. Considerando-se que a altura da jarra é de 0cm, então a área interna da base dessa jarra, em cm, é a) 10 b) 0 c) 60 d) (Ucs 01) A água colhida por um pluviômetro cilíndrico de 40 cm de diâmetro, durante uma chuva torrencial, é depois colocada em um recipiente também cilíndrico, cuja circunferência da base mede 4π cm. Qual é a altura que a água havia alcançado no pluviômetro, se no recipiente ela alcançou 00 mm de altura? a) 1, cm b) 1 cm c),6 cm d) 7, cm e) 7 cm Página de 1

3 8. (Unifesp 01) Por motivos técnicos, um reservatório de água na forma de um cilindro circular reto (reservatório 1), completamente cheio, será totalmente esvaziado e sua água será transferida para um segundo reservatório, que está completamente vazio, com capacidade maior do que o primeiro, também na forma de um cilindro circular reto (reservatório ). Admita que a altura interna h(t), em metros, da água no reservatório 1, t horas a partir do instante em que se iniciou o processo de esvaziamento, pôde ser expressa pela função 15t 10 h(t) t 1 a) Determine quantas horas após o início do processo de esvaziamento a altura interna da água no reservatório 1 atingiu 5m e quanto tempo demorou para que esse reservatório ficasse completamente vazio. b) Sabendo que o diâmetro interno da base do reservatório 1 mede 6m e o diâmetro interno da base do reservatório mede 1 m, determine o volume de água que o reservatório 1 continha inicialmente e a altura interna H, em metros, que o nível da água atingiu no reservatório, após o término do processo de esvaziamento do reservatório (Ulbra 01) A Gestão Ambiental visa ao uso de práticas que garantem a conservação e a preservação da biodiversidade, a reciclagem das matérias-primas e a redução do impacto ambiental das atividades humanas sobre os recursos naturais. Consciente da importância de reaproveitar sobras de madeira, uma serraria que trabalha apenas com madeira de reflorestamento resolveu calcular a sobra de madeira na confecção de peças cilíndricas. Para confeccionar uma peça cilíndrica, a serraria faz os cortes adequados em um prisma quadrangular de arestas da base 5 cm e altura 0,8 m e obtém um cilindro de 5 cm de diâmetro e 0,8 m de altura. A sobra de madeira na fabricação de mil destas peças é, em cm (utilize π =,14), a seguinte: a) 4, x b) 40. c) 4, x d) e) (Ufba 01) Um reservatório em forma de cilindro circular reto de raio da base r = 0,80m e altura H metros tem capacidade para 1984 litros de combustível e, para enchê-lo, são utilizados álcool e gasolina na proporção de um litro de álcool para quatro litros de gasolina. O gráfico em que h indica, em cm, a altura do nível de combustível contido no reservatório descreve a variação desse nível durante um período de dez horas. Considerando-se,1 π e que não houve entrada e saída simultâneas de combustível do reservatório, pode-se afirmar: 01) O reservatório, quando cheio, contém 96,8 litros de álcool. 0) O reservatório estava cheio quando t = 6. 04) Em t = 0, havia no reservatório 600 litros de combustível. 08) Em t =, o combustível que havia no reservatório ocupava menos da metade de sua capacidade. 16) No intervalo de tempo entre t = 6 e t = 9, houve um consumo médio de combustível de 198,4 litros por hora. ) No intervalo de tempo entre t = 4 e t = 6, houve crescimento do consumo de combustível. Página de 1

4 11. (Unisc 01) Uma indústria de tonéis produz 4000 unidades mensais. Estes tonéis são cilindros equiláteros de 1 metro de altura. Para pintar a superfície lateral desses cilindros, é utilizada uma tinta cujo rendimento é de 00 gramas por m. Calculando a quantidade de tinta consumida a cada mês, encontramos um valor próximo de π Pi,14 Observação: Utilize o valor da constante a) kg. b) kg. c) kg. d), toneladas. e),5 toneladas. 1. (Ufmg 01) João comprou um balde em forma de um cilindro circular reto, cujo diâmetro da base D, e cuja altura H medem, cada um deles, 0 cm. Ele precisa introduzir, nesse balde, verticalmente, uma peça metálica, também em forma ver de um cilindro circular reto, cujo diâmetro da base d, e cuja altura l medem, respectivamente, 0 cm e 7 cm. Suponha que o balde contém água até um nível h. Considerando essas informações, a) Calcule o volume total do balde, em cm. b) Calcule o volume total da peça metálica, em cm. c) João observou que, se a peça fosse introduzida no balde, de modo que dela ficassem fora do balde, o nível da água subiria até atingir a borda, sem transbordar. Suponha que, em seguida, a peça foi introduzida, de modo que a metade dela ficou fora do balde. Determine o volume da água que transborda, nesse caso. 1. (Acafe 01) Uma piscina cilíndrica, cujas medidas são indicadas na figura abaixo, é cheia com uma mangueira a uma taxa de L por hora. Com base nestes dados, e considerando π,14, analise as afirmações a seguir. I. A função h(t), em que h indica a altura alcançada pela água dentro da piscina em metros e t o tempo em horas, é uma função do segundo grau. II. O enchimento da piscina será interrompido quando a piscina estiver completamente cheia; neste caso, pode-se dizer que a função h(t) tem como domínio o conjunto D t 0 x 1,56. III. O tempo total de enchimento desta piscina será de 1 horas e 56 minutos. Assinale a alternativa correta. a) Apenas I e II são verdadeiras. b) Apenas II e III são verdadeiras. c) Todas as afirmações são verdadeiras. d) Apenas a afirmação II é verdadeira. Página 4 de 1

5 14. (G1 - ifsc 01) A lata abaixo deverá ser produzida a partir de uma chapa de metal que possui 0,8 g por centímetro quadrado de área. Sabendo que essa lata não possui tampa, é CORRETO afirmar que a massa de cada lata desse tipo será de: a) 900π g. b) 550π g. c) 10400π g. d) 1000π g. e) 840π g. 15. (Ufpr 01) As duas latas na figura abaixo possuem internamente o formato de cilindros circulares retos, com as alturas e diâmetros da base indicados. Sabendo que ambas as latas têm o mesmo volume, qual o valor aproximado da altura h? a) 5 cm. b) 6 cm. c) 6,5 cm. d) 7,11 cm. e) 8,4 cm. 16. (Acafe 01) Um posto de combustíveis abastece mensalmente seu reservatório cilíndrico subterrâneo, cujas medidas estão indicadas no esquema a seguir. Considerando que o reservatório esteja vazio e que será abastecido com 80% de sua capacidade por um caminhão tanque, a uma vazão de 10 L por segundo, em aproximadamente quantos minutos o reservatório será abastecido? a) 59 min. b) 51 min. c) 47 min. d) 48 min. Página 5 de 1

6 17. (Udesc 011) A figura ilustra duas moedas brasileiras, a der$ 1,00 e a de R$ 0,50, descritas a seguir. Moeda de R$ 1,00 As faces da moeda são compostas por dois círculos concêntricos. O diâmetro do círculo maior é igual a,8cm e o diâmetro do círculo menor é igual a 1,8cm. A espessura desta moeda é igual a 1,5mm. Moeda de R$ 0,50 As faces da moeda são compostas por um círculo de diâmetro igual a,cm. A espessura desta moeda é igual a mm. Com base nestas informações, analise as proposições abaixo. I. O volume de metal necessário para cunhar a região situada entre os círculos concêntricos da moeda de R$ 1,00 é aproximadamente 0,175 cm. II. Para cunhar uma moeda de R$ 1,00 é necessário aproximadamente mais que para cunhar uma moeda de R$ 0,50. III. A área entre os círculos concêntricos da moeda de R$ 1,00 é círculo interno. Assinale a alternativa correta. a) Somente as afirmativas II e III são verdadeiras. b) Somente as afirmativas I e III são verdadeiras. c) Somente as afirmativas I e II são verdadeiras. d) Todas as afirmativas são verdadeiras. e) Todas as afirmativas são falsas. 0,4 cm 0,069 cm de metal a maior que a do 18. (Uftm 011) Um paralelepípedo reto-retângulo, de volume V 1, e um cilindro circular reto, de raio R = 0,5 m e volume V, têm a mesma altura h = 4 m. Se V1 V, então a medida x da aresta da base do paralelepípedo é igual a a) 5. b) 5. c). d). 4 e) Página 6 de 1

7 19. (G1 - ifal 011) Arquimedes, para achar o volume de um objeto de forma irregular, mergulhou-o num tanque cilíndrico circular reto contendo água. O nível da água subiu 10 cm sem transbordar. Se o diâmetro do tanque é 0 cm, então o volume do objeto é: a) b).000 c).000 d) e) (Ufrgs 011) Um tipo de descarga de água para vaso sanitário é formado por um cilindro com altura de m e diâmetro interno de 8 cm. Então, dos valores abaixo, o mais próximo da capacidade do cilindro é a) 7L. b) 8L. c) 9L. d) 10L. e) 11L. Página 7 de 1

8 Gabarito: Resposta da questão 1: [B] O volume da coluna na maquete é dado por 6 π 9, ,6cm 8,6 10 m. Como a escala da maquete é de 1:100, segue que o volume pedido é tal que 6 8, V 8,6 m. V 100 Resposta da questão : a) Volume da lata: V π πcm 0,108 πl. Receita por lata = (0,108 π) 0,16 π reais. b) Calculando a superfície da lada: S π 1. π. 90 πcm 0,009 πm. Custo total da lata de cerveja: C 0,108 π 1p 0,009 π 0,009 π 1 p c) R C 0 0,16π 0,009π 1 p 0 0,009p 0,108 p 1 Resposta: 1 reais. Resposta da questão : [E] π..x π.4.y 9x 16y 9x 16y resolvendo o sistema, x 15,6 e y 8,64 x y 4 fazendo x y,temos: 15,6 8,64 6,7. Página 8 de 1

9 Resposta da questão 4: [D] V = A b. h V = π (9 8 ).0,1 V =,14.(81 64).0,1 V =, ,1 V = 5,8m Resposta da questão 5: [E] Considere a figura, sendo A o pé da perpendicular baixada de V sobre a base inferior do cilindro e C o centro da mesma. Como AC é igual à metade da diagonal da face do cubo, vem que VA a e, portanto, pelo Teorema de Pitágoras, obtemos a AC. Além disso, a VC VA AC VC (a) a VC 4a VC Resposta da questão 6: [A] 9a a VC. Página 9 de 1

10 A b b b área da base 1mL 1cm Volume da jarra 8 0mL 400mL 400cm A A 80cm Resposta da questão 7: [D] Seja r o raio da base do recipiente. Se a circunferência da base do recipiente mede 4π cm, então 4π π r r 1 cm. Logo, o volume de água transferido para o recipiente é dado por π 1 0cm. Por outro lado, como o diâmetro da base do pluviômetro mede 40 cm, segue que o raio da sua base mede 40 0 cm. Portanto, se h é a altura que a água atingiu no pluviômetro, então 144 π 0 h π1 0 h 7,cm. 0 Resposta da questão 8: a) Queremos calcular t, para o qual h(t) 5 m. Desse modo, 15t 10 5 t 1 t 4 t 6 h. t 1 Por outro lado, para que o reservatório 1 fique vazio, deveremos ter h(t) 0. Assim, 15t t 10 0 t 8 h. t 1 b) Para determinarmos a altura do reservatório 1 basta calcularmos h(0). Logo, h(0) 10 m. 0 1 Se D 6 m é o diâmetro interno do reservatório 1, segue que o volume de água que esse reservatório continha inicialmente é dado por D 6 4 h(0) m 9 10 L, Portanto, como o raio interno da base do reservatório mede 1 6 m, temos que a altura atingida pela água nesse reservatório foi de 90 6 H H,5 m. Resposta da questão 9: [C] A sobra de madeira na fabricação de uma peça, em cm, é dada por 5, π , Página 10 de 1

11 Portanto, na fabricação de peças, a sobra de madeira é Resposta da questão 10: = , 10. Verdadeira. Como são utilizados álcool e gasolina na proporção de um litro de álcool para quatro litros de gasolina, segue que o reservatório, quando cheio, contém ,8 5 litros de álcool. Falsa. Do gráfico, temos que, para t 6, a altura do nível de combustível contido no reservatório é h 70cm 7dm. Logo, o volume de combustível nesse instante é: π 8 7, ,8dm 1.88,8 L L. 04. Falsa. Para t 0, temos que h 0cm dm. Logo, havia no reservatório: π 8, ,dm 595, L 600 L. 08. Verdadeira. Devemos calcular a altura do combustível no cilindro para t. A reta que passa pelos pontos (0, 0) e (4, 60) tem valor inicial 0 e taxa de variação Logo, sua equação é y x 0. Segue que para x, temos y 0 45cm 4,5dm. Portanto, para t, o combustível que havia no reservatório ocupava 1984 π 8,1 64 4,5 89,9dm 89,9 L L 99 L, ou seja, menos da metade de sua capacidade. 16. Verdadeira. Entre t 6 e t 9, houve um consumo médio de combustível de 8 (4 7), ,4dm h 198,4L h. π 9 6. Falsa. A função h, que expressa a altura de combustível no cilindro em função do tempo, é crescente no intervalo ]4, 6[. Logo, como não houve entrada e saída simultâneas de combustível do reservatório nesse intervalo, segue que o volume de combustível aumentou, não havendo, portanto, crescimento do consumo de combustível. Resposta da questão 11: [E] A área total a ser pintada é dada por π ,14 m. 1 Portanto, como o rendimento da tinta é 00 g m kg m, 5 1 tinta é 4000,14.51kg,5 ton. 5 Resposta da questão 1: a) Vbalde πr H V balde π(15) 0 Vbalde 6750π cm segue que o consumo mensal de b) VPeça πr H V Peça π(10) 7 VPeça 700π cm Página 11 de 1

12 1 1 c) Vagua Vbalde VPeça Vagua 6750 (700 π) Vagua 5850πcm 1 700π Vbalde Vpeça 6750cm 5400π cm Portanto, transborda: 5850π 5400π 450π cm. Resposta da questão 1: [D] I. Falsa. Como o raio da base da piscina é 4 m e a vazão da mangueira é 1, L h 1,57 m h, segue que π h(t) 1,57 t h(t) t, ou seja, f é uma 4π função linear. II. Verdadeira. Quando a piscina estiver totalmente cheia, teremos h(t) 1,57. Logo, 1,57 1,57 t t 1,56 s. 4π Portanto, como a piscina começa a ser enchida em t 0, segue que o domínio de h é D {t 0 x 1,56}. III. Falsa. De (II) vem 1,56 h 1 h 0,56 60min 1 h,6min Resposta da questão 14: [A] 1 h min 0,6 60 s 1 h min 6 s 1 h 56min. Área da superfície externa da lata: A = π 5 + π 5 60 = 65 π π = 65 π cm. Cálculo da massa da lata: 0,8 65 π = 900 π g. Resposta da questão 15: [D] V I = V II π.6.h π h 6 h 7,11 cm Resposta da questão 16: [C] A capacidade do reservatório é dada por 9 π 5,14 5 5,5 m 55 L. 4 Página 1 de 1

13 Sabendo que o reservatório será abastecido com 80% de sua capacidade, segue que o caminhão tanque despejará 0, litros no cilindro e, portanto, levará segundos ou minutos para realizar o abastecimento Resposta da questão 17: [B] I. Verdadeira. O volume de metal necessário para cunhar a região situada entre os círculos concêntricos da moeda de R$ 1,00 é dado por (1,4 0,9 ) 0,15 (1,96 0,81) 0,15 0,175cm. II. Falsa. Para cunhar uma moeda de R$ 1,00 são necessários 1,4 0,15 0,94 cm, enquanto que na moeda de R$ 0,50 o volume de metal necessário é de 1,1 0, 0,6 cm. Portanto, para cunhar uma moeda de R$ 1,00 são necessários 0,6 0,94 0,069 cm de metal a menos do que para cunhar uma moeda de R$ 0,50. III. Verdadeira. A área entre os círculos concêntricos da moeda de R$ 1,00 é dada por (1,4 0,9 ) 1,15 cm, enquanto que a área do círculo interno é duas áreas é Resposta da questão 18: [C] 1,15 0,81 0,4 cm. x.h x 1 x π.(0,5).h π 0,9 0,81 cm. Logo, a diferença entre essas Resposta da questão 19: [A] O volume do objeto é dado por cm. Resposta da questão 0: [D] Se a altura do cilindro mede m 0dm e o diâmetro 8cm 0,8dm, então a capacidade do cilindro é dada por 0,8 0,14 0, ,048dm 10 L. Página 1 de 1