Troncos de Cone e de Pirâmide

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1 Troncos de Cone e de Pirâmide 1. (Uerj 015) Um recipiente com a forma de um cone circular reto de eixo vertical recebe água na razão constante de 1 cm s. A altura do cone mede 4 cm, e o raio de sua base mede cm. Conforme ilustra a imagem, a altura h do nível da água no recipiente varia em função do tempo t em que a torneira fica aberta. A medida de h corresponde à distância entre o vértice do cone e a superfície livre do líquido. Admitindo π, a equação que relaciona a altura h, em centímetros, e o tempo t, em segundos, é representada por: a) h 4 t b) h t c) h t d) h 4 t. (Unesp 014) A imagem mostra uma taça e um copo. A forma da taça é, aproximadamente, de um cilindro de altura e raio medindo R e de um tronco de cone de altura R e raios das bases medindo R e r. A forma do copo é, aproximadamente, de um tronco de cone de altura R e raios das bases medindo R e r. Sabendo que o volume de um tronco de cone de altura h e raios 1 das bases B e b é h (B B b b ) π e dado que 65 8, determine o raio aproximado da base do copo, em função de R, para que a capacidade da taça seja da capacidade do copo. Página 1 de

2 . (Uel 014) Uma empresa que produz embalagens plásticas está elaborando um recipiente de formato cônico com uma determinada capacidade, conforme o modelo a seguir. Sabendo que o raio desse recipiente mede 6 cm e que sua altura é de 48 cm, a que distância do vértice deve ser feita uma marca na superfície lateral do recipiente para indicar a metade de sua capacidade? Despreze a espessura do material do qual é feito o recipiente. Apresente os cálculos realizados na resolução desta questão. 4. (Ita 014) Considere o sólido de revolução obtido pela rotação de um triângulo isósceles ABC em torno de uma reta paralela à base BC que dista 0, 5 cm do vértice A e 0, 75 cm da base BC. Se o lado AB mede a) b) c) 7. 4 d) 9. 4 e) π 1 cm, o volume desse sólido, em cm, é igual a π 5. (Mackenzie 014) Para construir um funil a partir de um disco de alumيnio de centro O e raio R 16 cm, retira-se do disco um setor circular de ângulo central θ 5. Em seguida, remove-se um outro setor circular, de raio r مo tseل linuf od e BD. O processo de construç.oxiaba sarugif san odatneserper 1 cm. Para finalizar, soldam-se as bordas AC A medida da altura do funil é a) 9 cm b) 15 9 cm 8 c) 55 cm 8 d) 55 cm e) cm 8 Página de

3 6. (Espm 014) Uma indústria de bebidas criou um brinde para seus clientes com a forma exata da garrafa de um de seus produtos, mas com medidas reduzidas a 0% das originais. Se em cada garrafinha brinde cabem 7 ml de bebida, podemos concluir que a capacidade da garrafa original é de: a) 875 ml b) 98 ml c) 74 ml d) 69 ml e) 567 ml 7. (Uem 014) A superfície de uma piscina tem o formato de um círculo de raio 4 metros. A profundidade abaixo de cada ponto na superfície da piscina é descrita pela função x p(x) se 0 x se x 4 em que x é a distância, em metros, do ponto na superfície da piscina até a borda da piscina. Assinale o que for correto. 01) A profundidade da piscina em um ponto que está a metros da borda é de,5 metros. 0) Uma pessoa que não deseje ir a uma parte da piscina que tenha profundidade acima de 1,5 metro pode afastar-se, no máximo, 1,5 metro da borda. 04) Se dois pontos estão a distâncias distintas da borda da piscina, então as profundidades abaixo deles também são distintas. 08) O sólido que descreve a piscina é a união de dois cilindros com um tronco de cone. 16) O volume de água que cabe dentro da piscina é 4π m. 8. (Ufg 01) Uma fábrica de embalagens resolveu produzir um copo no formato de tronco de cone circular reto, com diâmetros superior e inferior de 6 cm e 4 cm, respectivamente. A parte central do fundo do copo é côncava, em formato de semiesfera, com 1,5 cm de raio, como indica a figura a seguir. Considerando-se o exposto, desenvolva a expressão que fornece o volume do tronco de cone em função da altura e dos raios das bases e calcule a altura aproximada desse copo para que ele tenha capacidade de 157 ml. Dados: π,14, πrh V cone, 4πr V esfera. Página de

4 9. (Esc. Naval 01) A Marinha do Brasil comprou um reservatório para armazenar combustível com o formato de um tronco de cone conforme figura abaixo. Qual é a capacidade em litros desse reservatório? 40 a) 10 π 19 b) 10 5 π c) 49 10π 49 d) 10 4 π 19 e) 10 π 10. (Espcex (Aman) 01) Um recipiente em forma de cone circular reto, com raio da base R e altura h, está completamente cheio com água e óleo. Sabe-se que a superfície de contato entre os líquidos está inicialmente na metade da altura do cone. O recipiente dispõe de uma torneira que permite escoar os líquidos de seu interior, conforme indicado na figura. Se essa torneira for aberta, exatamente até o instante em que toda água e nenhum óleo escoar, a altura do nível do óleo, medida a partir do vértice será a) b) c) d) e) 7 h 7 h 1 h h h Página 4 de

5 11. (Ufg 01) Em um período de festas, pretende-se decorar um poste de uma praça com fios de luzes pisca-piscas. A estrutura da decoração possui o formato de tronco de cone circular reto com,4 m de altura e diâmetros de m na base e 0,6 m no topo. Os fios de luzes serão esticados, do aro superior ao inferior, ao longo de geratrizes do tronco de cone e, para distribuílos de maneira uniforme, marcam-se na circunferência da base pontos igualmente espaçados, de modo que o comprimento do arco entre dois pontos consecutivos seja no máximo 10 cm. De acordo com os dados apresentados, determine o número mínimo de fios de luzes necessário para cobrir a superfície lateral do tronco de cone e a soma total de seus comprimentos. Dado: π, (Fgv 01) Um cilindro circular reto de base contida em um plano α foi seccionado por um plano β, formando 0 com α, gerando um tronco de cilindro. Sabe-se que BD e CE são, respectivamente, eixo maior da elipse de centro P contida em β, e raio da circunferência de centro Q contida em α. Os pontos A, B, P e D são colineares e estão em β, e os pontos A, C, Q e E são colineares e estão em α. Sendo BC = 1 m e CQ m, o menor caminho pela superfície lateral do tronco ligando os pontos C e D mede, em metros, a) 1 π b) π c) d) e) 1 π 9 π 9 π 1. (Enem 01) Uma cozinheira, especialista em fazer bolos, utiliza uma forma no formato representado na figura: Nela identifica-se a representação de duas figuras geométricas tridimensionais. Essas figuras são a) um tronco de cone e um cilindro. b) um cone e um cilindro. c) um tronco de pirâmide e um cilindro. d) dois troncos de cone. e) dois cilindros. Página 5 de

6 14. (Fgv 01) No poliedro ABCDEFGH, as arestas AE, BF, CG e DH são perpendiculares ao plano que contém a face retangular ABCD, conforme indica a figura. Sabe-se ainda que AE 1, AB DH 4 e AD BF CG 6. a) Calcule a distância entre os pontos A e G. b) Calcule o volume do poliedro ABCDEFGH. 15. (Udesc 01) Se a geratriz, a altura e o raio menor de um tronco de cone reto são, respectivamente, 1 cm, cm e cm, então o volume do cone original é: a) b) c) d) e) 98π cm 49π cm 1,5π cm 6,5π cm 76π cm 16. (Ufmg 01) Um funil é formado por um tronco de cone e um cilindro circular retos, como representado na figura abaixo Sabe-se que g = 8 cm, R = 5 cm, r = 1 cm e h 4 cm. Considerando essas informações, a) Calcule o volume do tronco de cone, ou seja, do corpo do funil. b) Calcule o volume total do funil. c) Suponha que o funil, inicialmente vazio, começa a receber água a 17 ml/s. Sabendo que a vazão do funil é de 4 ml/s, calcule quantos segundos são necessários para que o funil fique cheio. Página 6 de

7 17. (Uem 01) Um determinado funil de plástico tem a forma de um tronco de cone cujas circunferências dos furos que o delimitam possuem raios cm e 0,5 cm, e a altura do funil é de 6 cm. Considerando essas informações, e desprezando a espessura do funil, assinale o que for correto. 01) O volume (capacidade) do funil é maior do que 0 cm. 0) A área lateral do funil é superior a 60 cm. 04) Se o funil estiver em posição vertical, com o furo menor voltado para baixo e tampado, para encher o funil até metade da altura com água, serão necessários menos de 10 cm de água. 08) Se o funil foi obtido de um cone, removendo-se sua ponta, a altura do cone original era de 10cm. 16) A razão entre as áreas respectivas do círculo maior e menor que formam os furos do funil é igual a (Ufg 01) Pretende-se instalar, em uma via de tráfego intenso, um redutor de velocidade formado por 14 blocos idênticos em forma de tronco de pirâmide. Cada tronco de pirâmide é obtido a partir de uma pirâmide de base retangular após seccioná-la por um plano paralelo à base e distante do vértice da altura da pirâmide. Ao término da instalação, a face superior (base menor) de cada tronco de pirâmide será pintada com tinta amarela. Cada litro de tinta custa R$10,00, sendo suficiente para pintar 10 m. Sabendo-se que a área da base maior de cada tronco de pirâmide utilizado na construção do redutor é de 60 cm, calcule o custo da tinta amarela utilizada. 19. (Enem PPL 01) Nas empresas em geral, são utilizados dois tipos de copos plásticos descartáveis, ambos com a forma de troncos de cones circulares retos: - copos pequenos, para a ingestão de café: raios das bases iguais a,4cm e 1,8cm e altura igual a,6cm; - copos grandes, para a ingestão de água: raios das bases iguais a,6cm e,4cm e altura igual a 8,0cm. Uma dessas empresas resolve substituir os dois modelos de copos descartáveis, fornecendo para cada um de seus funcionários canecas com a forma de um cilindro circular reto de altura igual a 6cm e raio da base de comprimento igual a y centímetros. Tais canecas serão usadas tanto para beber café como para beber água. Sabe-se que o volume de um tronco de cone circular reto, cujos raios das bases são respectivamente iguais a R e r e a altura é h, é dado pela expressão: πh V troncodecone (R r Rr) O raio y da base dessas canecas deve ser tal que y seja, no mínimo, igual a a),664 cm. b) 7,41 cm. c) 1,160 cm. d) 14,84 cm. e) 19,840cm. Página 7 de

8 0. (Udesc 01) Um recipiente de uso culinário com 16 cm de altura possui o formato de um tronco de cone reto (conforme ilustra a figura) e está com água até a metade da sua altura. Sabendo que a geratriz desse recipiente é igual a 0 cm e que o diâmetro de sua base é igual a 4 cm, classifique as proposições abaixo e assinale (V) para verdadeira ou (F) para falsa. ( ) O volume de água no recipiente corresponde à quarta parte da quantidade necessária para enchê-lo totalmente. ( ) Se a água do recipiente for retirada à taxa constante de 8 cm por segundo, então o tempo necessário para esvaziá-lo será superior a 0 segundos. ( ) Para aumentar 4 cm do nível de água no recipiente, é necessário acrescentar mais 64 π cm de água. A alternativa correta, de cima para baixo, é: a) V F F b) F V F c) F V V d) F F V e) V V F 1. (Udesc 01) Uma caixa de um perfume tem o formato de um tronco de pirâmide quadrangular regular fechado. Para embrulhá-la, Pedro tirou as seguintes medidas: aresta lateral 5 cm e arestas das bases 8 cm e cm. A quantidade total de papel para embrulhar esta caixa, supondo que não haja desperdício e nem sobreposição de material, foi: a) 88 cm b) c) d) e) 168 cm 80 cm 68 cm 148 cm Página 8 de

9 . (Ufu 01) Considere um balde para colocação de gelo no formato de um tronco de cone circular reto apresentando as medidas indicadas na figura a seguir. Considerando que esse balde esteja com 5% de sua capacidade ocupada com gelo derretido (água) e, consequentemente, com um volume de água igual a 0,097π litros, qual é o valor (em cm) do raio da base maior R? a) 8,5 b) 9 c) 8 d) 7,5. (Ita 01) Um cone circular reto de altura 1 cm e geratriz é interceptado por um plano paralelo à sua base, sendo determinado, assim, um novo cone. Para que este novo cone tenha 1 π o mesmo volume de um cubo de aresta 4 cm, é necessário que a distância do plano à base do cone original seja, em cm, igual a a) 1 4 b) 1 c) 1 d) e) 4 Página 9 de

10 Gabarito: Resposta da questão 1: [A] Sejam h e r, respectivamente, a altura e o raio da base do cone semelhante ao cone de altura 4cm e altura cm. Logo, temos r h r. h 4 8 O volume desse cone é dado por 1 h h V π h cm Por outro lado, como a vazão da torneira é igual a 1cm s, segue-se que V 1t tcm, com t em segundos. Em consequência, encontramos h t h 4 t cm. 64 Resposta da questão : Utilizando a fórmula dada temos: Capacidade da Taça: Capacidade do copo: 4π R π R r π R r VT Vc π R π R r 4 πr r Fazendo V T = /(V C ), temos: 7R r R R R 0 Resolvendo a equação na incógnita r, temos: 4 R 65 R 5 R r 14 R 14 ou 4 R 65 R 11 R r 14 R 14 (não convém) Portanto, o raio do copo será: 5 R 5 R Página 10 de

11 Resposta da questão : Seja G a geratriz da embalagem. Como 6 1 e , segue-se que G 51 60cm. Portanto, se g é o resultado pedido, então g 1 60 g 60 g 0 4 cm. Resposta da questão 4: [C] No triângulo AMC, temos: 1 π x x e h π π π Volume do cilindro: 1 9 VC π cm 4 π 16 Volume de cada tronco de cone: VT π cm π Portanto, o volume pedido será dado por: V V C V T cm Resposta da questão 5: [E] Tem-se que π AOB 60 θ rad. 4 Logo, Página 11 de

12 π AB AOB AO 16 1πcm 4 e π π CD AOB OC 1 cm. 4 4 Daí, se R é o raio maior do funil e r é o raio menor do funil, então πr 1π R 6cm e π πr r cm. 4 8 Portanto, sendo h a altura do funil e AC OA OC 15cm a sua geratriz, pelo Teorema de Pitágoras, vem 05 h 15 6 h h Resposta da questão 6: [A] h cm. 8 Seja c a capacidade da garrafa original, em mililitros. Como os sólidos são semelhantes, tem-se que c 1 c 875mL. 7 0, Resposta da questão 7: = 6. [01] Falsa, pois p () ( ) / 5 /, 5. [0] Verdadeira, pois p(1,5) (1, 5 ) / 1,5m. [04] Falsa, pois f() f( 4) m. [08] Verdadeira, de acordo com o texto a figura abaixo representa tal piscina. Página 1 de

13 [16] Verdadeira, pois Volume do cilindro maior: V1 π πm 1 Volume do tronco de cone: V m π π Volume do cone menor: V π1 1 πm Volume total: V V1 V V 16π 7π π 4π m Resposta da questão 8: Sabendo que o volume de um tronco de cone de altura h e raios das bases R e r é dado por h (R Rr r ), segue que o volume do copo é dado pela expressão h (R Rr r ) r e, com r e sendo o raio da esfera. Portanto, considerando a aproximação fornecida, a altura pedida é tal que,14 h,14 ( ) (1,5) 157,14 (19h 6,75) ,75 h 19 h 8,5cm. Página 1 de

14 Resposta da questão 9: [D] x ΔADE ~ ΔABC x 15 x 10 5 O volume V pedido (em m ) é a diferença entre os volumes dos cones de raios 5m e m, respectivamente π 49 4 V π 5 5 π 15 m 10 πl. Resposta da questão 10: [A] Como a superfície de contato entre os líquidos está inicialmente na metade da altura do cone, segue que a razão entre o volume de água e a capacidade V do recipiente é tal que Desse modo, o volume de óleo é dado por v H 0 1 v V H 0. V 8 V 7V V vho V. 8 8 Portanto, quando toda a água e nenhum óleo escoar, a altura x atingida pelo óleo é tal que 7V 8 x x 7 V h h 8 7 x h. Página 14 de

15 Resposta da questão 11: Comprimento da base maior: C,14 1 6,8m 68cm Número de fios: 68 : 10 6,8 6 fios Tamanho de cada fio: x,4 0,7 x,5m Logo, a soma dos comprimentos será dada por: 6,5 157,5m Resposta da questão 1: [D] Planificando a metade da superfície lateral do tronco, obtemos a figura abaixo. O resultado procurado é a hipotenusa do triângulo CDE. O cateto EC é o semiperímetro da base do tronco. Logo, EC π m. Dado que CQ é raio da circunferência de centro Q, temos EQ m. Sabendo que BC 1m, do triângulo retângulo ABC, vem BC tg0 AC m. AC Página 15 de

16 Da semelhança dos triângulos ADE e ABC, obtemos DE AE DE BC AC 1 DE m. Portanto, aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo CDE, encontramos CD DE EC CD ( π) CD 9 π m. Resposta da questão 1: [D] É fácil ver que o sólido da figura é constituído por dois troncos de cone. Resposta da questão 14: a) Como ABCD é retângulo, AB 4 e AD, é imediato que AC 5. Logo, aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo ACG, obtemos AG AC CG AG 5 6 AG 61. b) Decompondo o poliedro ABCDEFGH em dois troncos de prisma triangular, ADCGEH e ABCGEF, temos [ABCDEFGH] [ADCGEH] [ABCGEF] AD CD AE DH CG AB BC AE BF CG (11 10) 4 u.v. Página 16 de

17 Resposta da questão 15: [D] Sabendo que g 1 cm, h cm e r cm, e sendo R o raio maior do tronco de cone, pelo Teorema de Pitágoras, vem g h (R r) ( 1) (R ) (R ) 4 R 5cm. Seja H a altura do cone original. Logo, H R H 5 H h r H 15 H cm e, portanto, segue-se que o volume do cone original é igual a 1 15 π 5 6,5πcm. Resposta da questão 16: a) (8) (4) H H 4 cm H VTronco R r Rr π π π 4 V Tronco π(5) π(1) π(5)(1) 14π VTronco cm b) VFunil Vtronco Vcilindro π π π π 4 V Funil (5) (1) (5)(1) (1) 4 14π 16π VFunil 4π cm c) Se o funil recebe 17 ml/s de água e a sua vazão é de 4 ml/s, então: 17-4 = 85 ml/s ficam em acumulo por segundo. Para encher o funil, temos: 16π VFunil Tempo para encher o funil,9s Página 17 de

18 Resposta da questão 17: = 05. Dados Iniciais (01) Verdadeiro. h V πr πr πrr 6 V π(0,5) π() π(0,5)() V 10,5πcm 0cm (0) Falso. S πr πr a l l l l S π(0,5) π() ( 8,5) S,5 π ( 8,5) t S 48,6cm 60cm (04) Verdadeiro. 0,5 x 1,5 cm Portanto, h V πr πr πrr V π(0,5) π(1,5) π(0,5)(1,5) V 1 π(0,5) π(1,565) π(0,5)(1,5) V,475π 10cm Página 18 de

19 (08) Falso. x x 6 x cm 0,5 Logo, a altura do cone original era de x 6 6 8cm. (16) Falso. SM πr SM π() 16 S m πr Sm π(0,5) Resposta da questão 18: Seja A a área da base menor de cada tronco de pirâmide. Sabendo que a área base maior de cada tronco de pirâmide mede 60cm, e que a distância do vértice da pirâmide à base menor do tronco é H, temos com H sendo a altura da pirâmide, H 60 H A A 80cm. Portanto, como R$ 0, Resposta da questão 19: [C] 1m de área pintada custa R$ 1,00, o resultado é dado por Supondo que o raio da base das canecas deve ser tal que a capacidade de uma caneca seja maior do que ou igual à capacidade de um copo grande, temos π 8 4 π y 6 (,4,6,4,6) y 1, (4 9 6) 9 y 0,64 19 y 1,16cm. Observação: Se o raio das canecas estiver expresso em centímetros, então em centímetros quadrados. y será expresso Página 19 de

20 Resposta da questão 0: [C] Considere a figura. Sabendo que AD 16cm e que o recipiente está com água até a metade da sua altura, segue que AE ED 8cm. Além disso, como AC 0cm e EB é base média do triângulo ACD, vem AB BC 10cm. Desse modo, BE 6cm e CD 1cm. Sabendo ainda que AO DF cm, temos que o volume do recipiente é dado por πad π16 (BG BG AO AO ) (14 14 ) 116πcm. Por outro lado, o volume de água no recipiente é πae π8 (BG BG AO AO ) (8 8 ) 4πcm. Assim, a quantidade necessária de água para encher totalmente o recipiente é 116π 4π 99π cm. Portanto, 4π π 1 4 Se a água do recipiente for retirada à taxa constante de necessário para esvaziá-lo será 4π s cm por segundo, então o tempo Para aumentar 4cm o nível de água no recipiente, é necessário acrescentar mais π 4 ( ) 64 cm π de água. Página 0 de

21 Resposta da questão 1: [E] Considere a figura. Sendo M o ponto médio de AD, e M o ponto médio de BC, segue que A'B 4 1 cm. Logo, como AB 5cm, vem AA' 4cm. Portanto, a quantidade total de papel utilizada para embrulhar a caixa, supondo que não haja desperdício e nem sobreposição de material, é igual a AD BC 8 AD BC 4 AA ' cm. Resposta da questão : [C] Como 0,097π litros correspondem a capacidade do balde é igual a 1 5% da capacidade do balde, temos que a 4 4 0,097π L 0,88 πl 88πcm. Portanto, sabendo que a altura do balde mede 1cm e o raio da base menor mede cm, vem 1π 88 π (R R ) R R 88 0 R 8cm. Página 1 de

22 Resposta da questão : [D] Seja v o volume do cone determinado pelo plano. Sabendo que o volume desse cone é igual ao volume do cubo de aresta 1 π π v cm. 4 4 Considere a figura abaixo. π 4 1 cm, obtemos Como AO 1cm e que AB cm, do Teorema de Pitágoras aplicado no triângulo AOB segue 4 1 OB 1 1. O volume do cone maior é dado por π V πob AO π 1 cm. 9 Daí, como os cones são semelhantes, vem π v AO' 4 AO' 1 AO' cm. V AO π 1 9 Portanto, o resultado pedido é 1 O'O AO AO' 1 cm. Página de